Analyse Factorielle Multiple - AFM - (cours 2/4) : pondération et équilibre des groupes

Nous avons vu dans la vidéo précédente que les données sur lesquelles s'applique l'analyse factorielle multiple sont des données où les variables sont structurées en groupes. Nous avons vu qu'il était important d'équilibrer l'influence de chaque groupe de variables dans l'analyse. Voyons maintenant comment équilibrer les groupes et comment mettre en œuvre cet équilibre dans une analyse. Tout d'abord, pourquoi est-il important d'équilibrer l'influence de chaque groupe de variables dans l'analyse? Notons que nous avons déjà cherché à équilibrer l'influence de variables dans une analyse factorielle. En effet, lorsque l'on construit une ACP normée, on équilibre l'influence de chaque variable pour éviter que les variables qui ont la plus grande variance aient plus d'influence dans l'analyse, c'est-à-dire plus d'influence dans le calcul des distances entre individus. De la même façon, avec plusieurs groupes de variables, on veut chercher à équilibrer les groupes de variables pour éviter que certains groupes aient une contribution trop importante dans le calcul des distances entre individus. Une première idée, qui se rapproche de celle de l'ACP, consiste à équilibrer l'influence de chaque groupe de variables en divisant par l'inertie du groupe de variables. En effet, l'inertie correspond bien à une variance dans un cadre multidimensionnel. On pourrait donc pondérer les groupes de sorte que chaque groupe ait une inertie équivalente. Pour ce faire, il suffit de pondérer chaque variable par l'inertie totale du groupe auquel elle appartient. Avec une telle pondération, Si 2 groupes n'ont pas le même nombre de variables, le groupe ayant le moins de variables aura la même affluence que le groupe ayant plus de variables. De ce point de vue, l'équilibre est bien respecté. Cependant, cette pondération ne tient pas compte de la méthode utilisée ici, l'analyse factorielle. En effet, l'analyse factorielle est sensible à la répartition de l'inertie d'un groupe à l'autre. Dans l'exemple de ce petit schéma, un premier groupe est composé de 8 variables fortement corrélées. Le 2ème groupe est composé de 3 variables orthogonales. Enfin le 3ème groupe est identique au second. Avec la pondération par l'inertie totale de chaque groupe, la 1ère dimension du groupe 1 aura un poids proche de 1, ce groupe est unidimensionnel et toute l'inertie est quasiment sur une seule dimension. Tandis que la 1ère dimension des groupes 2 et 3 aura un poids de 1/3. Si l'inertie totale du groupe est de 1, chaque variable représente 1/3 de l'inertie. Par conséquent, la première dimension de l'analyse globale coïncidera avec la première dimension du groupe 1. Or on recherche un équilibre pour trouver des structures communes d'un groupe à l'autre, donc on aimerait mettre en évidence ici la structure commune aux groupes 2 et 3. Une deuxième idée consiste à équilibrer les groupes non plus en fonction de l'inertie totale mais en fonction de l'inertie maximum d'une dimension. Ainsi, on évite qu'un groupe unidimensionnel ait trop d'importance dans l'analyse mais on ne restreint pas la richesse d'un groupe multidimensionnel, c'est-à-dire d'un groupe qui a plusieurs dimensions de variabilité. Pour construire un tel équilibre, on divise les valeurs d'une variable par la plus grande valeur propre du groupe auquel elle appartient. On divise par la racine carrée de la plus grande valeur propre. Cette pondération permet dans notre petit exemple de mettre en évidence la structure commune engendrée par les groupes 2 et 3. Ce petit exemple fictif met en évidence une situation relativement fréquente en pratique: des groupes unidimensionnels et d'autres multidimensionnels. L'équilibre proposé évite de donner trop d'importance aux groupes unidimensionnels, groupes qui contiennent une information moins riche. Nous avons trouvé ici une pondération qui nous convient. Il ne reste plus qu'à rechercher les principales dimensions factorielles comme nous l'avons vu pour l'ACP, l'ACM ou encore l'AFC. La difficulté réside bien dans le choix de la pondération, ce qui a été souligné par Jean-Paul Benzécri qui disait que faire une analyse factorielle, du point de vue des mathématiques, cela revient juste à faire une diagonalisation de matrice, mais que toute la science, tout l'art était de trouver la bonne matrice à diagonaliser. La pondération que nous avons trouvée revient à utiliser pour chaque variable un poids égal à l'inverse de la 1ère valeur propre du groupe auquel elle appartient. Donc la 1ère étape de l'analyse consiste à calculer la 1ère valeur propre de chaque groupe. Ensuite, pondérer une variable par l'inverse de l'inertie de la 1ère valeur propre du groupe auquel elle appartient revient à diviser chaque variable par la racine carrée de la 1ère valeur propre de son groupe. Dans la notation utilisée ici, X_j correspond au tableau J centré ou bien centré réduit selon que les variables du groupe J sont normées ou non. Enfin, il suffit de faire l'ACP de ce tableau qui juxtapose les variables pondérées de tous les tableaux. Sur notre jeu de données vin, les ACP construites sur les données de chaque jury donnent les valeurs propres suivantes: la 1ère valeur propre du jury expert, égale à 11.74, est plus grande que les 1ères valeurs propres des jurys étudiants et consommateurs. Cela peut s'expliquer par le plus grand nombre de descripteurs évalués par le jury expert. On peut également noter que les valeurs propres suivantes, les valeurs propres 2 et 3, sont plus grandes pour le jury expert. Si on construisait une ACP sur l'ensemble du jeu de données sans équilibrer préalablement les jurys, le jury expert influencerait fortement les résultats dans le sens où les premières dimensions de l'analyse seraient très liées à la description du jury expert. En équilibrant l'influence de chaque jury grâce à une pondération par la 1ère valeur propre du groupe, chaque jury aura la même contribution dans la construction des dimensions de l'AFM. Premier point: la pondération choisie est la même pour toutes les variables d'un groupe. Cela permet de préserver la structure du groupe. Autrement dit, à l'intérieur d'un groupe, l'équilibre entre les variables est préservé. Le ratio lambda_2 sur lambda_1 reste le même. 6.78 divisé par 11.74 est égal à 0.58 divisé par 1. Puisque l'équilibre à l'intérieur d'un groupe reste le même, on peut d'ailleurs réduire ou non les variables d'un groupe selon l'équilibre que l'on souhaite avoir à l'intérieur de ce groupe. Cela ne modifie pas l'équilibre entre les groupes. Plus précisément, grâce à la pondération, la première valeur propre de chaque groupe est ramenée à 1 et donc la principale dimension de variabilité la même variabilité d'un groupe à l'autre. Ainsi un seul groupe ne peut pas générer à lui seul la première dimension de l'AFM, même si ce groupe a beaucoup de variables et est fortement structuré. Enfin dernier point important, la pondération ramène à 1 la principale dimension de variabilité et les valeurs propres suivantes sont diminuées de façon proportionnelle. Ainsi un groupe qui est plus multidimensionnel contribue à plus de dimensions car son inertie globale après équilibre est plus grande. Un groupe plus multidimensionnel contient plus d'informations donc il est normal qu'il contribue à plus de dimensions. Maintenant est-ce gênant qu'un groupe ait une inertie totale plus grande que les autres? En fait non car cette inertie totale est répartie sur plus de dimensions. On retrouve ici une caractéristique que nous avions déjà vue en analyse des correspondances multiples. Nous avons vu que l'AFM peut être considérée comme une ACP sur le tableau pondéré qui qui juxtapose les données de tous les groupes. Puisque c'est une ACP globale, nous allons obtenir tout d'abord les mêmes graphes qu'en ACP: un graphe des individus et un graphe des variables. Le graphe des individus permet de visualiser la ressemblance globale entre individus en prenant en compte l'information de toutes les variables. Le graphe des variables permet de visualiser les liaisons entre toutes les variables et bien entendu ces 2 graphes sont étudiés simultanément afin de comprendre les différences ou ressemblances entre individus grâce aux variables. Outre les graphes, les indicateurs de qualité de représentation ou de contribution sont également les mêmes qu'en ACP. Et puis comme pour toute ACP, il est possible d'ajouter des éléments supplémentaires, donc des individus supplémentaires ou des variables supplémentaires, qu'elles soient quantitatives et/ou qualitatives. Dans notre exemple, voici le graphe des individus. Les vins ont été coloriés selon le cépage: rouge pour les Sauvignons et vert pour les Vouvray. Cet habillage des individus selon la variable cépage met en évidence une opposition entre les 2 cépages: les Sauvignons sont en haut à gauche et les Vouvray en bas à droite. Rappelons que la variable cépage n'était pas active et n'a donc pas été utilisée pour construire les dimensions factorielles. Cette opposition entre cépages est donc bien liée aux variables de description sensorielle évaluées par les jurys. On peut aussi noter que les Vouvray sont plus dispersés dans le plan, ce que l'on peut interpréter de la façon suivante: les Vouvray sont plus différents d'un point de vue sensoriel tandis que les Sauvignon sont plus homogènes. Enfin, il se dégage plusieurs groupes de vins. Par exemple, les Vouvray Aubussières-Mareigny et Fontenay Coteaux sont très proches sensoriellement, ou encore Fontenay Domaine et Fontenay Brûlés sont très proches. Le graphe des variables avec le cercle des corrélations est le suivant. Les variables ont été coloriées selon le groupe auquel elles appartiennent: en rouge les variables utilisées par les experts avec juste le nom du descripteur, en bleu les variables utilisées par les consommateurs avec le nom du descripteur suivi de tiret C et en vert les variables utilisées par les étudiants avec le nom du descripteur suivi de tiret E. Alors bien entendu ce graphe est très chargé et difficilement lisible car il y a beaucoup de variables. Mais nous avons plusieurs groupes de variables et nous avons représenté toutes les variables. Donc ce graphe résume beaucoup d'informations et c'est pour cette raison qu'il est chargé. Mais nous pouvons étudier ce graphe en sélectionnant quelques variables particulières pour la visualisation. Le graphe est donc le même que précédemment et nous avons juste masqué certains libellés mettant en évidence quelques libellés communs aux différents jurys. On peut voir par exemple que les variables odeur de passion sont très liées, ce qui signifie que d'un jury à l'autre cette variable a été comprise de la même façon. Il en est de même pour le sucré. En revanche, la variable acidité a été comprise différemment. Les consommateurs et étudiants ont compris cette variable de la même façon tandis que les experts ont compris cette variable différemment. Le coefficient de corrélation entre la variable acidité du jury expert et la variable acidité du jury consommateur est de 0.34 tandis que la corrélation entre la variable acidité du jury étudiant et celle du jury consommateur est de 0.76. Nous ne pouvons pas savoir qui a compris correctement la variable acidité mais il est possible que les jurys de consommateurs et étudiants aient plus de mal à évaluer l'acidité quand l'équilibre sucré-acide change. Nous ne rentrons pas plus dans l'interprétation de ce graphe des variables qui est très riche et qui, combiné avec le graphe des individus, permet d'avoir une description sensorielle des vins obtenue avec les 3 jurys d'analyse sensorielle. Ces 2 graphes des individus et des variables sont parfaitement équivalents à ceux obtenus en ACP mais l'AFM bénéficie d'une structure en groupes dont nous n'avons pas encore profité mise à part dans l'équilibre des groupes. Nous verrons dans la prochaine vidéo l'apport de cette structure en groupes qui est spécifique de l'AFM et qui fait en réalité toute la richesse de l'AFM.