Analyse des correspondances (cours 4/5) : interpréter le graphe de représentation simultanée

Alors revenons maintenant sur l'interprétation du graphe de l'AFC afin d'introduire une caractéristique essentielle en analyse des correspondances. Pour l'instant, nous avons commenté le graphe en considérant d'une part les lignes et d'autre part les colonnes. L'analyse des correspondances permet une représentation simultanée des lignes et des colonnes. Dans son principe, cette représentation simultanée est possible car les lignes et colonnes sont des éléments de même nature: il s'agit de modalités de variables qualitatives. La représentation simultanée des lignes et des colonnes fonctionne en analyse des correspondances grâce à des relations qu'on appelle relations de transition ou encore propriétés barycentriques. Voici ici cette relation de transition concernant l'axe de rang s. Précisons les différents termes de cette relation. fs est la coordonnée de la ligne i le long de l'axe de rang s. gs est la coordonnée de la colonne j le long de l'axe de rang s. Donc on voit que l'on sait relier les coordonnées des lignes aux coordonnées des colonnes. Plus précisément, comme il y a un signe somme sur les j, on sait exprimer la coordonnée d'une ligne par rapport aux coordonnées de toutes les colonnes. fij sur fi., c'est le jième terme du profil. Donc on est en train de faire une somme sur les j, donc une somme sur toutes les colonnes, des coordonnées des colonnes pondérées par les éléments du profil i. Donc on fait en quelque sorte une moyenne des coordonnées des colonnes et dans cette moyenne, une colonne j intervient d'autant plus qu'elle a une forte probabilité conditionnelle pour le profil i. Une fois qu'on a calculé ces centres de gravité, ces barycentres si on veut, on les dilate puisque le coefficient 1 sur racine de lambda_s est, par construction, plus grand que 1. On peut formuler cette relation de transition de la façon suivante. La ligne i est au barycentre de toutes les colonnes, chaque colonne étant affectée du poids fij sur fi point qui est le jème terme du profil ligne i. Cette propriété barycentrique, concrètement, on va la traduire ainsi de façon simplifiée: une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus. C'est-à-dire que si fij sur fi point est très grand, alors Js compte beaucoup dans le calcul de la coordonnée de i. En analyse des correspondances, lignes et colonnes jouent des rôles symétriques donc si on permute les rôles joués par les lignes et colonnes, on obtient la seconde propriété barycentrique. Concrètement, une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus. Cette double propriété barycentrique, une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus et une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus, Cette double propriété barycentrique permet une utilisation de la représentation simultanée et c'est ce qui en fait sa richesse. Appliquons maintenant ces propriétés barycentriques à un jeu de données que nous avons déjà utilisé: celui de la reconnaissance de saveurs fondamentales. Nous considérons ici 2 réalisations du jeu de données: l'un dans lequel il y a peu de confusion entre acide et amer puisqu'on a 3+ 1= 4 confusions sur 20 données et un autre cas dans lequel il y a plus de confusion: 5+ 3= 8 confusions, c'est-à-dire 40% de confusion. 20% de confusion à gauche, 40% à droite. Les résultats de l'analyse des correspondances de ces 2 tableaux, on les a déjà commentés. La 1ère valeur propre vaut 1, c'est la conséquence de l'association exclusive entre sucré et perçu sucré. Alors quelles conséquences sur les propriétés barycentriques? Rappelons la propriété barycentrique: si lambda_s vaut 1, cela veut dire qu'une colonne va être à l'exact barycentre des lignes. Alors prenons par exemple perçu sucré. Perçu sucré est rigoureusement confondu avec sucré parce qu'il ne s'associe qu'avec sucré. De l'autre côté, on a, le long du premier axe, amer, acide, perçu amer, perçu acide qui ont exactement la même coordonnée. Perçu amer est donc bien à l'exacte barricade de sucré, amer et acide puisqu'il ne s'associe jamais avec sucré. Examinons maintenant le deuxième axe. Le 2ème axe met en évidence une association privilégiée entre amer et perçu amer d'une part et acide et perçu acide d'autre part, et cela dans les 2 cas. La disposition relative de ces 4 points est rigoureusement identique entre la situation de gauche et la situation de droite, ce qui nous montre que cette disposition relative des points nous donne des informations sur la nature de la liaison. Quelles sont les modalités qui s'associent entre elles mais elle ne nous dit rien sur l'intensité de la liaison. Est-ce que cette association est forte, très forte, voire quasiment exclusive? Si l'on veut avoir des informations sur l'intensité de la liaison, alors il faut regarder les valeurs propres qui sont relativement élevées dans un cas et très faibles dans l'autre . La plus grande valeur propre indique qu'on a une liaison beaucoup plus forte. On est cependant loin d'une association exclusive auquel cas on aurait une valeur propre de 1. Analysons maintenant de façon précise comment fonctionne la propriété barycentrique en effectuant un grossissement des coordonnées le long du 2ème axe concernant les points acides et amers. Dans cette propriété barycentrique, on calcule d'abord le barycentre et une fois qu'on a les barycentres, on les dilate avec le coefficient 1 sur racine de lambda_s. Prenons comme exemple la construction du point perçu amer. Perçu amer, dans un premier temps, va être le barycentre des points acides et amers avec les coefficients 1 et 7. Donc si l'on calcule le barycentre d'acide et amer avec les coefficients 1/8 et 7/8, on tombe sur le point rouge qui est beaucoup plus proche du point amer que du point acide. Effectuons maintenant le même calcul dans le cas de droite. On va calculer le barycentre entre acide et amer avec cette fois les coefficients 3 et 5. On obtient un point rouge qui est cette fois du côté d'amer mais assez légèrement dans le rapport 3 et 5. On voit que si l'on regarde les barycentres, on a bien l'idée de l'intensité de la liaison. Que fait l'analyse des correspondances ensuite? Elle multiplie ces coordonnées par 1 sur racine de lambda_s. Cette valeur, 1 sur racine de lambda_s, est très différente d'un cas à l'autre puisqu'elle vaut 1,6 dans le premier cas et 4,9 dans le second cas. Autrement dit, le nuage des barycentres va être beaucoup plus dilaté dans le cas de droite lorsqu'on a une faible liaison que lorsque l'on a une forte liaison. De cette façon, l'analyse des correspondances gomme l'effet de l'intensité de liaison pour ne garder que la nature de la liaison. On peut se demander pourquoi on fait ceci. La première raison évidente c'est qu'on a exactement la même relation entre une ligne et l'ensemble des colonnes et une colonne par rapport à l'ensemble des lignes. On a bien ici le rôle symétrique joué par les lignes et les colonnes. Une autre façon de voir les choses est de dire: si on regarde les barycentres, dans le cas de liaisons faibles, on va avoir beaucoup de mal à déceler des associations. Aussi l'analyse des correspondances va grossir le graphique, un peu à la façon d'un microscope, pour mettre en évidence les associations. En conclusion, on peut dire que l'analyse des correspondances ne dit rien sur la significativité de la liaison, elle travaille sur les probabilités. L'intensité de la liaison quant à elle est visible dans les valeurs propres et la nature de la liaison dans les positions relatives des points. Utilisons la double propriété barycentrique sur le jeu de données des prix Nobel. Rappelons tout d'abord que le centre de gravité du nuage est au barycentre des points rouges avec la pondération du profil moyen. On peut donc noter sous chaque catégorie le poids de la catégorie qui conduit le profil moyen au barycentre du nuage. Considérons maintenant le Japon. Le Japon correspond à un profil ayant pour termes 26, 0, 9, 13, 4 et 48. C'est donc le barycentre des points rouges affectés de ces nombres. Si on utilise une police proportionnelle au poids de la catégorie, on remarque que le Japon a un poids fort pour la physique et la chimie par rapport au poids de ces 2 catégories dans le profil moyen. Le Japon va donc être positionné au barycentre des catégories affecté de ces poids, ce qui va conduire le Japon vers le bas du graphe, du côté de la physique et de la chimie. C'est bien ceci la propriété barycentrique: un point ligne va du côté des colonnes auxquelles il s'associe le plus et à l'opposé des colonnes auxquelles il s'associe le moins. Si maintenant on regarde l'Italie, on a le résultat suivant: l'Italie s'associe beaucoup plus à la littérature qu'aux sciences économiques, d'où le point de l'Italie du côté de la littérature. On peut noter que les pourcentages de l'Italie pour la physique et la médecine sont élevés mais ces pourcentages sont en réalité du même ordre de grandeur que ceux du profil moyen. Ainsi, ces 2 pourcentages ne contribuent pas à éloigner l'Italie du barycentre du nuage. Grâce aux propriétés barycentriques, nous pouvons donc maintenant interpréter simultanément les points rouges et les points bleus, c'est-à-dire les lignes et les colonnes. Nous avons dit que le premier axe oppose sur la gauche les disciplines scientifiques aux autres disciplines et on peut donc dire que les USA obtiennent principalement des prix dans les disciplines scientifiques tandis que Français et Italiens obtiennent surtout des prix Nobel de la paix et de littérature. La position plus extrême de l'Italie par rapport à la France montre que les Italiens sont encore plus spécialisés en littérature que les Français. Quantitativement, ils obtiennent moins de prix littéraires que les Français mais le prix littéraire est une spécificité en Italie Car relativement aux autres catégories, les Italiens obtiennent principalement leurs prix Nobel en littérature. Le second axe oppose en bas du graphe la physique et la chimie et les Allemands et Japonais obtiennent principalement des prix dans ces disciplines.