Analyse des correspondances multiples (cours 1/4) : données et problématiques

Cette semaine, nous vous présentons 4 vidéos de cours sur l'analyse des correspondances multiples. Les principales caractéristiques de la méthode sont décrites à partir d'un exemple d'application. L'ensemble des vidéos aborde les points suivants: nous commencerons dans cette vidéo par décrire les données sur lesquelles on travaille en ACM. À partir de ces données, nous dégagerons des objectifs et une problématique. Ceci va nous conduire à une transformation du tableau de données en analyse des correspondances multiples. Comme dans toute analyse factorielle, on construit des nuages de points, nuage des lignes et nuage des colonnes. Il s'agit ici d'un nuage des individus et d'un nuage des modalités. Nous verrons comment visualiser le nuage des individus et comment l'interpréter grâce aux modalités. Nous verrons ensuite comment visualiser directement le nuage des modalités. Nous montrerons qu'en ACM, le nuage des individus et celui des modalités peuvent être représentés simultanément sur un même graphe. C'est ce qu'on appelle la représentation simultanée des 2 nuages. Nous verrons enfin dans une dernière vidéo les différentes aides à l'interprétation classique en analyse factorielle. Tout ceci va être illustré à partir d'une enquête de l'INSEE sur les loisirs des Français. Les données sur lesquelles nous travaillons sont constituées par un tableau rectangulaire avec I individus en lignes et J variables qualitatives en colonnes. Attention, distinguons bien une variable qualitative, par exemple la couleur, des modalités qu'elle peut prendre, par exemple bleu. À l'intersection de la ligne i et de la colonne j, on va trouver Vij, la modalité de la variable j possédée par l'individu i. Exemple: l'exemple classique en ACM est celui d'une enquête. On a interrogé I personnes et le questionnaire comprend J questions à choix multiples. Exemples de questions à choix multiples: quelle est votre catégorie socioprofessionnelle? Les modalités de réponse possibles sont ouvrier, employé, etc. Autre exemple de question: quelle est votre situation de famille Célibataire, marié, etc. La situation de famille, c'est la variable; célibataire, marié, ce sont les modalités que peut prendre cette variable. C'est ce tableau que l'on construit et que l'on fournit au logiciel d'analyse des correspondances multiples. À partir de ce tableau brut, on construit un tableau dit tableau disjonctif complet. On parle aussi de TDC. Dans le tableau disjonctif complet, les lignes sont les individus mais les colonnes sont cette fois les modalités des variables qualitatives. Ainsi, si la colonne j du tableau initial a Kj modalités, il y aura Kj colonnes dans le TDC, chacune correspondant à une modalité de la variable j. À l'intersection de la ligne i et de la colonne k, on trouve yik qui vaut 1 si l'individu i possède la modalité k de la variable j et 0 sinon. Prenons un petit exemple. La variable statut matrimonial a Kj modalités et l'individu i' présente la modalité marié qui est la 2e modalité. Dans le tableau disjonctif complet, au niveau de la ligne i' et de la variable j, on va trouver un 1 en 2e position puisque c'est la 2ème modalité qui est possédée par l'individu i', et des 0 partout ailleurs. On retrouve ici la raison de la dénomination tableau disjonctif complet: disjonctif parce que dans chaque petit bloc on ne veut pas rencontrer 2 fois un 1 et complet parce que l'on a forcément un 1. Petit point de vocabulaire: une colonne est une fonction indicatrice, on dit aussi plus rapidement une indicatrice. Le tableau disjonctif complet joue un rôle clé en ACM car c'est ce tableau qui est analysé par les logiciels. Cependant, l'utilisateur ne le construit jamais explicitement. Il fournit au logiciel le tableau initial individus× variables qualitatives. Pour bien comprendre la structure du tableau disjonctif complet, nous allons calculer ses marges. Commençons par la marge colonne. Calculons la somme des termes de la ligne i. Alors rappelons que yik vaut 1 si l'individu possède la modalité k et 0 sinon. Donc pour chaque bloc de colonnes correspondant à une même variable, on trouve une fois et une seule la valeur 1. Ainsi, en sommant sur l'ensemble des colonnes, on tombe sur le nombre de variables, c'est-à-dire J. La marge colonne est donc constante pour tous les individus et la somme des termes du tableau vaut I× J, soit le nombre d'individus multiplié par le nombre de variables. Calculons maintenant la marge ligne. Comme yik vaut 1 si l'individu possède la modalité k, la somme des termes de la colonne k est égale au nombre d'individus possédant la modalité k, ce que l'on va noter de la façon suivante: i× pk, c'est-à-dire le nombre d'individus multiplié par la proportion d'individus possédant la modalité k. Si on effectue la somme des Kj termes de cette marge ligne, correspondant à une variable j, on trouve I. Et donc on retrouve que la somme des termes de l'ensemble du tableau vaut I fois J. Décrivons maintenant quels sont les objectifs que l'on poursuit lorsque l'on met en œuvre une analyse des correspondances multiples. Plaçons-nous dans le cas d'une enquête. Nos individus sont des enquêtés, les variables sont les questions d'un questionnaire. On va commencer par l'étude des individus puis continuer par l'étude des variables. L'étude des individus en analyse des correspondances multiples, comme en ACP, c'est d'abord une approche multidimensionnelle. Un individu, qui est une ligne du tableau, est considéré du point de vue de l'ensemble de ses modalités. Ceci intervient lorsqu'on compare des individus. On va dire que des individus se ressemblent si dans l'ensemble ils ont le même profil. On peut avoir en tête ici un profil de type Facebook par exemple. Et 2 individus ont des profils similaires et donc se ressemblent s'ils ont choisi les mêmes modalités. Et 2 individus sont différents s'il y a peu de modalités en commun dans leurs réponses. Alors l'ensemble de ces ressemblances et de ces différences entre individus constitue ce qu'on appelle la variabilité des individus. En analyse des correspondances multiples, c'est bien la variabilité de ces individus que l'on étudie. Si tous les individus avaient répondu de la même façon au questionnaire, il n'y aurait pas d'analyse statistique, il suffirait de présenter le questionnaire type. Mais justement, tous les individus n'ont pas répondu la même chose et l'analyse des correspondances multiples va explorer cette variabilité et l'explorer d'un point de vue multidimensionnel. Comme nous sommes en analyse factorielle, la façon de décrire cette variabilité est d'en extraire les principales dimensions. On va ainsi mettre en évidence des dimensions qui séparent par exemple des individus extrêmes et des individus moyens. Ces dimensions seront décrites en en relation avec les modalités. On ne va pas dire qu'une dimension sépare les individus 1, 3 et 4 de 10, 11 et 12. On va dire qu'on a une dimension qui sépare par exemple les hommes et les femmes, les habitants du nord, les habitants du sud, les ouvriers, les cadres, etc. Deuxième aspect de la problématique, c'est l'étude des variables. Ici nos variables sont qualitatives, c'est-à-dire que l'on s'intéresse aux associations entre modalités puisque 2 variables qualitatives sont liées, si les modalités de l'une s'associent de façon particulière aux modalités de l'autre. On souhaite une visualisation d'ensemble des associations entre modalités, ce qui permettra d'obtenir une visualisation d'ensemble des liaisons entre les variables. Dernier aspect, la construction de variables synthétiques: on va chercher un indicateur quantitatif fondé sur les variables qualitatives qui résume le mieux possible les variables. Toute cette problématique ressemble beaucoup à la problématique de l'analyse en composantes principales. Cela tient à la structure du tableau qui est individus× variables dans les 2 cas. Mais bien sûr, d'un point de vue technique, tout va se passer très différemment puisque dans un cas, en analyse en composantes principales, les variables sont quantitatives et dans l'autre, en analyse des correspondances multiples, les variables sont qualitatives. Nous allons illustrer l'analyse des correspondances multiples sur les résultats d'une enquête effectuée en 2003 auprès de 8 400 personnes âgées de 18 ans ou plus. L'INSEE a réalisé une enquête sur la construction des identités appelée Histoire de vie. Un extrait de cette base de données a été utilisé pour décrire les loisirs des Français. Le jeu de données contient 8403 lignes et 22 colonnes. Les variables peuvent se répartir en 2 catégories. Les 18 premières variables concernent différentes activités de loisirs. Les questions étaient posées de la façon suivante: êtes-vous allé au cinéma lors des 12 derniers mois sans avoir été obligé de le faire? C'est ce que nous noterons cinéma oui/non. Nous avons également des variables lecture oui/non, écouter de la musique oui/non, etc. Nous avons également le nombre d'heures en moyenne passées à regarder la télévision avec 5 modalités: pas du tout, environ 1 heure, environ 2 heures, environ 3 heures et 4 heures ou plus. Les 4 variables suivantes concernent le signalétique des individus, à savoir le sexe , l'âge découpé en tranches d'âge , la situation matrimoniale et la catégorie socioprofessionnelle de l'enquêté . Le tableau de données a la structure suivante: en ligne les 8403 enquêtés et en colonne les 18 activités puis les 4 variables du signalétique. La première chose que l'on regarde dans une enquête comme celle-ci, ce sont les effectifs des modalités. Ici, nous donnons le nombre de pratiquants pour chaque activité, trié par ordre décroissant. Écouter de la musique est l'activité la plus pratiquée, par 5947 personnes sur 8403, suivie des activités lecture, marche, etc. En bas de la liste, on va trouver les activités collection et pêche qui sont moins pratiquées et enfin on trouve le nombre de personnes pour chaque modalité du nombre d'heures passées devant la télévision, la variable étant découpée en 5 classes. Si maintenant on regarde le signalétique, on voit que l'on a des non-réponses pour la profession, nous avons 1498 non-réponses. Nous avons traité les non-réponses comme des modalités ordinaires, ainsi la profession a 8 modalités. Avant de mettre en œuvre une analyse des correspondances multiples, il convient de se demander quelle analyse précisément nous devons réaliser sachant que les variables sont constituées par 2 groupes le groupe des activités, le groupe du signalétique. Un premier point de vue consiste à donner le statut actif aux activités et le statut supplémentaire au signalétique. Dans cette analyse, un individu est considéré uniquement du point de vue de son profil d'activité. En d'autres termes, un individu c'est un profil d'activité. Tous ces profils d'activité sont le lieu d'une certaine variabilité et on va rechercher les principales dimensions de variabilité de ces profils d'activité. Une fois celles-ci obtenues, on introduit le signalétique en illustratif et la question est alors de rechercher les liaisons entre les dimensions de variabilité des profils d'activité d'une part et le signalétique d'autre part. Un deuxième point de vue, symétrique du précédent, consiste à donner le statut actif au signalétique et à introduire les activités en supplémentaire. Un individu est alors caractérisé par son signalétique. On est en face d'un ensemble signalétique dont on va rechercher les principales dimensions de variabilité. Cela revient à étudier finalement le plan de sondage puis à rechercher les liaisons entre les dimensions de variabilité du signalétique et les loisirs. Enfin, un troisième point de vue consiste à introduire les activités et le signalétique en actifs, c'est-à-dire qu'un individu est composé de données hétérogènes. Sans entrer dans les détails, l'analyse d'un tel ensemble nécessite un équilibre entre les deux types de données. Ceci renvoie à d'autres méthodes comme l'analyse factorielle multiple. Nous ne dirons rien de plus sur ce point et dans la suite Nous ne présenterons que la première analyse. Un individu est donc considéré uniquement du point de vue de son profil d'activité. L'analyse des correspondances multiples travaille à partir du tableau disjonctif complet mais ce TDC est au préalable transformé. Indiquons d'abord qu'en ACM tous les individus ont le même poids. Il n'y a aucune raison d'accorder plus d'importance aux réponses d'un enquêté plutôt qu'à celles d'un autre. Et comme la somme des poids doit être égale à 1, le poids de chaque individu est égal à 1/I. Rappelons aussi que la valeur yik du TDC vaut 1 si l'individu i possède la modalité k de la variable j. Cette valeur de 1 ne dépend pas de la modalité k et en particulier elle ne dépend pas de son effectif. Or si un individu possède une modalité rare, cela le caractérise beaucoup plus que s'il possède une modalité fréquente. À la limite, si une modalité est possédée par tous les individus, elle ne caractérise absolument pas l'un d'entre eux. D'où l'idée de diviser yik par pk. On va obtenir ainsi une valeur xik qui sera d'autant plus grande que la modalité possédée est rare. En codant ainsi le tableau disjonctif complet, la moyenne des xik est égale à 1. En analyse des correspondances multiples, les données sont centrées, ce qui veut dire que finalement dans la case Xik on va mettre Yik sur Pk- 1. Le tableau des Xik est le tableau sur lequel l'analyse factorielle est effectuée. Si nous faisons un parallèle avec l'analyse en composantes principales, Xik est tout simplement la donnée centrée-réduite. Nous avons vu quelles étaient les données et les problématiques associées de l'ACM. Nous verrons dans les vidéos suivantes comment construire et ajuster un nuage d'individus et un nuage des modalités à partir de ce tableau de xica.