Analyse des correspondances multiples (cours 3/4) : représentation simultanée

Nous avons vu comment construire et ajuster un nuage des individus et comment l'interpréter grâce aux modalités des variables. Dans cette vidéo, nous allons voir comment construire un nuage des modalités et comment en avoir une représentation optimale. Nous verrons le lien entre la représentation optimale des individus et la représentation optimale des modalités grâce aux relations de transition. Reprenons le tableau qui croise les individus et les modalités. Sur la ligne i et la colonne k, on a xik qui est égal à yik sur pk- 1. yik vaut 1 si l'individu prend la modalité k, 0 sinon. pk est la proportion d'individus prenant la modalité k. Et on soustrait 1 pour centrer chaque colonne. Examinons le nuage des modalités, c'est-à-dire celui des colonnes. Une colonne prend une valeur pour chacun des I individus C'est donc un ensemble de I valeurs numériques. En ce sens, c'est un point d'un espace à I dimensions, chaque dimension correspondant à un individu. Voici ici l'individu i auquel est affecté le poids 1/I. La modalité est représentée par le point Mk à partir de ses coordonnées xik. On rappelle que le poids d'une modalité est proportionnel à son effectif. Lorsque l'on considère l'ensemble des modalités, on considère le nuage NK des modalités. Ce nuage possède la propriété suivante: pour un individu i, la somme des coordonnées xik des modalités d'une même variable est égale à 0. Ainsi, l'origine est confondue avec le centre de gravité des modalités d'une même variable. Comme cette propriété est vraie pour toutes les variables, le centre de gravité du nuage NK est confondu avec l'origine. Calculons la variance de la modalité k. Cette variance est égale au carré de la distance entre cette modalité et l'origine dans l'espace RI. Écrivons cette distance au carré. C'est bien la somme des carrés des coordonnées pondérées par les poids 1/I. Exprimons cette variance en fonction du tableau disjonctif complet. Voici ce que l'on obtient. Tous calculs faits, on obtient 1/P_k- 1. C'est-à-dire que la distance entre un point Mk représentant donc la modalité k et l'origine est d'autant plus grande que cette modalité est rare. En analyse des correspondances multiples, les modalités rares sont très éloignées de l'origine. Regardons comment varie cette distance en fonction de pk pour quelques valeurs numériques. On voit que lorsque pk passe de 1/2 à 1/5, la distance double. Lorsque pk passe de 1/5 à 1/10, la distance augmente encore de 50%. C'est donc un point important et l'on voit que cette distance augmente beaucoup avec la rareté d'une modalité. Mais attention, en analyse factorielle, c'est l'inertie et non la distance qui compte dans la construction des axes. Examinons donc l'inertie de la modalité k. L'inertie est le carré de la distance entre k et l'origine multiplié par le poids de la modalité. On voit bien que lorsqu'une modalité est rare, la distance augmente mais le poids diminue. Il y a donc un antagonisme et tout calcul fait on obtient /J, ce qui montre bien que lorsqu'une modalité est rare, elle a une forte inertie. Elle va donc influencer les résultats de l'analyse des correspondances multiples. Regardons avec J= 10 variables comment évolue cette inertie en fonction de la fréquence. Lorsque pk passe de 1/2 à 1/10, l'inertie double pratiquement puisqu'elle passe de 0.05 à 0.09. On voit bien ici l'influence d'une modalité rare. En revanche, remarquons que lorsqu'on passe de 1/10 à 1/100, c'est-à-dire d'une modalité rare à une modalité très rare, eh bien l'inertie n'augmente quasiment plus. Le problème en ACM est donc bien celui des modalités rares qui ont une forte influence, plus que celui des modalités très rares. Calculons enfin la distance entre 2 modalités et exprimons cette distance en fonction des éléments du tableau disjonctif complet yik et yik'. On peut exprimer cette distance uniquement en fonction de pk, pk' et de la proportion d'individus qui prennent à la fois les modalités k et k', ce que nous notons pkk'. On voit que plus on a d'individus qui ont choisi une seule des 2 modalités et plus la distance est grande. Calculons maintenant l'inertie d'une variable j. Il suffit en fait de faire la somme des modalités de la variable. On reprend donc l'inertie d'une modalité k et on somme sur les k_j modalités de la variable j. Tout calcul fait, on trouve /J, c'est-à-dire que l'inertie d'une variable est proportionnelle au nombre de modalités moins 1 de la variable. Dans un questionnaire par exemple, la variable sexe a 2 modalités et donc une inertie de 1/J, 1 sur le nombre de variables. Prenons maintenant la variable région qui a 21 modalités. L'inertie totale de cette variable région vaut 20/J. Dans un premier temps, on peut s'inquiéter de cette disparité entre ces 2 inerties qui varient de 1 à 20 et chercher à avoir des variables ayant à peu près le même nombre de modalités. En fait, il n'en est rien car l'analyse des correspondances multiples gère parfaitement cette différence d'inertie. En effet, une variable j à Kj modalités correspond à Kj indicatrices dans le tableau disjonctif complet. Et correspond donc à un sous-espace à Kj-1 dimensions. On peut voir qu'il y a Kj-1 dimensions en considérant qu'il y a une liaison entre toutes ces indicatrices: leur somme vaut 1. Or nous avons vu que l'inertie de l'ensemble des modalités de la variable j est proportionnelle à Kj-1, Kj-1 étant précisément la dimension du sous-espace dans lequel se trouve cette inertie. Autrement dit, Une variable qui a beaucoup de modalités a une inertie très importante, mais cette inertie est en quelque sorte diluée dans un sous-espace de dimension également importante. Ceci explique pourquoi la variable sexe ne peut être très liée qu'à un seul axe: il n'y aura qu'un axe qui oppose fortement les hommes et les femmes. Alors que la variable région, elle, pourra être très liée à de nombreux axes: un axe opposant le nord et le sud, un autre l'est et l'ouest, etc. Enfin, on peut calculer l'inertie totale en faisant la somme des inerties de chaque variable et on retombe sur la même inertie que l'inertie du nuage des individus, à savoir K/J- 1. On va, comme on en a pris l'habitude, ajuster ce nuage des modalités par analyse factorielle, c'est-à-dire construire séquentiellement les axes en recherchant un axe qui maximise l'inertie et qui est orthogonal aux axes précédemment trouvés. Voici la représentation des modalités. C'est cette représentation qui est optimale pour visualiser le nuage des modalités. Ce graphe ressemble très fortement à celui que nous avons construit lorsque nous avons utilisé les modalités pour interpréter le graphe des individus, même si la représentation n'est pas exactement la même. Cependant, l'interprétation de ce graphe sera très similaire à celle que nous avons déjà faite. Un premier axe ou plutôt une première bissectrice qui oppose ceux qui ont peu d'activités de ceux qui en ont beaucoup et une deuxième bissectrice qui oppose des activités plutôt jeunes à des activités plutôt seniors. De façon symétrique par rapport à ce que nous avions fait dans l'étude des individus, nous pouvons projeter les individus sur ce graphe des modalités. Un individu peut être considéré comme un ensemble de modalités, celles qu'il possède. Et on peut positionner un individu au barycentre des modalités qu'il possède. Tous les individus se positionnent ici au centre du nuage, ce qui est attendu puisque les individus sont ici considérés comme des moyennes. Alors revenons sur les différents graphes que nous avons construits et voyons le lien entre tous ces graphes. Reprenons d'abord la représentation optimale du nuage des individus que nous avons construite dans l'étude des individus. Dans la vidéo précédente. Pour interpréter ce graphe, nous avons positionné chaque modalité au barycentre des individus qui la possèdent. Si on note gsk la coordonnée de la modalité k sur la dimension s, nous pouvons écrire cette formule: yk vaut 1 si l'individu i prend la modalité k et 0 sinon. Donc on a ici la somme des coordonnées des individus qui prennent la modalité k divisée par le nombre d'individus qui prennent la modalité k. On est bien en train de calculer la moyenne des coordonnées des individus qui prennent la modalité k. Nous pouvons maintenant considérer la représentation optimale des modalités que nous avons construite dans cette vidéo. Nous pouvons remarquer que les coordonnées des modalités sont dilatées par rapport au graphe de gauche. Nous pouvons projeter chaque individu au barycentre des modalités qu'il possède. La coordonnée d'un individu i sur l'axe s est donc la moyenne des modalités prises par l'individu. Dans cette formule, yik que multiplie gsk correspond à la somme des coordonnées des modalités prises par l'individu i. Et comme un individu possède une et une seule modalité par variable et qu'il y a J variables, on divise par J pour avoir la moyenne des coordonnées des modalités que l'individu possède. Les 2 graphes de droite et de gauche diffèrent mais À une dilatation près. Dans le graphe de gauche, si on conserve la position des individus mais que l'on dilate le nuage des modalités d'un coefficient 1 sur racine de lambda_s, voici ce que l'on obtient comme graphe. Lambda_s est la valeur propre associée à l'axe s et je dis que l'on dilate le nuage des modalités car lambda_s est toujours inférieur à 1. Dans l'écriture de la relation, il suffit d'introduire ce coefficient 1 sur racine de lambda_s. Sur le graphe de droite, nous conservons la position des modalités et dilatons cette fois le nuage des individus, toujours en utilisant le même coefficient 1 sur racine de lambda_s. Dans la relation de transition, on introduit donc seulement un terme 1 sur racine de lambda_s. Et que remarque-t-on maintenant? Eh bien avec ces 2 dilatations, les graphes de gauche et de droite sont parfaitement identiques. C'est ce graphe que l'on appelle représentation simultanée et qui est fourni par les logiciels quand on exécute une ACM. La représentation des individus est optimale, celle des modalités également. Les 2 relations de transition montrent comment passer d'une représentation à l'autre et nous aident dans l'interprétation du graphe. La relation de gauche nous dit qu'une modalité est au barycentre, plutôt au pseudo-barycentre des individus qui la possèdent. Et celle de droite nous dit qu'un individu est au barycentre, ou plutôt au pseudo-barycentre, des modalités qu'il possède. Ainsi un individu sera du côté des modalités qu'il possède et à l'opposé des modalités qu'il ne possède pas. De même, une modalité est du côté des individus qui la possèdent et à l'opposé de ceux qui ne la possèdent pas. Cette symétrie entre les 2 propriétés fait que l'on parle de double propriété barycentrique. Nous avons vu comment ajuster le nuage des individus et le nuage des modalités. Nous verrons dans la prochaine vidéo plusieurs aides à l'interprétation et comment utiliser des informations supplémentaires comme le signalétique en ACM.