Ancien cours d'analyse des correspondances : la représentation simultanée (partie 4/5)

Alors revenons maintenant sur l'interprétation du graphe de l'AFC afin d'introduire une caractéristique essentielle en analyse des correspondances. Pour l'instant, nous avons commenté le graphe en considérant d'une part les lignes et d'autre part les colonnes. L'analyse des correspondances permet une représentation simultanée des lignes et des colonnes. Dans son principe, cette représentation simultanée est possible car lignes et colonnes sont des éléments de même nature: il s'agit de modalités de variables qualitatives. La représentation simultanée des lignes et des colonnes fonctionne en analyse des correspondances grâce à des relations qu'on appelle relations de transition ou encore propriétés barycentriques. Voici ici cette relation de transition concernant l'axe de rang s. Précisons les différents termes de cette relation: f_s,i est la coordonnée de la ligne i le long de l'axe de rang s, g_s,j est la coordonnée de la colonne j le long de l'axe de rang s. Donc on voit que l'on sait relier les coordonnées des lignes aux coordonnées des colonnes. Plus précisément, comme il y a un signe somme sur les j, on sait exprimer la coordonnée d'une ligne par rapport aux coordonnées de toutes les colonnes. fij sur fi., c'est le jème terme du profil. Donc on est en train de faire une somme sur les j, donc une somme sur toutes les colonnes, des coordonnées des colonnes pondérées par les éléments du profil i. Donc on fait en quelque sorte une moyenne des coordonnées des colonnes et dans cette moyenne une colonne j intervient d'autant plus qu'elle a une forte probabilité conditionnelle pour le profil i. Une fois qu'on a calculé ces centres de gravité, ces barycentres si on veut, on les dilate puisque le coefficient 1 sur racine de lambda_s est par construction plus grand que 1. On peut formuler cette relation de transition de la façon suivante: la ligne i est au barycentre de toutes les colonnes, chaque colonne étant affectée du poids fij sur fi., qui est le jème terme du profil ligne i. Cette propriété barycentrique, concrètement, on va la traduire ainsi de façon simplifiée: une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus. C'est-à-dire que si fij sur fi point est très grand, alors Gsj compte beaucoup dans le calcul de la coordonnée de i. En analyse des correspondances, lignes et colonnes jouent des rôles symétriques donc si on permute les rôles joués par les lignes et les colonnes, on obtient la seconde propriété barycentrique. Concrètement, une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus. Cette double propriété barycentrique— une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus et une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus— cette double propriété barycentrique donc permet une utilisation de la représentation simultanée et c'est ce qui en fait sa richesse. Appliquons maintenant ces propriétés barycentriques à un jeu de données que nous avons déjà utilisé, celui de la reconnaissance des saveurs fondamentales. Nous considérons ici 2 réalisations du jeu de données: l'un dans lequel il y a peu de confusion entre acide et amer puisqu'on a 3+ 1= 4 confusions sur 20 données et un autre cas dans lequel il y a plus de confusion 5+ 3= 8 confusions, c'est-à-dire 40% de confusion, 20% de confusion à gauche, 40% à droite. Les résultats de l'analyse des correspondances de ces 2 tableaux, on les a déjà commentés: la 1ère valeur propre vaut 1, c'est la conséquence de l'association exclusive entre sucré et perçu sucré. Alors quelles conséquences sur les propriétés barycentriques? Rappelons la propriété barycentrique: si lambda_s vaut 1, cela veut dire qu'une colonne va être à l'exacte barycentre des lignes. Alors prenons par exemple perçu sucré. Perçu sucré est rigoureusement confondu avec sucré parce qu'il ne s'associe qu'avec sucré. De l'autre côté, on a, le long du premier axe, amer, acide, perçu amer, perçu acide qui ont exactement la même coordonnée. Perçu amer est donc bien à l'exact barycentre de sucré, amer et acide puisqu'il ne s'associe jamais avec sucré. Examinons maintenant le 2ème axe. Le 2ème axe met en évidence une association privilégiée entre amer et perçu amer d'une part et acide et perçu acide d'autre part, et cela dans les 2 cas. La disposition relative de ces 4 points est rigoureusement identique entre la situation de gauche et la situation de droite. Ce qui nous montre que cette disposition relative des points nous donne des informations sur la nature de la liaison quelles sont les modalités qui s'associent entre elles, mais ne nous dit rien sur l'intensité de la liaison. Est-ce que cette association est forte, très forte, voire quasiment exclusive Si l'on veut avoir des informations sur l'intensité de la liaison, alors il faut regarder les valeurs propres qui sont relativement élevées dans un cas et très faibles dans l'autre . La plus grande valeur propre indique qu'on a une liaison beaucoup plus forte. On est cependant loin d'une association exclusive auquel cas on aurait une valeur propre de 1. Analysons maintenant de façon précise comment fonctionne la propriété barycentrique en effectuant un grossissement des coordonnées le long du 2ème axe concernant les points acide et amer. Dans cette propriété barycentrique, on calcule d'abord le barycentre et une fois qu'on a les barycentres, on les dilate avec le coefficient 1 sur racine de lambda_s. Prenons comme exemple la construction du point perçu amer. Perçu amer dans un premier temps va être le barycentre des points acide et amer avec les coefficients 1 et 7. Donc si l'on calcule le barycentre d'acide et amer avec les coefficients 1/8 et 7/8, on tombe sur le point rouge qui est beaucoup plus proche du point amer que du point acide. Effectuons maintenant le même calcul dans le cas de droite. On va calculer le barycentre entre acide et amer avec cette fois les coefficients 3 et 5. On obtient un rond rouge qui est cette fois du côté d'amer mais assez légèrement dans le rapport 3 et 5. On voit que si l'on regarde les barycentres, on a bien l'idée de l'intensité de la liaison. Que fait l'analyse des correspondances ensuite? Elle multiplie ces coordonnées par 1 sur racine de lambda_s. Cette valeur 1 sur racine de lambda_s est très différente d'un cas à l'autre puisqu'elle vaut 1.6 dans le premier cas et 4.9 dans le second cas. Autrement dit, le nuage des barycentres va être beaucoup plus dilaté dans le cas de droite, lorsqu'on a une faible liaison, que lorsqu'on a une forte liaison. De cette façon, l'analyse des correspondances gomme l'effet de l'intensité de liaison pour ne garder que la nature de la liaison. On peut se demander pourquoi on fait ceci. La première raison évidente, c'est qu'on a exactement la même relation entre une ligne et l'ensemble des colonnes et une colonne par rapport à l'ensemble des lignes. On a bien ici le rôle symétrique joué par les lignes et les colonnes. Une autre façon de voir les choses est de dire: si on regarde les barycentres, dans le cas de liaisons faibles, on va avoir beaucoup de mal à déceler des associations. Aussi l'analyse des correspondances va grossir le graphique, un peu à la façon d'un microscope, pour mettre en évidence les associations. En conclusion, on peut dire que l'analyse des correspondances ne dit rien sur la significativité de la liaison. Elle travaille sur les probabilités, on l'a dit. L'intensité de la liaison est visible dans les valeurs propres et la nature de liaison dans les positions relatives des points. Utilisons la double propriété barycentrique sur le jeu de données du travail des femmes. Considérons le point seul le mari travaille. Seul le mari travaille correspond à un profil ayant pour termes 26.5, 63.1, 10.3. C'est donc le barycentre des points rouges affectés de ces nombres. Seul le mari travaille a un plus fort poids pour rester au foyer que pour travailler à mi-temps . Donc seul le mari travaille va aller du côté de rester au foyer. C'est bien ceci la propriété barycentrique: un point ligne va du côté des colonnes auxquelles il s'associe le plus. Si maintenant on regarde les 2 conjoints travaillent également, on a le résultat suivant: les 2 conjoints travaillent également s'associent beaucoup plus à travailler à plein temps qu'à rester au foyer. D'où le point les 2 conjoints travaillent également du côté de travailler à plein temps. Grâce aux propriétés barycentriques, nous pouvons donc maintenant interpréter simultanément les points rouges et les points bleus, c'est-à-dire les lignes et les colonnes. Le premier axe est un axe d'attitude à l'égard du travail féminin qui classe les modalités des 2 questions depuis la plus défavorable au travail féminin jusqu'à la plus favorable au travail féminin. Ça ressemble tout à fait à ce qu'on disait en analysant séparément les points lignes et les points colonnes. Sauf que maintenant on examine simultanément les points rouges et les points bleus. Alors regardons par exemple les 2 conjoints travaillent également et travailler à plein temps. Ce sont 2 modalités favorables au travail féminin et on peut considérer qu'elles sont favorables au travail féminin de façon équivalente. Si maintenant par contre on regarde rester au foyer et seul le mari travaille, ce sont bien des modalités qui sont défavorables au travail féminin et qui témoignent d'une attitude négative à l'égard du travail féminin. Mais le plan de l'analyse des correspondances nous suggère que rester au foyer témoigne d'une attitude plus défavorable à l'égard du travail féminin que seul le mari travaille puisque sa coordonnée est plus extrême. On a là un résultat tout à fait intéressant. L'analyse des correspondances classe les modalités des 2 questions et finalement on peut dire que les 2 modalités les plus favorables sont à peu près équivalentes mais qu'il n'en est pas de même pour les modalités les plus défavorables. Est-ce qu'on peut retrouver dans les données pourquoi l'analyse des correspondances suggère que rester au foyer est plus défavorable à l'égard du travail féminin que seul le mari travaille? Examinons rester au foyer. On voit que le profil de rester au foyer est très particulier. Pratiquement toutes les personnes qui ont répondu rester au foyer ont répondu seul le mari travaille. Donc quand on a répondu rester au foyer, on est pratiquement sûr d'avoir répondu aussi seul le mari travaille. On cumule donc 2 réponses négatives à l'égard du travail féminin. En revanche, lorsque l'on regarde les modalités de réponse des femmes qui ont répondu seul le mari travaille à l'autre question, eh bien ces réponses sont partagées. Ces femmes ont répondu de façon importante rester au foyer mais elles ont aussi, par exemple, beaucoup répondu travailler à mi-temps et de façon non négligeable travailler à plein temps. On voit donc que le profil rester au foyer est beaucoup plus remarquable que le profil seul le mari travaille. C'est bien ce que l'analyse des correspondances a détecté. On peut essayer de quantifier cette impression, c'est-à-dire que dans l'espace RI, on peut regarder la distance de la modalité rester au foyer au centre de gravité. On trouve 0.4. La valeur absolue n'est pas facile à interpréter mais dans l'espace RJ, quand on regarde la distance de seul le mari travaille au centre de gravité, on trouve 0.1. Et là par contre il est possible de comparer les 2. Donc on voit bien que rester au foyer est beaucoup plus remarquable, c'est-à-dire concrètement est beaucoup plus loin de l'origine.