Analyse des correspondances (cours 5/5) : aides à l'interprétation

Examinons maintenant les aides à l'interprétation classiques que sont la qualité de représentation et la contribution. Ces aides sont communes aux différentes méthodes d'analyse factorielle. La qualité de représentation d'un point se mesure à partir du même indicateur que pour un nuage, c'est-à-dire l'inertie projetée du point divisée par l'inertie totale du point. Cet indicateur montre dans quelle mesure l'écart du profil au profil moyen est est complètement représenté par l'axe. Reprenons l'interprétation géométrique. Le point Mi, qui représente le profil i, est projeté sur Us en un point His. Pour calculer la qualité de représentation du profil i par l'axe de rang s, on calcule donc le rapport inertie projetée de Mi sur Us divisée par l'inertie totale de Mi, ce qui donne fi point Ohis carré divisé par fi point Omi carré. Les fi. s'éliminent, cela signifie que la qualité de représentation ne dépend pas du poids. Ce que l'on voit, c'est que ce rapport n'est rien d'autre que le cosinus carré de l'angle entre OMi d'une part et Us d'autre part. Cette interprétation en termes de cosinus correspond bien à la question: dans quelle mesure l'écart entre le profil et le profil moyen est bien représenté par l'axe? Est-ce que le point Mi va bien dans la même direction que l'axe? Examinons les qualités de représentation sur le petit jeu de données des saveurs dans lequel il y a une confusion importante entre acide et amer. Examinons le point acide. Acide a une qualité de représentation de 0.89 sur le premier axe et 0.11 sur le second. Cela signifie que le point acide s'écarte du point moyen beaucoup plus le long de l'axe 1 que le long de l'axe 2. Effectivement, Le long de l'axe 1, on voit qu'acide ne s'associe jamais avec perçu sucré alors que le long de l'axe 2, acide s'associe quelquefois à perçu amer. Donc l'écart au profil moyen est beaucoup plus exprimé sur le premier axe que sur le second. En pratique, la qualité de représentation est utilisée de la manière suivante: lorsqu'on a beaucoup de points, pour commencer une interprétation, on sélectionne quelques points qui ont à la fois des coordonnées remarquables, c'est-à-dire qui sont éloignés le long de l'axe que l'on étudie, et à la fois qui ont une bonne qualité de représentation. Ainsi on sélectionne des points qui vont nous aider à bien interpréter puisqu'il sera facile de retrouver dans les données la signification de l'axe sachant que l'essentiel de l'écart entre le profil étudié et le profil moyen s'exprime sur l'axe. La seconde aide à l'interprétation classique qui est commune à toutes les méthodes factorielles est la notion de contribution. Pour calculer la contribution d'un point i à l'inertie d'un axe s, on calcule d'abord un indicateur brut qui est l'inertie projetée du point, soit avec nos notations fi. que multiplie OHis au carré. Cet indicateur brut est ramené en pourcentage en divisant par l'inertie totale de l'axe que nous avons déjà notée lambda_s. La multiplication par 100 de ce rapport permet une expression commode en pourcentage. On peut additionner les contributions de plusieurs éléments, c'est-à-dire calculer la contribution non pas d'un élément mais de 2 ou 3 éléments à la construction d'un axe. À quoi servent les contributions? Elles indiquent dans quelle mesure on peut considérer qu'un axe est dû à un élément ou à quelques éléments. Si par exemple pour un axe donné on retrouve qu'un élément contribue à 90% à l'inertie de cet axe, on pourra limiter l'interprétation de cet axe à cet élément. Quand une contribution est-elle grande? Elle est grande si à la fois la distance OHis est assez grande et si la masse fi. est assez grande. En ce sens, on peut dire que la contribution réalise un compromis opérationnel entre distance à l'origine et poids. Compromis opérationnel, c'est-à-dire que les contributions sont généralement utilisées dans le cas de grands tableaux pour sélectionner un sous-ensemble d'éléments pour commencer l'interprétation. On va ainsi sélectionner un ensemble d'éléments très contributifs. L'idéal étant de trouver un ensemble d'éléments qui soit à la fois très contributif et bien représenté. Illustrons la notion de contribution sur un exemple. Pour cela, nous n'utilisons pas les exemples précédents car dans ces exemples précédents les effectifs marginaux des lignes comme des colonnes sont très peu différents voire pas du tout différents. Nous avons construit ici un petit tableau dans lequel les effectifs marginaux des lignes sont très différents. On remarque ici que les effectifs marginaux de A et de D sont plus de 10 fois plus petits que les effectifs marginaux de B et de C. On réalise l'analyse des correspondances de ce tableau et on obtient les résultats suivants. Le premier axe est prépondérant avec 83% de l'inertie et nous allons nous y limiter. Il oppose les colonnes X1 à X4, X1 étant caractérisée par les lignes A et B, X4 étant caractérisé par les lignes C et D. Le long de cet axe, les coordonnées de A et de D sont extrêmes par rapport à B et C, elles sont beaucoup plus grandes. Examinons les contributions. Quand on regarde ce tableau de contributions, on voit que les contributions de B et C sont plus importantes que les contributions de A et D, bien que ces derniers aient des coordonnées plus extrêmes. La raison tient dans les effectifs marginaux. B et C ont certes des coordonnées plus faibles mais ils ont des poids beaucoup plus élevés. On voit sur cet exemple l'intérêt d'examiner les contributions en complément des graphiques de l'analyse des correspondances. Tempérons toutefois ceci en disant que dans notre exemple on a de très grandes différences d'effectifs marginaux qui vont de 1 à 10 et même plus que cela. On en conclura que, en analyse des correspondances, si l'on a des différences d'effectifs marginaux très importantes, la consultation des contributions est indispensable. En revanche, si les effectifs marginaux sont peu différents, la consultation des contributions apporte très peu par rapport aux coordonnées, les coordonnées représentant bien les contributions. Comme en ACP, il est facile de considérer des éléments supplémentaires puisqu'il suffit d'appliquer la formule de transition pour calculer par exemple les coordonnées d'une colonne supplémentaire. On a ajouté une colonne pour la médaille Fields qui est souvent considérée comme l'équivalent d'un prix Nobel en mathématiques. On peut voir que les mathématiques se positionnent du côté des prix Nobel de la paix et de littérature. Doit-on retrouver ici la proximité entre philosophie et mathématiques? On peut voir aussi que les mathématiques se positionnent du côté de la France et de la Russie qui sont 2 pays où les mathématiques sont une discipline particulièrement mise en avant. Mentionnons ici une propriété tout à fait remarquable de l'analyse des correspondances. Cette propriété s'appelle l'équivalence distributionnelle. Elle est particulièrement précieuse dans l'analyse de tableaux lexicaux. Si 2 lignes ou 2 colonnes ont exactement le même profil, on peut avoir envie de les regrouper. Quand on regroupe celles-ci, on n'a donc plus qu'une seule ligne, on a remplacé les 2 lignes par une seule en additionnant les effectifs. On peut alors se poser la question: quel tableau faut-il analyser? L'analyse des correspondances du premier tableau ou du deuxième tableau? L'équivalence distributionnelle nous dit que ces deux analyses conduisent exactement au même résultat. Ceci est très important lors de l'analyse de tableaux lexicaux et cela dépassionne tout à fait le débat: faut-il ou non regrouper les mots au singulier et au pluriel, les conjugaisons des verbes, certains mots synonymes, etc. Grâce à l'équivalence distributionnelle, on sait que si ces mots ont le même profil, il revient au même de les regrouper ou non. Et bien entendu, s'ils n'ont pas le même profil, il ne faut pas les regrouper car ils véhiculent des notions différentes. Une vidéo sur l'analyse textuelle est proposée en complément de ces vidéos de cours. Terminons cet exposé par quelques considérations sur le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls en analyse des correspondances. Prenons le point de vue du nuage des lignes comportant I points dans un espace à J dimensions. Comme il y a J dimensions, on peut penser dans un premier temps que l'on peut extraire J axes d'inertie non nuls. En fait, il n'en est rien car ce que nous analysons ce sont des profils. Les profils ont une particularité, c'est que la somme des coordonnées vaut 1. Le nuage est donc inclus dans un sous-espace de dimension J-1. Ainsi, le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls est inférieur ou égal à J-1. Si on adopte maintenant le point de vue du nombre de points, il nous faut représenter I points. Si on a 2 points, on peut les représenter par un seul axe. De façon plus générale, on saura parfaitement représenter à coup sûr I points avec au plus I-1 dimensions. Finalement, le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls en analyse des correspondances est inférieur au minimum des 2 nombres suivants: le nombre de lignes moins 1 et le nombre de colonnes moins 1. Ainsi, dans l'exemple sur le prix Nobel, comme nous avions un tableau avec 8 lignes et 6 colonnes, on était sûr avec 5 axes d'avoir un pourcentage d'inertie de 100%. Quelles conséquences pour le phi² qui est égal à la somme des valeurs propres sachant que ces valeurs propres sont toutes inférieures ou égales à 1? Eh bien le phi² est nécessairement inférieur ou égal au nombre maximum d'axes d'inertie non nuls, c'est-à-dire le minimum des 2 nombres suivants i-1 et j-1. D'où l'idée de rapporter ce phi² à sa valeur maximum. On obtient ainsi un indicateur, le V de Cramer, qui est compris entre 0 et 1 et qui mesure l'intensité de la liaison entre les 2 variables qualitatives. On a donc 2 indicateurs d'intensité de liaison: le phi² et le V de Cramer. Ils sont très proches, le V de Cramer a l'avantage de varier entre 0 et 1. Calculons ce V de Cramer pour les prix Nobel. On trouve 0.03. C'est une valeur faible qui nous indique que l'on est très très loin d'une association exclusive entre modalités. Si l'on calcule maintenant ce même indicateur, le V de Cramer, sur les tableaux des 3 saveurs, on trouve des valeurs de 0.69 et 0.52. Considérablement plus élevé, ce qui signifie qu'on a une liaison assez étroite entre les 2 variables. Quel bilan pouvons-nous tirer de l'exemple sur les prix Nobel? Même sur des données de petite taille, l'analyse des correspondances apporte une visualisation synthétique de l'écart à l'indépendance qui aide la compréhension du tableau. Ceci sera vrai a fortiori avec de grands tableaux. Alors dans ces données, on peut dire que l'essentiel de l'écart à l'indépendance est structuré par une opposition entre les prix scientifiques et les autres. Et dans une moindre mesure à une opposition entre physique-chimie et les sciences économiques. La position des pays illustre leurs spécificités par rapport aux prix qu'ils obtiennent. Le Royaume-Uni, au centre du graphique, n'est spécialisé dans aucune discipline et obtient des prix dans des proportions comparables à la proportion de prix distribués. France et Italie sont plutôt spécialisées dans les prix Nobel de la paix et de littérature. Japon et Allemagne sont spécialisés en physique-chimie tandis qu'USA et Canada sont spécialisés en sciences économiques. Conclusion sur cet exposé. Pour étudier la liaison entre 2 variables qualitatives, on construit un tableau de contingence, ça c'est la base. La liaison réside dans l'écart entre le tableau de contingence et le modèle d'indépendance. L'analyse des correspondances construit un nuage des lignes. Et un nuage des colonnes dont l'inertie totale mesure l'intensité de l'écart à l'indépendance. Elle décompose cette inertie totale sur une suite de directions d'importance décroissante représentant chacune un aspect synthétique de la liaison entre les 2 variables. Enfin, l'AFC fournit une représentation simultanée des lignes et des colonnes dans laquelle la position d'un point reflète sa participation à l'écart à l'indépendance. Pour aller plus loin, on consultera le livre présentant l'analyse des correspondances dans le même esprit que cette vidéo. Vous avez vu toutes les vidéos de cours sur l'analyse des correspondances. Vous pouvez voir maintenant la vidéo sur comment mettre en œuvre l'analyse des correspondances sous FactoMineR et faire les exercices.