Analyse des correspondances (cours 3/5) : inertie et pourcentage d'inertie

Nous avons vu comment construire le nuage des lignes et le nuage des colonnes et comment projeter le nuage des lignes et le nuage des colonnes pour obtenir des représentations graphiques. En analyse des correspondances, comme dans toute analyse factorielle, les premiers indicateurs que l'on regarde sont les pourcentages d'inertie. Nous allons voir aussi dans cette section qu'en analyse des correspondances, les inerties sont également très particulières. Commençons par commenter les pourcentages d'inertie. Comme dans toute analyse factorielle, les pourcentages d'inertie sont les premiers indicateurs que l'on regarde. La question posée est la suivante: on a une représentation du nuage, quelle est la qualité de cette représentation? De façon générale, la qualité de représentation est mesurée par le rapport inertie projetée sur inertie totale. Généralement, ce rapport est multiplié par 100 pour l'exprimer en pourcentage. Dans le cas particulier du nuage NI et de l'axe de rang s, La qualité de représentation du nuage NI sur l'axe de rang s sera donc l'inertie projetée de NI sur Us divisée par l'inertie totale de NI. Ceci peut s'écrire avec les notations utilisées précédemment lambda_s sur la somme des lambda_k. Généralement ceci, comme il a été dit, est exprimé en pourcentage. Examinons les pourcentages d'inertie de l'exemple. On voit que pour le premier axe, le pourcentage d'inertie est de 54,75%, ce qui est important. On pourra donc dire que le premier axe représente 54,75% de l'écart à l'indépendance. Pour le deuxième axe, le pourcentage d'inertie est de 24,60%. Et donc les 2 premiers axes résument à eux 2 près de 79% de l'écart à l'indépendance et donc on pourra se limiter à ces 2 axes dans l'interprétation. Propriété: les inerties projetées, c'est-à-dire les valeurs propres, s'additionnent d'un axe à l'autre. Ceci tient au fait que les axes sont orthogonaux. Donc la somme de toutes les valeurs propres, de toutes les inerties projetées si on préfère, est égale à l'inertie totale du nuage NI, ce qui est vrai pour toutes les analyses factorielles. Dans le cas particulier de l'analyse des correspondances, cette inertie totale est égale au Phi². On peut faire un petit calcul dans le cadre de l'analyse des correspondances sur notre jeu de données exemple. On multiplie l'inertie totale de 0.1522 par n, somme du tableau qui vaut 570 et on tombe sur un chi² qui vaut 86.75. Compte tenu du nombre de degrés de liberté, la probabilité critique est de 2.77× 10⁻⁶ donc extrêmement petite. La significativité de la liaison entre les pays et les catégories est bien entendu hors de doute dans cet exemple. À ces 2 premiers points concernant les pourcentages d'inertie s'en ajoute un 3ème: la décroissance des inerties en fonction du rang s des axes suggère le nombre d'axes à conserver. Nous montrons ici la décroissance des valeurs propres d'une AFC effectuée sur un tableau de contingence croisant 10 vins blancs du Val de Loire décrits par 30 mots. Les 10 vins blancs du Val-de-Loire sont en lignes, les mots sont en colonnes et Xij est le nombre de fois que le mot j a été associé au vin i. Quand on regarde la séquence des valeurs propres avec un diagramme en barres, on observe que les 2 premières valeurs propres sont sensiblement plus grandes que les suivantes. Les 2 premiers axes sont donc prépondérants du point de vue de l'inertie, ce qui suggère d'interpréter de façon privilégiée le plan constitué par ces 2 premiers axes. En analyse des correspondances, il convient de bien distinguer les inerties des pourcentages d'inertie car les inerties sont très particulières. Elles constituent une composante du Phi² qui est cet indicateur de liaison globale entre 2 variables mises en correspondance. En analyse des correspondances, le résultat théorique suivant est très important: les valeurs propres sont toujours comprises entre 0 et 1. Rappelons qu'en analyse en composantes principales, quand les variables sont normées, il en va différemment puisque la première valeur propre, elle, est automatiquement supérieure ou égale à 1. Que signifie en analyse des correspondances une valeur propre égale à 1? Ce cas limite est tout à fait intéressant. Et à quelle structure de données correspond-il? Voici la structure à laquelle il correspond. On peut séparer les lignes en 2 blocs I1 et I2. Les colonnes peuvent aussi être séparées en 2 blocs J1 et J2. Et cette double partition est le lieu d'une association exclusive, c'est-à-dire que les lignes du bloc I1 s'associent uniquement à J1 et absolument pas à J2 et les lignes du bloc I2 s'associent exclusivement à J2 et absolument pas à J1. C'est bien la marque d'une liaison très forte puisque l'on a une association exclusive entre les modalités d'une variable et les modalités de l'autre. Du point de vue graphique, on va obtenir le graphique suivant: l'axe correspondant à une valeur propre égale à 1 oppose parfaitement le bloc I1 et I2, c'est-à-dire qu'à l'intérieur de I1 on ne fait aucune distinction et il oppose parfaitement J1 et J2. À l'intérieur de J1, on ne fait aucune distinction. Ces inerties qui sont très particulières, on va les regarder sur un autre jeu de données. Il s'agit de données concernant la reconnaissance de 3 saveurs: le sucré, l'acide, l'amer. Le plan d'expérience est le suivant: pour chaque saveur, on a demandé à 10 personnes de reconnaître la saveur d'une solution qui leur était présentée. Voici le petit tableau de données. Lisons-le par ligne: la solution sucrée a été perçue 10 fois comme sucrée et jamais comme acide, jamais comme amère. La solution acide n'a jamais été perçue comme sucrée. Par contre, elle a été perçue 9 fois comme acide et 1 fois comme amère. Lorsqu'on réalise l'analyse des correspondances de ce tableau, on obtient une première valeur propre de 1 qui est la marque de la structure bloc-diagonale que nous avons déjà citée. Effectivement, reportons-nous au tableau. Quand on regarde la première ligne et la première colonne, on a bien le sucré qui est perçu uniquement comme sucré et la perception sucrée, là je m'intéresse à la colonne, n'est associé qu'au sucré. On a donc une valeur propre de 1. Le graphique correspondant oppose donc parfaitement d'un côté sucré et perçu sucré, ces 2 points sont confondus, à de l'autre côté amer, perçu amer, acide et perçu acide qui sont parfaitement confondus. Examinons maintenant le 2ème axe de cette analyse des correspondances. Ce 2ème axe oppose d'un côté amer et perçu amer à de l'autre acide et perçu acide. Il exprime que, dans l'ensemble, amer est plutôt perçu comme amer et acide est plutôt perçu comme acide. C'est bien ce qui se passe. Néanmoins, quand on regarde sur le tableau, il y a une confusion: acide n'est pas toujours perçu comme acide, amer n'est pas toujours perçu comme amer. Comment pouvons-nous déceler cette confusion? Tout simplement par la valeur propre. Si on n'avait aucune confusion, on aurait une valeur propre de 1. Or la valeur propre vaut seulement 0.375. Cette valeur propre de 0.375, beaucoup plus petite que 1, nous indique qu'il y a une confusion entre amer et acide, c'est-à-dire que, de temps en temps, amer est perçu acide et acide est perçu comme amer. Sur ce graphique, cette confusion est parfaitement perceptible parce que, sur le premier axe, on a une situation de référence avec une situation parfaite sans confusion et on voit bien que l'opposition sur le premier axe entre sucré d'une part et amer-acide d'autre part correspondent à une inertie beaucoup plus grande que l'opposition entre acide et amer. Acide et amer sont beaucoup plus proches entre eux qu'ils ne sont proches de sucré. Donc sur ce graphique, on voit bien qu'il y a une plus grande confusion entre acide et amer qu'entre acide-amer d'une part et sucré d'autre part. On peut examiner un autre tableau dans lequel on a augmenté la confusion, c'est-à-dire que cette fois, dans ce tableau, l'acidité a été perçue seulement 7 fois comme acide et non pas 9 fois comme précédemment, et l'amertume a été perçue uniquement 5 fois comme amère. Examinons les résultats de cette analyse. On trouve toujours une première valeur propre de 1 qui nous indique que le sucré est parfaitement reconnu. Par contre, la valeur propre de l'axe 2 cette fois n'est plus de 0.375 mais de 0.04. Examinons le graphique. Le graphique ressemble tout à fait au précédent, c'est-à-dire que le premier axe montre le rôle particulier du sucré et le deuxième axe oppose acide et amer. Simplement, l'écart entre acide et amer est beaucoup plus petit que dans le cas précédent et c'est cette opposition entre acide et amer qui se marque par une distance plus petite qui est bien la conséquence de la plus grande confusion entre acide et amer. Finalement, cette valeur propre de 0.04 associée au 2ème axe nous indique le degré de confusion entre acide et amer. Et dans le cas extrême où on n'aurait aucune confusion, avec un tableau diagonal, on aurait 2 valeurs propres égales à 1. Quel bilan pouvons-nous tirer de ces 2 exemples? On s'aperçoit que, dans chacun des exemples, le 2ème axe est toujours le même. Il oppose d'une part amer et perçu amer à d'autre part acide et perçu acide. On peut dire que dans ces 2 cas, le 2e axe est pratiquement le même. Il a la même signification. Il indique simplement qu'amer est globalement plutôt perçu amer et acide est globalement plutôt perçu acide. Maintenant, d'un exemple à l'autre, ce globalement n'a pas du tout la même force puisque dans le premier cas on peut dire que la reconnaissance est bonne, dans le 2e cas elle est plutôt médiocre. Cela nous montre que le graphique nous indique l'opposition entre acide et amer mais il ne nous dit rien quant à la force de cette opposition. C'est la valeur propre qui va nous dire si cette opposition est très forte ou pas. Si elle vaut 1, cette opposition est tout à fait drastique si on peut dire, c'est-à-dire qu'elle est le lieu d'une association exclusive. Si par contre cette valeur propre est assez faible, c'est le cas du 2ème exemple dans lequel cette valeur propre valait 0.04. Eh bien dans ce cas-là, on a à peine une petite reconnaissance majoritaire puisque la mère n'est reconnue que dans la moitié des cas et l'acide dans 7 cas sur 10. Cela signifie qu'il faut toujours commencer par regarder les valeurs propres en analyse des correspondances car ces valeurs propres nous indiquent si les associations que l'on va mettre en évidence sont très nettes ou sont peu nettes dans les données. Le graphique ne dit rien à ce sujet puisqu'il ne parle pas d'intensité de liaison mais nous indique simplement la nature de la liaison. Ici, la nature de la liaison c'est acide s'associe plutôt à perçu acide et amer s'associe plutôt à perçu amer. Revenons aux données sur les prix Nobel. Nous avons déjà commenté les pourcentages d'inertie de 55% et 25% en disant qu'ils étaient importants et qu'ils nous incitaient à conserver uniquement les 2 premiers axes dans l'interprétation. Les inerties elles-mêmes sont de 0,083 et 0,037. Ce qui peut être considéré comme faible puisque très sensiblement inférieur à 1. Cette valeur de 1 correspondrait à une association exclusive entre modalités, par exemple entre un pays et une catégorie. On est donc très loin de cette association exclusive. Effectivement, les prix Nobel sont distribués à des personnes de toutes les nationalités. Si l'on regarde maintenant la somme des inerties, comme on sait qu'en analyse des correspondances cette somme correspond au Phi², Cette somme vaudrait au maximum 5 si chacune des inerties valait 1. On est donc ici encore bien entendu très loin du maximum. Dans ce tableau, on peut dire que l'on est très très loin d'une association exclusive entre les modalités des 2 variables.