Analyse Factorielle Multiple - AFM - (cours 3/4) : étude des groupes de variables

Nous avons vu dans la vidéo précédente que l'AFM était une ACP pondérée particulière qui fournissait un graphe des individus et un graphe des variables parfaitement équivalents aux graphes obtenus en ACP. Voyons maintenant l'apport de la structure en groupes qui est utilisée en AFM. Dans un premier temps, nous verrons comment obtenir une représentation synthétique des groupes de variables qui permettra de comparer globalement l'information apportée par chaque groupe. Ensuite, nous utiliserons le cadre commun fourni par l'AFM pour comparer les résultats des ACP construites à partir des données de chaque groupe. Pour cela, nous comparerons les nuages d'individus d'une ACP à l'autre puis les dimensions factorielles des ACP séparées. Revenons tout d'abord sur la construction des composantes principales. En ACP, la première composante principale est la variable de norme 1 que j'appelle ici v1 appartenant à l'espace Ri et qui est la plus liée à l'ensemble des variables. Plus liée au sens de la covariance au carré. Si l'ACP est normée, la première composante est la variable la plus liée au sens du coefficient de corrélation au carré. Puisque l'AFM est une ACP sur un tableau pondéré, nous pouvons écrire le critère précédent en faisant apparaître la pondération utilisée par l'AFM. Chaque variable X_k est divisée par la racine carrée de la première valeur propre du groupe auquel elle appartient. On doit sommer sur toutes les variables mais comme les variables sont organisées par groupe, On peut écrire le critère en faisant apparaître une somme sur les groupes et une somme sur toutes les variables du groupe j. On peut sortir la première valeur propre lambda_1,j et mettre en évidence que la première composante de l'AFM est la variable, de norme 1, qui maximise la covariance au carré avec les variables de tous les groupes, la covariance étant divisée par l'inertie axiale maximum de chaque groupe. L'inertie axiale maximum correspond à l'inertie de la dimension la plus forte du groupe. Si on note Lg le terme en rouge, ce coefficient Lg correspond à l'inertie projetée de toutes les variables du groupe j sur la variable v1. C'est une mesure de liaison entre un groupe de variables et une variable. Il existe une autre mesure de liaison bien connue entre une variable et un groupe de variables, il s'agit du coefficient de détermination qui est utilisé en régression. L'intérêt du LG est que ce critère est basé sur l'inertie et en analyse factorielle on essaie toujours de maximiser une inertie. La formule nous dit donc que la 1ère composante de l'AFM est la variable qui maximise la liaison avec tous les groupes au sens du LG. Pour trouver la 2ème composante principale de l'AFM, il faut chercher, parmi les variables orthogonales à la variable v1, la variable qui est la plus liée à l'ensemble des groupes selon le critère du Lg. Et ainsi de suite pour les composantes suivantes. Le coefficient Lg varie entre 0 et 1. Il vaut 0 si toutes les variables du groupe sont non corrélées avec la variable V1. Il vaut 1 si la variable V1 est confondue avec la 1ère composante principale du groupe. En effet, la 1ère composante principale du groupe est par définition la variable la plus liée à toutes les variables du groupe et maximise donc la somme des covariances au carré. Cette somme des covariances est égale à l'inertie de la 1ère composante principale qui vaut la 1ère valeur propre du groupe. Comme les variables sont pondérées par la 1ère valeur propre du groupe, le Lg maximum correspond bien à la valeur 1. La mesure de liaison Lg que nous venons de définir permet d'appréhender la liaison entre une variable et un groupe de variables. On peut donc utiliser cette mesure pour voir la liaison entre un groupe de variables et une composante principale. Cela nous suggère d'utiliser cette mesure pour construire un graphe des groupes. Un groupe aura pour abscisse le coefficient Lg entre ce groupe et la 1ère dimension et comme ordonnée le coefficient Lg avec la 2ème dimension. Dans notre exemple, la représentation des groupes par rapport aux composantes principales de l'AFM est la suivante. On peut voir que tous les jurys ont une abscisse proche de 1 et donc un Lg élevé avec la 1ère dimension principale de l'AFM. Or un Lg élevé signifie que la composante principale de l'AFM est liée à une dimension forte du groupe, la dimension principale ou une dimension presque aussi importante que la dimension principale. Ainsi dans notre exemple, la 1ère dimension de l'AFM est présente dans tous les groupes et c'est donc une dimension commune à tous les groupes. On peut voir que la 2ème dimension est beaucoup plus liée au groupe expert qu'aux autres groupes. Ceci n'est pas vraiment surprenant car nous avions vu que le jury expert avait une 2ème valeur propre plus grande, relativement à sa 1ère valeur propre, que pour les 2 autres groupes. Enfin, les points représentant les groupes étudiants et consommateurs sont proches, ce qui signifie que ces groupes ont en commun plusieurs dimensions et qu'ils induisent donc à peu près la même structure sur les individus. Cette représentation graphique fournit une représentation synthétique des groupes et il est très facile de voir quels groupes se ressemblent globalement. 2 groupes se ressemblent s'ils sont proches sur toutes les dimensions. Mais comme les premières dimensions résument l'essentiel de l'information, il est souvent suffisant de se contenter de comparer les groupes sur les premières dimensions. 3 ou 4 suffisent généralement. Ce graphique permet de comparer globalement les groupes et donc de voir si les distances entre individus sont similaires d'un groupe à l'autre. Autrement dit, si les nuages de points vus par un groupe de variables ou par un autre sont similaires. Nous avons défini la mesure Lg entre une composante et un groupe de variables, mais cette mesure Lg peut être étendue très facilement à la liaison entre 2 groupes de variables. Il suffit de calculer la somme de toutes les covariances entre les variables d'un groupe et les variables de l'autre. Les variables étant bien entendu pondérées par la pondération de l'AFM. Si on calcule le coefficient Lg entre un groupe et lui-même, cela revient à calculer la dimensionnalité de ce groupe. En réécrivant le critère, on fait apparaître les ratios entre les valeurs propres au carré de chaque dimension divisées par la 1ère valeur propre au carré du groupe. Si la 1ère valeur propre est beaucoup plus grande que les autres, alors le Lg sera proche de 1 et le groupe sera presque unidimensionnel. Au contraire, si beaucoup de valeurs propres sont proches de la 1ère valeur propre du Alors plusieurs dimensions de variabilité seront importantes et le groupe sera multidimensionnel. Ce coefficient peut donc être vu comme un indice de dimensionnalité d'un groupe. Enfin, l'inconvénient du coefficient Lg entre 2 groupes est que c'est un critère qui n'est pas borné. Si on normalise le coefficient Lg entre 2 groupes par la dimensionnalité de chacun des groupes, on définit le coefficient RV. Ce coefficient RV varie entre 0 et 1. Et il est plus facile de savoir si 2 groupes sont liés ou non puisque le coefficient est borné par 1. Notons toutefois que ce coefficient a tendance à être plus élevé quand le nombre d'individus est petit ou quand le nombre de variables dans chaque groupe est grand. Dans notre exemple, les coefficients Lg puis les coefficients RV entre les groupes sont les suivants. La matrice étant symétrique, nous donnons ici uniquement les termes sous la diagonale. À partir du Lg, on peut voir que le jury expert donne une description plus multidimensionnelle est donc plus riche des produits que les autres jurys car le Lg est plus élevé. Si on regarde les coefficients RV, on voit que les jurys étudiants et experts sont proches car le RV est proche de 1, il vaut 0.85. Enfin, on peut considérer la configuration moyenne de l'AFM et voir la liaison entre la configuration moyenne de l'AFM et chaque groupe. La configuration moyenne de l'AFM est ici un groupe correspondant à l'ensemble des coordonnées des individus sur toutes les dimensions factorielles. Il s'agit de la configuration commune. Ces coefficients RV sont donnés dans la ligne MFA. On peut voir que le jury étudiant a une configuration très proche de la configuration moyenne puisque le RV est très proche de 1. Il vaut 0.96. Voyons maintenant une autre façon de comparer les groupes à partir des configurations des individus de chaque groupe. Pour cela, Les typologies fournies par chaque groupe vont être comparées dans un cadre commun, plus précisément dans le référentiel commun obtenu grâce à l'AFM. Comparer les typologies revient à voir si les individus sont vus de la même façon par les différents groupes ou bien si certains individus sont particuliers pour quelques groupes. Pour ce faire, nous allons procéder comme suit. Illustrons la démarche avec un jeu de données comportant 3 groupes de variables. L'AFM est tout d'abord construite à partir de ces 3 groupes comme nous l'avons vu. Nous avons alors une représentation des individus sur les principales dimensions de l'AFM. Les individus sont dans un espace R^K à grand K dimensions. Cet espace est la somme directe des espaces R^Kj engendrés par chaque groupe de variables. Essayons maintenant de représenter chaque individu du jeu de données uniquement à partir des données d'un seul groupe de variables. Appelons individu partiel i exposant j, l'individu i vu par les seules variables du groupe j. Comment représenter cet individu partiel? Et surtout comment représenter tous les individus partiels associés à l'individu i? À savoir les individus partiels I exposant 1, I exposant 2 jusqu'à I exposant grand J. Tout ça dans un même référentiel. Le référentiel commun est l'espace fourni par l'AFM à partir des données de tous les groupes. On juxtapose alors au tableau de données un tableau par groupe. Dans le sous-tableau permettant la projection du groupe j, toutes les variables qui n'appartiennent pas au groupe j prennent des valeurs nulles, des valeurs nulles car le tableau est centré, sinon les valeurs prises sont la moyenne de la variable. Et les valeurs des variables appartenant au groupe j sont les variables centrées, éventuellement réduites si on réduit les variables de ce groupe, et divisées par la racine carrée de la première valeur propre du groupe. Autrement dit, les valeurs utilisées dans l'analyse globale de l'AFM. Ces individus partiels sont alors utilisés comme individus supplémentaires et donc projetés sur les dimensions de l'analyse globale. On a alors la projection de l'individu i vu par les variables du groupe 1, ici en rouge. Une remarque importante cependant: comme nous avons des 0 pour pour tous les groupes autres que le groupe 1, alors le point partiel du groupe 1 a tendance à se rapprocher du centre du nuage. Ceci est vrai pour tous les individus partiels de chacun des groupes. Pour s'en convaincre, prenons l'exemple trivial où les 3 groupes de variables sont identiques. Tous les points partiels d'un même individu devraient être superposés et superposés à l'individu moyen. Or si on calcule la projection d'un individu partiel d'un groupe, Comme il prend des valeurs nulles sur les 2 autres groupes, sa coordonnée sera proche du barycentre du nuage. Elle sera même 3 fois trop proche du barycentre. Ainsi la projection de tous les points partiels doit être dilatée de 3 dans notre exemple. Quand le jeu de données comporte J groupes, les points partiels doivent être projetés comme des points supplémentaires puis dilatés d'une constante J. Avec cette dilatation, nous avons pour chaque individu autant de points partiels qu'il y a de groupes et le point moyen, correspondant à l'individu vu dans l'analyse globale, est au barycentre des points partiels. La représentation des points partiels est donc très utile puisqu'elle permet de comparer la représentation des individus d'un groupe à l'autre. Prenons l'exemple suivant: des individus ont tout d'abord été interrogés sur plusieurs questions relatives à leurs opinions. Ensuite ils ont été interrogés sur plusieurs questions relatives à leur comportement. Ces 2 séries de questions peuvent être considérées comme 2 groupes de variables dans l'AFM. L'AFM fournit alors une représentation des individus vus par l'ensemble des variables. Il s'agit du point correspondant à l'analyse globale et donc du point moyen ici en violet. L'interprétation des positions des points moyens sur les axes peut se faire comme pour une ACP. On peut représenter également les points partiels correspondant à l'individu vu uniquement à partir des variables d'opinion puis vu uniquement à partir des variables comportementales. Si les 2 points partiels sont proches, et donc proches du point moyen, alors l'individu i' a un comportement en accord avec ses opinions tandis que, si les points partiels sont éloignés, alors l'individu i a un comportement qui n'est pas en accord avec ses opinions. L'écart entre les 2 points partiels est une visualisation de la discordance comportementale. Prenons un second exemple avec un questionnaire auquel des participants à un cours ont répondu avant de commencer le cours. Plusieurs questions sont relatives à leurs attentes vis-à-vis du cours. Un second questionnaire a été envoyé aux mêmes personnes à l'issue du cours. Les questions sont alors relatives à ce que les participants ont appris pendant le cours. L'individu à droite a ses 2 points partiels proches tandis que l'individu à gauche a ses points partiels éloignés. L'individu de droite a donc trouvé dans le cours ce qu'il attendait du cours, on peut donc dire qu'il est satisfait. L'individu de gauche n'a en revanche pas appris ce qu'il attendait du cours, on peut dire qu'il a été surpris. Mais a-t-il été surpris dans le mauvais sens, autrement dit a-t-il été déçu, ou bien a-t-il été surpris dans le bon sens? Pour le savoir, il suffit de revenir à l'interprétation des axes et plus spécialement ici à l'interprétation de l'axe 1 qui sépare les 2 points partiels. Si les coordonnées positives sur l'axe sont relatives à une forte appréciation, alors l'individu a appris plus que ce qu'il espérait du cours et on pourra dire qu'il a été agréablement surpris. Dans le cas contraire, on dira qu'il a été déçu. Ceci montre que la position des points moyens, c'est-à-dire des individus vus par l'ensemble des variables, et la position des points partiels peuvent s'interpréter à partir d'une seule représentation sur les facteurs communs de l'AFM. Les relations de transition que nous avons vues en ACP peuvent s'appliquer directement sur les points moyens de l'AFM. Rappelons que ces relations de transition permettent d'interpréter la position d'un individu grâce au graphe des variables. Un individu est du côté des variables pour lesquelles il prend de fortes valeurs et à l'opposé des variables pour lesquelles il prend de faibles valeurs. Ces relations de transition sont aussi adaptées pour les points partiels. Il s'agit juste de la restriction de la relation précédente aux variables du groupe j. Comme nous l'avons précisé précédemment, nous multiplions les coordonnées des points partiels par j, le nombre de groupes, pour que les coordonnées des points partiels et des points moyens puissent être interprétées dans un cadre unique et dans un même repère. La dilatation par j appliquée à tous les points partiels permet que le point moyen soit bien au barycentre de ces points partiels et que point moyen et points partiels soient représentés dans un même repère. Dans notre exemple des vins, la représentation superposée est la suivante: les points en noir correspondent aux vins vus par l'ensemble des jurys, les points en couleur correspondent aux points partiels. En rouge, on trouve les vins vus uniquement par le jury expert, en bleu vus uniquement par le jury de consommateurs et en vert vus uniquement par le jury étudiant. Chaque point noir correspondant au vin moyen est bien au barycentre des points de couleur. Tous les vins sont vus de façon relativement homogène par les 3 jurys sensoriels car tous les points partiels relatifs à un même vin sont proches du point moyen. On peut noter cependant que le vin Aubussière Silex, en bas à gauche, a été perçu plus extrême par les consommateurs que par les experts pour les variables liées à la première dimension. En effet, l'abscisse de ce vin est fortement négative pour les consommateurs et relativement proche de 0 pour les experts. Visuellement, on voit que les coordonnées des points partiels sont relativement similaires d'un groupe à l'autre pour les 2 premières dimensions. On peut définir un indicateur pour mesurer rapidement et globalement si les coordonnées des points partiels sont proches de celles des points moyens dimension par dimension. Pour cela, pour une dimension, on va décomposer l'inertie totale des points partiels. Pour la dimension s, l'inertie totale des points partiels peut se décomposer décomposer en l'inertie inter-points moyens, c'est-à-dire inter-individus, plus l'inertie intra-individus. Et on peut calculer le ratio inertie inter sur inertie totale. Dans l'exemple, pour la dimension 1, le ratio vaut 0.93 et est donc très proche de 1, ce qui signifie que les coordonnées des points partiels relatives à un même individu sont très proches entre elles et donc très proches des coordonnées de leur point moyen correspondant. L'inertie intra, qui mesure la ressemblance entre nuages partiels dimension par dimension, peut aussi être décomposée par individu. Cette décomposition par individu est très utile pour trier les individus par inertie intra décroissante et identifier quels individus sont vus de façon différente par chaque groupe de variables. Lors de l'interprétation des différences entre groupes, on pourra s'appuyer sur ces individus qui ont une inertie intra forte. Nous avons comparé les groupes de variables grâce au graphe des points partiels qui représente les typologies des individus de chacun des groupes dans un espace commun. Il est également possible de comparer les groupes à partir des dimensions factorielles des analyses séparées, autrement dit en comparant les composantes principales de l'ACP de chacun des groupes. Pour cela, nous allons considérer les composantes principales de l'ACP d'un groupe et nous allons les utiliser comme variables supplémentaires dans l'analyse globale, donc dans l'AFM. Cela nous permettra de projeter les composantes principales de ce groupe et de voir comment ces composantes sont liées aux dimensions de l'AFM. Si les composantes principales d'un groupe sont très corrélées aux dimensions factorielles de l'AFM, alors le graphe des individus de l'ACP de ce groupe a la même forme que le graphe des individus des points moyens de l'AFM. Dans notre exemple, voici le graphe qui donne la projection des composantes principales des ACP séparés sur les 2 premières dimensions de l'AFM. La première composante de l'ACP des étudiants est extrêmement corrélée avec la première composante de l'AFM. Ainsi, les vins qui ont une faible coordonnée, respectivement une forte coordonnée, sur l'axe des abscisses de l'ACP pour les données étudiants ont une faible coordonnée, respectivement une forte coordonnée, sur l'axe des abscisses de l'AFM. Et il en est de même pour la 2ème composante de l'ACP des étudiants qui est également extrêmement corrélée avec la 2ème composante de l'AFM. Cela signifie que la typologie des vins fournie par les étudiants est extrêmement proche de la typologie des vins obtenue par l'AFM et donc par l'ensemble des jurys. Pour les experts, les composantes 1 et 2 de l'ACP ne coïncident pas exactement avec les composantes 1 et 2 de l'AFM. Cependant, les composantes de l'ACP sont toutes les 2 bien projetées Ce qui signifie que le plan 1-2 de l'ACP construite sur les données experts est proche du plan 1-2 de l'AFM mais à une rotation près. Il en est de même pour les consommateurs. Nous verrons dans la prochaine vidéo comment prendre en compte des variables qualitatives en AFM ou comment prendre en compte des tableaux de contingence. Nous verrons également comment utiliser des variables supplémentaires, qualitatives, quantitatives, voire des groupes de variables supplémentaires.