Analyse des correspondances multiples (cours 4/4) : aides à l'interprétation, variables suppl.

Nous avons vu comment ajuster le nuage des individus et le nuage des modalités. Dans cette vidéo, nous allons détailler quelques aides à l'interprétation communes à toute analyse factorielle et voir comment utiliser des informations supplémentaires comme le signalétique en ACM. L'inertie d'un axe en ACM est particulière car elle est égale à la moyenne des carrés des rapports de corrélation entre l'axe et les variables. Cette propriété valide l'interprétation des facteurs de l'ACM en tant que variables synthétiques. Les facteurs de l'ACM sont des variables quantitatives qui synthétisent les variables qualitatives. Les rapports de corrélation sont compris entre 0 et 1 donc la moyenne des rapports de corrélation et donc l'inertie sera toujours comprise entre 0 et 1. Si on s'intéresse aux pourcentages d'inertie maintenant, ils sont généralement plus faibles qu'en ACP ou en AFC car les individus évoluent dans un espace de dimension élevée. , d'autant plus élevé que le nombre de modalités par variable est grand. Le petit calcul suivant montre pourquoi le pourcentage d'inertie associé à une dimension est souvent faible. On calcule l'inertie d'un axe lambda_s sur l'inertie totale sur /j. Comme la valeur propre lambda_s est inférieure à 1, alors le pourcentage d'inertie est inférieur à j/ Avec 10 variables et 10 modalités par variable, même si les variables sont extrêmement liées, le pourcentage d'inertie maximum expliqué par un axe est de 11%. Un autre petit calcul montre que l'inertie moyenne est égale à 1 sur le nombre de variables. Cette valeur peut aider à décider combien de dimensions interpréter en ACM. On évitera d'interpréter des dimensions qui ont une inertie inférieure à 1 sur le nombre de variables. Les aides à l'interprétation, contributions et qualités de représentation, se calculent comme pour les autres méthodes d'analyse factorielle ACP ou AFC. Cependant, les qualités de projection sont généralement faibles sur chaque axe, ce qui est attendu puisqu'il y a beaucoup de dimensions. Quant aux modalités, comme un poids est associé à chaque modalité, les contributions importantes ne correspondent pas nécessairement aux points les plus éloignés sur le graphe. La contribution d'une variable à la construction d'un axe se calcule en sommant les contributions de toutes ses modalités. Cette contribution est égale au rapport de corrélation au carré entre l'axe et la variable divisé par le nombre de variables. Pour calculer la contribution relative de la variable, on divisera par l'inertie de l'axe, par lambda_s. Nous pouvons maintenant voir comment utiliser des informations supplémentaires pour interpréter le graphe de la représentation simultanée. Pour ce faire, nous utilisons les relations de transition pour les calculs des coordonnées des éléments supplémentaires. Par élément, nous entendrons soit une ligne soit une colonne d'un tableau, c'est-à-dire ici soit un individu soit une modalité. Dans toute analyse factorielle, un élément est dit supplémentaire s'il n'est pas utilisé dans la construction des axes. Précisons à propos des modalités que toutes les modalités d'une même variable doivent avoir le même statut. Elles doivent être toutes actives ou toutes supplémentaires. C'est pourquoi on parle de variables actives et de variables supplémentaires. Les propriétés barycentriques servent à calculer la position d'un individu ou d'une modalité supplémentaire. Prenons le cas d'une modalité supplémentaire. Une fois la position des individus fixée, il est possible de calculer le barycentre d'un sous-ensemble quelconque d'individus. En pratique, les ACM comportent presque toujours des variables supplémentaires car ces variables donnent des éléments du contexte de l'analyse et sont donc excessivement précieuses. Le graphe suivant donne les modalités des variables supplémentaires. Afin de ne pas surcharger le graphique, nous n'avons pas reproduit les modalités actives et les individus. Cependant, les individus actifs ou supplémentaires, les modalités actives ou supplémentaires peuvent être positionnés sur le même graphe. On voit que les variables de signalétique sont liées aux dimensions factorielles. Les classes d'âge par exemple s'organisent dans un ordre croissant en partant du bas à droite, en remontant et en terminant sur la gauche. De même, les professions ou les statuts matrimoniaux s'organisent le long des dimensions factorielles. On va donc interpréter le graphique d'ACM en disant qu'en bas à droite on trouve des individus jeunes, plutôt des cadres, vivant seuls et qui ont beaucoup d'activités de type cinéma, spectacle, ordinateur. En haut, les individus sont plus âgés et ont des activités comme la pêche, le tricot, le jardinage. Et enfin sur la gauche on trouve des ouvriers manœuvres plus âgés qui ont peu d'activités loisirs. Pour cette interprétation, nous avons travaillé en 2 temps: dans un premier temps on travaille uniquement à partir des variables actives et dans un deuxième temps on introduit les variables supplémentaires. Nous situons dans le thème aide à l'interprétation la notion de variable supplémentaire quantitative. En ACM, les variables actives sont nécessairement qualitatives donc les variables quantitatives sont nécessairement supplémentaires. Dans notre exemple, nous avions interprété la première bissectrice comme le nombre d'activités de loisirs pratiquées. D'où l'idée, pour valider cette interprétation, de calculer ce nombre d'activités pratiquées par individu et de créer une variable quantitative nombre d'activités. Pour représenter cette variable, On va procéder comme en ACP et utiliser la représentation dite du cercle des corrélations. On représente une variable par ses coefficients de corrélation avec les facteurs. On obtient le graphe suivant qui montre que le nombre d'activités pratiquées est parfaitement représenté sur ce premier plan. Il correspond en gros à la première bissectrice, ce qui achève de valider notre interprétation. Si on souhaite qu'une variable quantitative soit active, il est possible de la discrétiser en classes, la rendre ainsi qualitative et de l'utiliser comme variable active. Comme en ACP, nous pouvons décrire les dimensions factorielles de l'ACM à partir des variables actives ou illustratives, quantitatives ou qualitatives. Pour les variables quantitatives, on calcule le coefficient de corrélation entre une variable et une dimension et on trie les coefficients de corrélation. Ici, la variable nombre d'activités est très liée à la première dimension. Pour les variables qualitatives, on va construire un modèle d'analyse de variance par variable et expliquer les coordonnées sur la dimension en fonction de la variable. On construit le test de Fisher pour voir la liaison globale entre la variable et la dimension, puis les tests de Student pour voir quelles sont les modalités qui ont des coordonnées particulières sur les dimensions. Ici, toutes les probabilités critiques sont extrêmement faibles car le nombre d'individus est très important dans le jeu de données. Il y a une autre façon de présenter les données lorsqu'on est face à un ensemble de variables qualitatives, c'est le tableau de Burt. L'idée de ce tableau est de croiser toutes les variables avec elles-mêmes. Dans le tableau que nous avons représenté ici, chaque rectangle est un tableau croisé ou tableau de contingence entre 2 variables. Les lignes et les colonnes d'un tableau de contingence sont les modalités. Cela veut dire que le tableau de Burt croise les modalités de toutes les variables avec elles-mêmes. Le tableau de Burt récapitule l'ensemble des liaisons entre les variables prises 2 à 2. Il y a une analogie ici avec la matrice des corrélations qui, elle aussi, rassemble les corrélations entre toutes les variables prises 2 à 2. Alors quelle analyse mettre en œuvre pour analyser le tableau de Burt? Une idée simple, par analogie à l'analyse des correspondances sur le tableau de contingence, consiste à mettre en œuvre une analyse des correspondances sur le tableau de Burt. Lorsqu'on applique un programme d'AFC au tableau de Burt, on obtient exactement les mêmes facteurs que l'ACM mais avec des valeurs propres différentes. Les valeurs propres issues du tableau de Burt sont le carré des valeurs propres issues du tableau disjonctif complet. Alors quelles valeurs propres faut-il choisir? Nous avons donné une interprétation des valeurs propres issues du tableau disjonctif complet en tant que moyenne des carrés des rapports de corrélation. Cette interprétation est tout à fait utile et c'est celle que nous choisissons de conserver ici. Finalement, cette analogie nous apprend une chose, c'est que l'ACM ne dépend que des liaisons entre les variables prises 2 à 2. Il y a là encore une analogie avec l'ACP qui ne dépend que de la matrice des corrélations. Conclusion sur l'analyse des correspondances multiples. Le premier résultat, c'est que l'analyse des correspondances multiples est la méthode factorielle adaptée aux tableaux individus× variables qualitatives. La problématique générale de l'ACM est de rechercher les principaux facteurs de variabilité des individus ou encore une synthèse des liaisons entre les variables. À ce niveau de généralité, cette problématique est exactement identique à celle de l'ACP. Sur un plan technique, on peut dire que les principales règles d'interprétation sont très simples: un individu est au barycentre ou pseudo-barycentre de ses modalités. Et une modalité est au pseudo-barycentre des individus qui la possèdent. On a donc une méthode qui est très générale, parce que les tableaux individus× variables qualitatives sont très fréquents, avec des règles d'interprétation très simples. L'analyse des correspondances multiples est une méthode particulièrement adaptée au traitement des enquêtes. L'interprétation des valeurs propres comme moyenne des carrés de rapports de corrélation est une propriété de l'ACM. Cette propriété valide l'interprétation des facteurs de l'ACM en tant que variables synthétiques. Les facteurs de l'ACM sont des variables quantitatives qui synthétisent les variables qualitatives. On a insisté sur le carré des liaisons, cette représentation est précieuse en particulier lorsqu'il y a beaucoup de variables. Comme pour les autres méthodes d'analyse factorielle, il est utile de valider ses interprétations des résultats d'une ACM en revenant aux données brutes. L'ACM va suggérer des liaisons entre variables qualitatives et il est possible de construire un tableau croisé de 2 variables et d'analyser et visualiser ce tableau par AFC. Enfin, la convergence entre l'analyse du tableau disjonctif complet et celle du tableau de Burt est un argument en faveur de l'intérêt de la méthode. Il est toujours intéressant de voir que différents points de vue conduisent au même résultat. Enfin, l'ACM permet de passer d'un tableau de variables qualitatives à un tableau de dimensions factorielles, c'est-à-dire de variables quantitatives. Cette méthode peut donc être vue comme un prétraitement avant une classification par exemple. Pour terminer, indiquons quelques références en phase avec cette présentation de l'ACM. Vous avez vu maintenant toutes les vidéos de cours sur l'ACM, vous pouvez voir la vidéo qui décrit comment mettre en œuvre une ACM sous FactoMineR.