Analyse des correspondances multiples (cours 2/4) : représentation des individus

Nous avons vu sur quelles données s'applique l'ACM et quelles sont les problématiques associées. En ACM, comme dans toute analyse factorielle, on construit 2 nuages de points: le nuage des lignes et le nuage des colonnes. Commençons ici par le nuage des lignes, c'est-à-dire le nuage des individus. Dans le tableau disjonctif complet, un individu est représenté par une ligne du tableau: c'est un ensemble de k valeurs numériques et donc un point dans un espace à k dimensions. Chaque dimension correspondant à une modalité. Chaque modalité en ACM a un poids proportionnel à son effectif. Comme la somme des poids doit être égale à 1, le poids de la modalité k est donc pk/J. Le point Mi a comme coordonnée xik et on a vu que chaque individu est affecté du poids 1/i. Lorsque l'on considère l'ensemble des points, on considère le nuage Ni. Ce nuage NI a pour centre de gravité GI qui est confondu avec l'origine puisque les variables sont centrées. Faisons apparaître le point I' afin d'exprimer la distance entre les individus i et i'. Le carré de cette distance s'écrit ainsi: c'est la somme des carrés des différences des coordonnées sachant que chaque carré de différence de coordonnées est pondéré par le poids de la modalité correspondante, c'est-à-dire pk/j. Si l'on exprime cette distance en fonction du tableau disjonctif complet, on obtient la relation suivante qui après simplification s'écrit ainsi. La distance s'écrit sous cette forme lorsque l'on présente l'analyse des correspondances multiples comme une analyse des correspondances sur le tableau disjonctif complet. Faisons quelques remarques sur le choix de la distance. Si 2 individus prennent les mêmes modalités et ont exactement le même profil, la distance qui les sépare est nulle. Si 2 individus ont en commun beaucoup de modalités, la distance qui les sépare sera petite. Si 2 individus ont en commun beaucoup de modalités sauf une rare qui est prise par l'un des 2, alors la distance qui les sépare sera relativement grande grâce au pk qui sera petit pour prendre en compte la spécificité de l'un des 2. Si 2 individus ont en commun une modalité rare, la distance qui les sépare sera relativement petite pour prendre en compte leur spécificité commune. Calculons maintenant la distance d'un point à l'origine. Le carré de la distance entre un individu et l'origine est égal à la somme des carrés des coordonnées, toujours pondérées par le poids des modalités. Si l'on fait apparaître le tableau disjonctif complet, on a la relation suivante: qui après simplification s'écrit ainsi. On voit bien apparaître ici une somme des yik sur pk, c'est-à-dire une somme qui va être d'autant plus grande que les modalités possédées par l'individu i sont rares, c'est-à-dire associées à des pk qui sont petits. Cette relation met en évidence qu'un individu est d'autant plus loin de l'origine qu'il possède des modalités rares. Calculons pour terminer l'inertie totale du nuage NI. On calcule d'abord l'inertie à un point, c'est-à-dire son poids multiplié par le carré de sa distance à l'origine, et pour le nuage on effectue la sommation sur tous les individus. Tout calcul fait, on obtient que l'inertie totale est égale à K/J- 1. Cette quantité ne dépend pas du contenu du tableau lui-même mais simplement d'un aspect de son format, c'est-à-dire le nombre de modalités et le nombre de variables. Ce résultat est différent de celui de l'analyse des correspondances. Puisqu'en analyse des correspondances, l'inertie totale est égale au Phi² et mesure donc l'écart à l'indépendance. Par contre, ce résultat est assez analogue à celui de l'analyse en composantes principales normées où l'inertie totale est égale au nombre de variables et ne dépend donc pas du contenu du tableau mais uniquement de son format. Nous avons défini le nuage des individus. Comme pour toute analyse factorielle, nous allons maintenant projeter ce nuage pour le visualiser dans un sous-espace de dimension plus petite. Souvent, on se contentera de représenter le nuage sur un plan. Pour ce faire, nous appliquons une analyse factorielle à ce nuage, c'est-à-dire que l'on projette ce nuage sur une suite d'axes orthogonaux d'inertie maximum. On obtient un plan factoriel pour les individus qui est la meilleure représentation plane des individus. Reprenons le jeu de données sur les loisirs des Français. Les 18 premières variables correspondent aux loisirs des Français et sont considérées comme les variables actives du jeu de données. Ainsi, ce sont ces 18 variables qui servent à calculer les distances entre individus. Les variables de signalétique ont le statut de variables supplémentaires et seront utilisées ultérieurement pour aider à l'interprétation des résultats. Comme dans toute analyse factorielle, commençons par regarder la décroissance des inerties associées à chaque axe. Ici, le diagramme en barres met en évidence que le premier axe a une inertie supérieure aux suivants. Cela incite à interpréter le premier plan factoriel en priorité et à s'y limiter dans un premier temps. Le pourcentage d'inertie associé à ce premier plan est de 24%. Ce chiffre peut-il être considéré comme élevé ou bas? Rappelons que nous analysons des profils d'activités assez complexes puisqu'il y a 18 loisirs et une très grande variabilité. Parmi nos enquêtés, il y a des jeunes, des vieux, des hommes, des femmes, on peut s'attendre à une très grande diversité des profils d'activité. Et on ne peut pas s'attendre à ce que cette diversité puisse s'exprimer simplement sur 2 composantes. Si l'on regarde maintenant les axes 3 et 4, ils ont des inerties comparables et relativement grandes. Dans cette analyse, nous ne regarderons pas le plan 3-4 mais il s'interprète bien. Finalement, si l'on interprétait les 4 axes, on aurait un pourcentage d'inertie expliquée de 35%. Le reste, eh bien, c'est un ensemble de variabilités individuelles. En analyse des correspondances multiples, comme en analyse en composantes principales, la première chose qu'il faut examiner est l'allure générale du nuage des individus. Ici, cette allure générale est tout à fait régulière. Il n'y a rien d'autre à dire. Alors qu'est-ce que serait une allure très particulière? Cette représentation par exemple est particulière et met en évidence 3 classes d'individus bien distinctes. Lorsqu'on a vu ça, il est clair que ces 3 classes d'individus vont dominer l'interprétation. C'est pour ça qu'il faut toujours examiner en premier l'allure générale du nuage des individus quitte à dire qu'elle est tout à fait régulière et qu'il n'y a rien de particulier d'autre à en dire. Cette autre représentation des individus montre une allure de graphe particulière mais assez fréquente en ACM, en forme de fer à cheval. On parle d'effet Guttmann. Cet effet Guttmann a tendance à répartir sur un axe, ici l'axe horizontal, les individus selon des modalités croissantes, par exemple faible à gauche, moyenne au milieu, forte à droite, et à opposer sur l'autre axe, ici l'axe vertical, les individus extrêmes, qui prennent de faibles ou fortes valeurs, aux individus moyens. Pour comprendre les principales dimensions de variabilité, nous pouvons utiliser les variables qualitatives du jeu de données. Une première idée consiste à colorier les points en fonction des modalités qu'ils prennent sur une variable. Par exemple ici pour la variable jardinage, ceux qui jardinent sont en rouge, les autres en noir. On voit que les points rouges sont plutôt en haut du graphe par rapport aux points noirs et donc l'axe 2 semble séparer les individus selon qu'ils jardinent ou non. Évidemment on peut construire ces graphes pour chaque variable mais cela deviendrait vite fastidieux. On peut alors avoir l'idée d'utiliser les modalités des variables ou les variables pour pour caractériser et interpréter le graphe des individus. Commençons par utiliser les modalités. Une modalité peut être vue comme un groupe d'individus et il est donc naturel de la représenter directement sur le graphe des individus. Pour ce faire, on va placer une modalité au barycentre des individus qui la possèdent. Pour la variable jardinage, on a donc 2 points: la modalité jardinage oui en rouge et jardinage non en noir. Rappelons la propriété suivante: l'origine du nuage est au barycentre des modalités d'une même variable si chaque modalité a un poids proportionnel à son effectif. Ici, le point jardinage non est plus proche de l'origine que le point jardinage oui. Cela signifie qu'il y a peu de personnes qui font du jardinage comparé au nombre de personnes qui n'en font pas: 3356 disent jardiner et 5047 ne pas jardiner. Et ces effectifs sont proportionnels à la distance entre la modalité et l'origine. Ainsi, les modalités de faible effectif seront plus éloignées de l'origine. Dans ce graphe, on a placé toutes les modalités de toutes les variables sur la représentation des individus. Comme les modalités sont des moyennes, puisque ce sont des barycentres, les points sont tous proches du centre de gravité. Les modalités oui sont coloriées en rouge et les modalités non en noir. Si on efface les points représentant les individus et que l'on zoome sur le graphique, voici la répartition des modalités sur le premier plan factoriel du graphe des individus. La première chose qui frappe dans ce graphique, c'est bien sûr le regroupement d'un côté des modalités activité oui et de l'autre côté des modalités activité non. Indiquons tout de suite qu'il ne s'agit pas d'un artefact car dans le tableau disjonctif complet rien n'indique certaines modalités sont des oui et d'autres des non. Il s'agit donc bien d'une structure dans les données. Cette opposition s'organise non pas selon le premier axe ou le deuxième axe mais plutôt selon la première bissectrice. Il n'y a pas d'inconvénient à interpréter de préférence cette première bissectrice. Pour nous aider dans l'interprétation, nous allons prendre quelques individus caractéristiques. Choisissons 4 individus qui sont bien opposés par cette bissectrice. 5938 et 2432 d'un côté et 8325 et 203 de l'autre. Le graphique des modalités montre que les individus 5938 et 2432 sont du côté des réponses oui, ce qui suggère qu'ils ont beaucoup d'activités de loisirs. A contrario, les individus 8325 et 203 sont du côté des modalités non, ce qui suggère qu'ils ont peu d'activités. Si on revient au tableau de données, on retrouve parfaitement cette information: 5938 et 2432 font presque toutes les activités tandis que 8325 et 203 n'en font aucune, mis à part regarder beaucoup la télé. Cette opposition sur la première bissectrice correspond donc à une intensité d'activités de loisirs et oppose des individus qui ont déclaré avoir beaucoup de loisirs à des individus qui ont déclaré en avoir très peu. Après avoir interprété la première bissectrice de ce plan factoriel, nous allons essayer d'interpréter la seconde bissectrice. Cette seconde bissectrice sépare 2 groupes de modalités. Un premier groupe comprend les modalités cinéma oui, ordinateur oui, spectacle oui, sport oui, jouer de la musique oui, jardinage non, cuisine non, tricot non. Ce groupe de modalités s'oppose à un autre groupe qui comprend les modalités inverses: cinéma non, ordinateur non, spectacle non, sport non, jouer de la musique non, jardinage oui, cuisine oui, tricot oui. Utilisons à nouveau des individus particuliers pour caractériser cette seconde bissectrice. Les individus 255 et 6766 ont des loisirs plutôt jeunes et n'ont pas de loisirs disons plutôt tranquilles. À l'opposé, 1143 et 5676 ont plutôt des loisirs tranquilles et pas d'activité jeune. On peut noter que les 4 individus pratiquent à peu près autant d'activité et c'est pour cette raison que sur la première bissectrice ils ont à peu près la même coordonnée. On est bien ici en train de commenter une bissectrice orthogonale à la première et donc de répondre à la question: à nombre d'activités constant, qu'est-ce qui sépare nos individus? Si on fait un bilan de cette représentation des modalités, On peut dire que la variabilité des profils d'activité peut être organisée autour de 2 dimensions: une dimension d'intensité qui oppose les individus qui ont beaucoup d'activité à des individus qui en ont peu et une dimension sur les types d'activité, jeune ou senior. Nous verrons ultérieurement comment projeter les modalités des variables supplémentaires du signalétique avant de répondre à la question suivante: est-ce que ces dimensions de variabilité que nous venons de mettre en évidence sont liées à certaines variables du signalétique et notamment à l'âge par exemple. Reprenons le graphe des individus coloriés en fonction des modalités de la variable jardinage. On va considérer les projetés de chaque individu sur un axe. On voit ici tous les projetés sur l'axe 2 et on va calculer un indicateur de liaison entre les coordonnées des individus sur l'axe 2 et la variable qualitative jardinage. L'indicateur de liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative est le rapport de corrélation. C'est cet indicateur qui est utilisé en analyse de variance à un facteur. On utilise souvent le carré du rapport de corrélation qui est égal au pourcentage de variabilité de la variable quantitative expliquée par la variable qualitative. Cet indicateur varie entre 0 et 1. Il vaut 0 s'il n'y a aucune liaison entre les 2 variables, c'est-à-dire si les moyennes de la variable quantitative pour chaque modalité de la variable qualitative sont égales. Et il vaut 1 si les moyennes sont différentes et si la variabilité intra-modalité est nulle, autrement dit si tous les individus d'une même modalité prennent exactement la même valeur sur la variable quantitative. Ici, le rapport de corrélation au carré entre la variable jardinage et la seconde dimension est égal à 0.453. Ce graphe ne permet pas de lire directement le carré du rapport de corrélation mais il donne une idée de la séparation des points selon les modalités de la variable jardinage. Et un carré de rapport de corrélation de 0.453 sépare déjà bien les points. Le carré du rapport de corrélation entre jardinage et la première dimension est quant à lui égal à 0.047. Cette valeur est faible Et en effet, sur le premier axe, les projetés rouges et noirs semblent bien mélangés. Il n'y a pas de séparation de ces 2 classes d'individus. On récupère alors les rapports de corrélation au carré de chaque variable avec les dimensions 1 et 2 pour construire un graphe des variables que l'on appelle aussi graphe du carré des liaisons. Tous les points vont en effet se retrouver dans un carré de côté 1. Notez que sur ce graphe, une variable qui a 3 modalités ou plus peut avoir à la fois une coordonnée de 1 sur la première dimension et de 1 sur la deuxième dimension. Pour la variable jardinage, on place le point aux coordonnées 0.047 sur l'axe 1 et 0.453 sur l'axe 2. On va alors commenter les variables qui ont les carrés de rapports de corrélation les plus grands sur les axes 1 et 2 pour démarrer l'interprétation. Mais on va aussi prendre en compte la valeur de chaque rapport de corrélation au carré car une variable, même si elle est la plus liée à un axe, ne sera pas vue de la même manière si le carré de son rapport de corrélation vaut 0.3 ou 0.9. Dans notre exemple, les liaisons ne sont pas très fortes, pas très proches de 1. Si on zoome sur le graphe, on voit que les variables exposition, spectacle, ordinateur, cinéma sont liées à la première dimension. Le carré du rapport de corrélation varie entre 0.3 et 0.4. Ceci n'est pas très élevé mais, compte tenu du nombre très important d'individus, ces rapports de corrélation au carré sont très significativement différents de 0. On peut donc prendre en compte ces variables dans l'interprétation du premier axe et donc du plan. Attention toutefois, on ne peut pas interpréter les probabilités critiques exactement comme dans un test classique. En effet, L'axe factoriel a été construit à partir des variables qualitatives, donc il ne faut pas s'étonner qu'il y ait des liaisons et que les carrés de rapports de corrélation soient grands. On a tout fait pour. Autrement dit, cette probabilité critique ne peut s'interpréter comme un test classique de statistiques que pour les variables supplémentaires. Cela reste cependant un indicateur tout à fait intéressant. Nous pouvons noter une propriété très intéressante l'ACM recherche les dimensions factorielles les plus liées possibles aux variables du jeu de données au sens du carré du rapport de corrélation. Concrètement, pour trouver l'axe s, on cherche parmi les variables orthogonales aux axes précédemment trouvés la variable la plus liée aux variables du jeu de données, plus liée au sens où elle maximise la somme des rapports de corrélation au carré. Nous verrons dans la prochaine vidéo comment construire un nuage des modalités et comment en avoir une représentation optimale. Nous soulignerons aussi le lien avec la représentation des individus que nous venons d'obtenir. C'est cette liaison entre les 2 représentations qui fait toute la richesse de l'ACM.