In this lecture segment, the instructor presents correspondence analysis from a geometric perspective. He defines row (line) and column profiles as points in high‑dimensional spaces, introduces the centroid (center of gravity) of each cloud, and explains how the chi‑square distance—weighted Euclidean distance—measures the deviation of each profile from the centroid. The inertia of a cloud, derived from the chi‑square statistic, quantifies the overall departure from independence and is shown to be identical for rows and columns, illustrating the duality principle that rows and columns play symmetric roles. The instructor then describes the factorial decomposition: projecting the clouds onto orthogonal axes that maximize projected inertia, with eigenvalues (λ) indicating axis importance. Using a concrete example about spouses’ work status and attitudes toward female employment, he demonstrates how to interpret the correspondence map, read distances to the centroid, and name axes based on ordered categories. The segment concludes by emphasizing that axis interpretation is consistent for rows and columns, setting the stage for later topics on inertia and simultaneous representation.
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Nous avons vu que l'analyse des correspondances allait travailler à partir du modèle d'indépendance. Pour présenter l'analyse des correspondances, nous allons maintenant raisonner essentiellement géométriquement et construire 2 nuages de points. Tout d'abord, nous allons construire le nuage de profils lignes. Un profil ligne est un ensemble de J valeurs numériques, c'est donc un point dans l'espace à J dimensions que l'on note R^J. Chaque dimension de cet espace correspond à une modalité j de la variable V2. Ainsi, sur la dimension j, le profil ligne i a comme coordonnée fij sur fi., c'est-à-dire le jmème terme de son profil. Si l'on considère l'ensemble des profils ligne i, on obtient le nuage des profils ligne, ce que l'on note Ni. Dans ce nuage, on peut situer ce que l'on a appelé le profil moyen qui a comme coordonnée pour la jmème dimension f.j. Ce profil moyen, on l'appelle G comme centre de gravité. G peut en effet être considéré comme le centre de gravité du nuage NI à condition d'affecter à chaque point i un poids proportionnel à son effectif marginal, donc à fi. Dans cet espace, ce qui nous intéresse surtout c'est de comparer la position du profil ligne i au profil moyen. Pour cela, on va placer l'origine du nuage au profil moyen. Dans cet espace, il faut savoir calculer une distance. La distance qui est utilisée en analyse des correspondances est appelée distance du Khi². Elle ressemble beaucoup à la distance euclidienne usuelle. En effet, on va retrouver une somme des carrés des écarts. Ici on a l'écart entre le profil i et le profil l: fij sur fi. et flj sur fl. On élève au carré et on fait la somme sur tous les j. La différence avec la distance euclidienne usuelle, c'est que chaque dimension j a un poids qui est 1/f.j. La justification de cette distance apparaîtra dans la suite du cours. Le centre de gravité du nuage, qui correspond au profil moyen, a pour coordonnée f.j donc la distance entre le profil i et le profil moyen est simplement cette distance. De même que l'on a construit un nuage des profils lignes, on va construire un nuage des profils colonnes. Un profil colonne, c'est un ensemble de I valeurs numériques, c'est donc un point dans un espace à I dimensions. Dans cet espace, chaque dimension correspond à une modalité i de V1 et le long de cette modalité i, la coordonnée du profil colonne est fij/f.j. Il y a J profils colonnes qui constituent à eux tous le nuage Nj. À ce nuage, on ajoute le profil moyen Gj qui a donc comme coordonnée fi. sur l'axe i. Ce profil moyen peut être considéré comme le centre de gravité du nuage à la condition d'affecter à chaque profil colonne j un poids égal à son effectif marginal ou plus exactement à sa probabilité marginale, c'est-à-dire ici f.j. Dans cet espace, on accorde une importance très grande à la distance entre un profil colonne et le profil moyen. Pour cela, on va mettre l'origine au centre de gravité. Pour calculer la distance dans cet espace, on utilise, comme dans le nuage des profils lignes, la distance du chi². Ici cette distance du chi² s'écrit de la façon suivante c'est une somme des carrés des différences des coordonnées mais chaque différence des coordonnées est pondérée par 1/f_i. Le centre de gravité du nuage, qui correspond au profil moyen, a pour coordonnée fi. et donc la distance entre le profil j et le profil moyen est simplement la racine carrée de cette quantité. Alors que se passe-t-il s'il y a indépendance? S'il y a indépendance, la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité marginale, c'est-à-dire que dans chacun des nuages, tous les profils sont confondus avec le profil moyen. Autrement dit, le nuage dans ce cas est réduit à un seul point, l'origine des axes. Et donc plus les données s'écartent de l'indépendance et plus les profils s'écartent de l'origine. Calculons l'inertie du nuage NI par rapport à son centre de gravité. L'inertie d'un nuage de points, c'est la somme des inerties de ces points. L'inertie d'un point, c'est la masse par le carré de distance, donc on a bien ici l'inertie du point i qui vaut fi point multiplié par le carré de la distance du chi² entre i et Gi. Lorsque l'on effectue les calculs, on obtient le résultat intermédiaire suivant qui n'est autre que le Phi² ou, si l'on préfère, le chi² sur n. Ainsi l'inertie du nuage de points est bien un indicateur d'intensité de l'écart à l'indépendance. Comme ce qui nous intéresse c'est d'étudier l'écart à l'indépendance, ceci revient à étudier l'inertie de Ni. Tel est le point de vue de l'analyse des correspondances. On peut faire le même raisonnement pour le nuage NJ et on a le résultat suivant: l'inertie du nuage NI est égale à l'inertie du nuage NJ. Ça c'est un résultat capital qui est englobé dans ce qu'on appelle la dualité, c'est-à-dire le caractère double. En fait, il revient au même, on l'a compris, d'analyser des tableaux en termes de lignes ou en termes de colonnes. Ceci est très important en analyse des correspondances. On s'aperçoit que, en analyse des correspondances, lignes et colonnes jouent des rôles parfaitement symétriques. C'est là une propriété très importante qui la distingue d'autres méthodes comme l'analyse en composantes principales par exemple. Nous avons traduit notre question initiale qui est celle de la liaison entre 2 variables qualitatives comme d'abord un écart à l'indépendance. Cet écart à la situation d'indépendance s'interprète géométriquement comme une inertie du nuage NI par rapport à l'origine des axes. Pour étudier cette inertie, comment procède l'analyse des correspondances? Elle décompose cette inertie par analyse factorielle. Ce qu'on appelle ici analyse factorielle, c'est le dénominateur commun à toutes les méthodes dites factorielles, à savoir l'analyse en composantes principales, l'analyse des correspondances bien sûr, l'analyse des correspondances multiples enfin. Et donc l'analyse factorielle procède de la façon suivante: elle projette un nuage de points sur une suite d'axes orthogonaux d'inertie maximum. Quand on a une suite d'axes, on peut apparier les axes et constituer ainsi des plans. Examinons comment on va trouver le premier plan. Alors la meilleure représentation plane du nuage NI s'obtient, comme on l'a dit, par projection donc sur un plan . On a ici le point Mi qui correspond au profil de i. Ce point Mi est projeté sur le plan en Hi. En fait, ce que l'utilisateur regarde, ce sont les points Hi et il espère que le point Hi n'est pas trop différent du point Mi pour pouvoir conclure. Quel est le critère que l'on utilise pour trouver le plan ? Ce que l'on cherche à bien représenter, rappelons-le, c'est l'inertie du nuage NI et ce que l'on cherche à maximiser, c'est l'inertie projetée. Examinons cette relation. On reconnaît ici l'inertie projetée du point i, c'est-à-dire la masse du point i, fi., par le carré de sa distance à l'origine. En intégrant le signe somme, on a bien l'inertie projetée du nuage N_I. Donc la question est de trouver le plan P qui rend maximum l'inertie projetée. On dit que l'on a un plan d'inertie maximum. Alors pour trouver ce plan, on va d'abord chercher un axe u1 d'inertie maximum puis un second axe u2 d'inertie maximum avec la contrainte que u2 doit être orthogonal à u1. On a donc apparié U1 et U2 pour avoir le plan . L'inertie d'un axe s sera notée lambda_s, lambda parce qu'il s'agit d'une valeur propre, s parce qu'il s'agit de la valeur propre de rang s, les valeurs propres étant rangées par ordre décroissant. Voici le graphique fourni par l'analyse des correspondances quand on l'applique à notre petit tableau de données. On a donc un graphique, plan, sur lequel se trouvent et les lignes et les colonnes. Pour les lignes, ce sont les points en bleu: seul le mari travaille, le mari a un travail plus absorbant que sa femme, les 2 conjoints travaillent également. Pour les colonnes, on a les points rouges: rester au foyer, travailler à mi-temps, travailler à plein temps. Quelles sont les règles d'interprétation? Un point sur lequel nous avons beaucoup insisté, c'est la distance au centre de gravité. Examinons par exemple le point travailler à mi-temps. Il est très proche du centre de gravité. Regardons le profil de travailler à mi-temps: 12%, 33% et 51%. Et ce profil, comparons-le maintenant au profil moyen. On voit qu'il est très proche: 12% contre 15%, 36% contre 32%, 51% contre 52%. On voit bien que le profil travailler à mi-temps est très proche du profil moyen, ce qui se concrétise par une proximité entre le point correspondant et l'origine. Si maintenant on choisit un autre point, par exemple travailler à plein temps, eh bien travailler à plein temps est assez loin de l'origine, ce qui veut dire que le profil de travailler à plein temps est différent du profil moyen. Examinons le profil de travailler à plein temps. Les femmes qui ont répondu travailler à plein temps, comment répondent-elles à la première question? Eh bien 33% d'entre elles ont choisi les 2 conjoints travaillent également alors que dans la population globale elles ne sont que 15% à avoir choisi cette modalité. Les 2 conjoints travaillent également. De même, si on regarde seul le mari travaille, elles ne sont que 29% à avoir choisi seul le mari travaille, toujours parmi celles qui ont répondu travailler à plein temps, alors que dans la population totale elles sont 52%. Donc un point important pour l'utilisateur est de nommer un axe. Alors comment nommer un axe? Ici considérons les éléments d'un ensemble, par exemple les points rouges. Ces points rouges s'ordonnent depuis rester au foyer, travailler à mi-temps, travailler à plein temps, depuis la modalité la plus défavorable au travail féminin jusqu'à la modalité la plus favorable. Maintenant si l'on regarde les points bleus, c'est-à-dire les lignes, eh bien on a aussi un ordre depuis la modalité la plus défavorable au travail jusqu'à la modalité la plus favorable au travail féminin. On peut dire que cet axe représente l'attitude à l'égard du travail féminin, depuis l'attitude la plus négative, rester au foyer et seul le mari travaille, jusqu'aux attitudes les plus positives, les 2 conjoints travaillent également, et travailler à plein temps. On s'aperçoit que l'interprétation de l'axe est intrinsèquement la même entre les lignes et les colonnes. Ça, c'est un résultat concret de ce que nous avons déjà appelé la dualité. On étudie le même tableau au travers des lignes et au travers des colonnes, mais c'est bien le même tableau que l'on analyse. Le tableau des données confronté à ce que l'on obtient si l'on avait exactement l'indépendance. Nous avons vu comment visualiser le nuage des lignes et le nuage des colonnes. Nous verrons dans les prochaines vidéos 2 particularités de l'analyse des correspondances: l'inertie et la représentation simultanée.
