Analyse Factorielle Multiple - AFM - (cours 4/4) : groupe qualitatifs, groupes de fréquences

Nous avons vu dans les vidéos précédentes comment prendre en compte la structure en groupes avec une analyse factorielle multiple quand tous les groupes contiennent des variables quantitatives. Nous allons voir maintenant quelques compléments en commençant par voir comment prendre en compte des groupes de variables qualitatives. Ensuite nous verrons comment faire quand un ou plusieurs groupes de variables correspondent à un ou plusieurs tableaux de contingence. Et enfin nous verrons les aides à l'interprétation utiles pour interpréter les résultats d'une AFM. Nous insisterons sur les aides spécifiques de l'AFM. Considérons un tableau de données où toutes les variables sont qualitatives et où les variables sont structurées par groupes. La problématique est alors similaire à celle où les variables sont toutes quantitatives. En effet, on va chercher à équilibrer l'influence de chaque groupe de variables dans l'analyse globale. Puis on va construire des graphes spécifiques de l'AFM pour étudier les similitudes et différences entre groupes. Le graphe des individus sera identique à ceux de l'ACM et donc il contiendra également les modalités. Une modalité étant au barycentre des individus qui la prennent. Ensuite on pourra construire le graphe des représentations superposées, le graphe des groupes et le graphe des axes partiels pour voir les relations entre l'analyse globale et les analyses séparées. La démarche est donc la même que précédemment sauf que, sur chaque groupe de variables, on utilise l'ACM plutôt que l'ACP. Ainsi, pour chaque groupe, on construira un tableau disjonctif complet. Puis on pondérera comme en ACM en fonction de la marge colonne. Il reste à équilibrer les groupes en pondérant par la première valeur propre de l'ACM du groupe. Dans l'exemple, on peut ajouter le groupe de variables qualitatives restreint à la seule variable de cépage. Ceci permet d'illustrer les sorties obtenues quand certains groupes sont qualitatifs, que ces groupes soient actifs ou supplémentaires. Nous avons ici le graphe des groupes où on voit que le groupe cépage a une coordonnée proche de 0.4 sur les 2 axes. Cela signifie que ce groupe est lié aux 2 premières dimensions de l'AFM et donc que les vins des 2 cépages sont séparés sur les 2 dimensions. C'est ce qu'on peut vérifier sur le graphe des individus en coloriant les vins selon la variable qualitative cépage. Le graphe des axes partiels montre une seule dimension pour le groupe qualitatif. Ceci est normal car, comme il n'y a qu'une seule variable à 2 modalités, L'espace engendré est de dimension 1: le nombre total de modalités, ici 2, moins le nombre total de variables, ici 1. Cette dimension est bien projetée sur le plan de l'AFM donc la variabilité induite par le groupe de variables qualitatives est bien récupérée par le plan de l'AFM. Enfin on peut construire le graphe des points partiels des individus et des modalités. Ici nous avons construit les points partiels uniquement des modalités pour éviter de surcharger le graphe. On voit que le jury expert a tendance à beaucoup plus séparer les Vouvray des Sauvignon car les points partiels sont beaucoup plus extrêmes comparés aux points partiels étudiants qui sont proches du centre du graphe. Il est aussi possible de mixer la nature des variables d'un groupe à l'autre et étudier par une AFM des tableaux de données dans lesquels certains sous-tableaux sont constitués de variables quantitatives quand d'autres sont constitués de variables qualitatives. À l'intérieur de chaque groupe, les liaisons entre variables sont étudiées comme pour une ACP quand les variables sont quantitatives. Et comme pour une ACM quand les variables sont qualitatives. On équilibre ensuite l'influence de tous les groupes en utilisant la pondération de l'AFM par la première valeur propre de l'analyse factorielle construite sur les données d'un groupe . Les représentations graphiques seront les mêmes que celles que nous avons déjà présentées: graphe des individus et des modalités, graphes des variables, puis représentations spécifiques avec le graphe des groupes, la représentation des points partiels et la représentation des axes partiels. Notons le cas particulier suivant: si chaque groupe de variables n'est constitué que d'une seule variable, quantitative ou qualitative, alors on tombe sur une méthode appelée l'analyse factorielle de données mixtes. Cette méthode permet d'analyser des tableaux simples constitués de variables quantitatives et qualitatives. Les représentations sont un mixte entre celles de l'ACP pour les variables quantitatives, et celle de l'ACM avec un graphe des individus et des modalités et un graphe de variables avec le carré des liaisons: carré des rapports de corrélation pour les variables qualitatives et carré des corrélations pour les variables quantitatives. Cette analyse factorielle multiple de données mixtes équilibre donc l'influence de toutes les variables quantitatives et qualitatives. Elle est souvent utile car de nombreux tableaux de données contiennent simultanément des variables quantitatives et qualitatives. L'AFM peut aussi être étendue aux tableaux de contingence. Ainsi, certains groupes de colonnes peuvent être des tableaux de contingence. Tous ces tableaux doivent alors avoir une même dimension commune. La principale difficulté est alors de trouver une pondération pour les lignes du tableau puisque le poids des lignes est différent d'un tableau de contingence à l'autre. Les poids seraient identiques dans le cas où la somme des effectifs d'une ligne reste le même d'un tableau à l'autre. Ce qui arrive très peu souvent en pratique. On choisira comme poids commun d'une ligne la somme des effectifs de cette ligne sur tous les tableaux de contingence divisée par la somme totale des effectifs de tous les tableaux de contingence. L'analyse des résultats et les principales interprétations d'une AFM sur tableaux de contingence sont exactement les mêmes que ceux d'une AFM classique. Donnons quelques exemples d'applications. Tout d'abord, on trouve de nombreux exemples en analyse textuelle, ce qui correspond à une extension des tableaux de données textuelles analysés par AFC. Citons l'exemple suivant où une même enquête a été effectuée dans plusieurs pays. Chaque colonne correspond à une question, les lignes correspondent aux modalités d'une variable qualitative, les classes d'âge par exemple, et dans une cellule on trouve le nombre de répondants ayant répondu oui à une question. Chaque pays correspond à un tableau et on va chercher à voir l'information commune à tous les pays et l'information spécifique de chaque pays grâce à l'AFM. On peut aussi avoir des exemples en écologie avec un tableau croisant site et espèce recueillis sur plusieurs années. On cherchera alors à voir l'évolution des associations entre site et espèce au cours du temps. Les sites, en ligne, peuvent être les mêmes d'une année à l'autre tandis que certaines espèces peuvent disparaître et ne plus être présentes certaines années. L'AFM peut aussi gérer simultanément des tableaux de fréquences, des tableaux de variables quantitatives et des tableaux de variables qualitatives. Le poids des lignes est alors calculé à partir des tableaux de fréquences actifs. On peut maintenant revoir quelques aides à l'interprétation communes à toutes les analyses factorielles: ACP, ACM, AFM. Tout d'abord, il est possible d'ajouter des informations supplémentaires, individus supplémentaires ou variables supplémentaires et bien entendu, en AFM, des groupes de variables supplémentaires. Ces éléments supplémentaires ne participent pas à la construction des axes mais pourront aider à l'interprétation. Dans notre exemple sur les vins, nous disposions de 3 groupes de variables correspondant aux dégustations de 3 jurys sensoriels. Mais nous disposions aussi de données de préférences. Un nouveau groupe de consommateurs a dégusté les vins en mettant une note d'appréciation: 0 pour je n'aime pas du tout ce vin et 10 pour j'apprécie beaucoup ce vin. On peut alors constituer un tableau de données avec en ligne les 10 vins et en colonne les 60 dégustateurs et dans une case du tableau la note attribuée pour un vin par un dégustateur. On juxtapose alors ce tableau au tableau de données utilisé dans l'AFM puisque les lignes sont bien les mêmes. On peut aussi utiliser la variable cépage comme information supplémentaire mais nous avons déjà vu comment analyser les résultats de ce groupe qualitatif. Donc nous nous contenterons d'analyser les résultats du groupe supplémentaire quantitatif. On peut alors se poser la question suivante: est-ce que l'appréciation des vins est liée à la description sensorielle? Pour répondre à cette question, nous allons refaire une AFM en considérant le groupe de préférences constitué de 60 variables en supplémentaire. Le groupe de préférences ayant été mis en supplémentaire, le graphe des individus moyens et le graphe des variables obtenus par l'AFM sont les mêmes que précédemment. Ils donnent la description sensorielle des vins construite à partir des dégustations des 3 jurys. Le groupe de préférences a des coordonnées relativement fortes sur les 2 premiers axes de l'AFM. Cela signifie que globalement ce groupe est lié aux 2 axes de l'AFM et donc à la description sensorielle des vins. L'appréciation des vins n'est pas indépendante de la description sensorielle. Plus dans le détail, toutes les variables de préférence peuvent être représentées sur le graphe des variables mais, par souci de lisibilité, nous les avons représentées sur un second graphe. Chaque flèche correspond à un dégustateur et on voit que la plupart des flèches sont dirigées en bas à gauche et sont plutôt bien représentés. Cela signifie que le vin en bas à gauche est fortement apprécié par beaucoup de dégustateurs. C'est le vin Aubuisières Silex qui est un vin qui a été décrit comme sucré par les 3 jurys comme on peut le voir sur le graphe des variables sensorielles. On retrouve en AFM les indicateurs classiques de contribution et de qualité de représentation. Pour les individus et les variables, ces indicateurs sont calculés exactement comme en ACP. Pour les groupes, nous pouvons aussi calculer ces indicateurs. Tout d'abord, la contribution d'un groupe est égale à sa coordonnée, et non sa coordonnée au carré, divisée par la somme des coordonnées, si on veut exprimer la contribution relative. On peut donc lire directement la contribution d'un groupe à la construction d'un axe à partir du graphe des groupes. Enfin, la qualité de représentation d'un groupe est mesurée comme usuellement par le cosinus carré de l'angle entre le vecteur partant du centre du nuage et allant jusqu'au point représentant le groupe dans l'espace et le vecteur partant du centre du nuage et allant sur le projeté du groupe sur l'axe. On peut alors sommer les cosinus carrés sur plusieurs axes pour avoir la qualité de représentation dans un plan ou un sous-espace. Comme pour les autres méthodes d'analyse factorielle, on peut décrire les dimensions factorielles de façon automatique en calculant les liaisons entre chaque variable et chaque dimension. Ceci est particulièrement utile en AFM car le nombre de variables est souvent important. Pour décrire les dimensions par les variables quantitatives, on va calculer le coefficient de corrélation entre chaque variable et la dimension, puis trier les coefficients de corrélation par valeur décroissante et ne conserver que les coefficients significativement différents de 0. Dans l'exemple, nous avons utilisé ici uniquement les variables actives, c'est-à-dire les descripteurs sensoriels pour décrire les dimensions. Nous aurions pu également décrire les dimensions par les variables supplémentaires mais ici les préférences ne sont pas intéressantes pour comprendre les axes. La variable la plus liée à la première dimension est liée négativement à la première dimension et il s'agit de la typicité du goût Chenin évaluée par les étudiants. Ensuite c'est l'odeur de vanille évaluée par les experts, variable corrélée positivement à la première dimension, qui permet de décrire le premier axe. Le 2ème axe est quant à lui lié négativement à l'odeur végétale évaluée par les étudiants. Nous avons ainsi une aide pour voir parmi les 57 variables quelles sont celles qui expliquent les dimensions. Pour décrire les axes par les variables qualitatives, on construit un modèle d'analyse de variance à 1 facteur dans lequel on explique les coordonnées des individus, des vins, sur l'axe en fonction de la variable qualitative. On trie alors les variables qualitatives en fonction des rapports de corrélation. Et on conserve les variables qualitatives dont le rapport de corrélation est significativement différent de 0. Cela permet de voir globalement quelles variables sont les plus liées aux dimensions. Par ailleurs, on construit des tests de Student pour trier les modalités. On va tester si la coordonnée d'une modalité est significativement différente de 0 ou non. Là encore, les modalités sont triées en fonction de la probabilité critique du test et en fonction du signe du coefficient. Dans notre exemple, la variable cépage est liée aux 2 premières dimensions. La probabilité est très légèrement inférieure à 5% et donc on rejette l'hypothèse que le rapport de corrélation est égal à 0. Rappelons qu'ici la variable cépage est supplémentaire et n'a donc pas été utilisée pour construire les axes. Ainsi le test construit est bon. En revanche, pour les variables sensorielles, les tests doivent être utilisés avec plus de prudence puisque les variables ont été utilisées pour construire les dimensions. Et elles sont donc mécaniquement liées aux axes. Si on regarde les modalités, on voit que les vins Vouvray ont des coordonnées significativement positives sur le 1er axe et significativement négatives sur le 2ème axe. Ils sont donc en bas à droite tandis que les Sauvignons sont en haut à gauche. Pour terminer, voici un transparent récapitulant les étapes importantes pour mettre en œuvre une AFM. Tout d'abord, la première question à se poser est: Y a-t-il une structure en groupes dans le jeu de données ou bien doit-on faire une analyse d'un tableau simple avec une ACP si les données sont quantitatives ou une ACM si les données sont qualitatives? S'il y a une structure en groupes, quels groupes construire? Un groupe correspond à un sous-tableau et donc le plus souvent à un type d'information. Cette constitution des groupes est essentielle puisqu'elle définit la pondération et l'équilibre entre les groupes. Ensuite, il faut choisir les groupes qui seront actifs et ceux qui seront supplémentaires. Pour les groupes de variables quantitatives, il faut déterminer si on veut que les variables du groupe soient réduites ou non réduites selon l'importance que l'on veut donner aux variables à l'intérieur du groupe. Il s'agit bien de voir l'importance des variables à l'intérieur d'un groupe et non d'un groupe à l'autre car la pondération de l'AFM par la première valeur propre de chaque groupe conduit à accorder la même importance à chaque groupe de variables. Ensuite l'AFM est réalisée. Il faut alors choisir le nombre d'axes à interpréter en regardant par exemple un graphe des valeurs propres de l'AFM. Ensuite on commence par interpréter conjointement le graphe des individus et le graphe des variables avant d'utiliser les sorties spécifiques de l'AFM pour étudier globalement les groupes et voir quels sont les groupes qui se ressemblent grâce au graphe des groupes, quels sont les individus qui ne sont pas vus de façon homogène par chaque groupe grâce au graphe des points partiels. On peut ensuite visualiser les analyses séparées pour voir quelles sont les dimensions de chaque groupe qui sont liées aux dimensions de l'AFM. Enfin, on utilise les indicateurs qualité de représentation, contribution, coefficient LG ou RV pour enrichir l'interprétation. Quelques logiciels ont une fonction permettant de faire une AFM. La fonction la plus avancée est la fonction MFA du package FactoMineR puisqu'elle permet de faire des AFM avec tout type de groupe. Des groupes de variables quantitatives ou des groupes de variables qualitatives ou encore des tableaux de contingence. Chaque groupe peut être soit actif soit supplémentaire. Vous retrouverez également toutes les aides à l'interprétation décrites dans ce cours. Pour conclure, l'AFM est une méthode multi-tableaux utile pour analyser des tableaux ayant les mêmes lignes. Les groupes ou tableaux doivent avoir des variables quantitatives, qualitatives ou bien correspondre à des tableaux de fréquences. L'intérêt de l'AFM est d'équilibrer l'influence de chaque groupe puis de représenter l'information apportée par tous les groupes dans un référentiel commun. L'AFM fournit d'une part 2 graphes: un graphe des individus et un graphe des variables qui sont des sorties classiques en analyse factorielle. Ces graphes s'analysent comme en ACP ou en ACM. Mais l'AFM fournit également des sorties spécifiques et c'est ce qui en fait sa richesse. Les sorties spécifiques permettent de comparer l'information apportée par chaque tableau. L'information peut être comparée de façon très globale grâce au graphe des groupes. On voit alors si globalement les groupes ont les mêmes dimensions et si les dimensions mises en avant par l'AFM sont présentes dans chaque groupe. L'information des groupes peut être comparée de façon plus précise grâce à la représentation des dimensions des analyses séparées. En effet, on pourra voir si les dimensions de variabilité d'un tableau, obtenues par une ACP, une ACM ou une AFC, sont liées ou non aux dimensions communes c'est-à-dire aux dimensions de l'AFM. Enfin, l'information apportée par chaque groupe peut aussi être comparée au niveau de chaque individu grâce au graphe des points partiels. Voici 2 livres sur l'analyse factorielle multiple écrits par Jérôme Pagès. La dernière référence est dédiée à l'analyse factorielle multiple. Vous pourrez trouver dans ce livre plus de détails sur les justifications mathématiques des méthodes mais également quelques exemples d'utilisation de l'AFM. Vous avez vu l'ensemble du cours sur l'analyse factorielle multiple. Vous pouvez voir maintenant comment mettre en œuvre l'analyse factorielle multiple grâce à FactoMineR. N'oubliez pas non plus de faire les quiz et exercices associés à ce cours.