Dans cette leçon vidéo, l'instructeur explique comment convertir des nombres de bases binaires (base 2), octales (base 8) et hexadécimales (base 16) en décimal (base 10) en utilisant la décomposition positionnelle. Après une brève révision du principe de décomposition d'un nombre décimal, il montre pas à pas le processus pour chaque base : il fixe les puissances du facteur de base, multiplie chaque chiffre (ou symbole) par la base élevée à la puissance correspondante, puis additionne les produits. Des exemples concrets sont fournis : 101₂ → 5₁₀, 11010₂ → 26₁₀, 1111₂ → 15₁₀ ; 12₈ → 10₁₀, 107₈ → 71₁₀, 200₈ → 128₁₀ ; 15₁₆ → 21₁₀, FF₁₆ → 255₁₀, 2C0₁₆ → 704₁₀. L’instructeur rappelle les symboles valides de chaque base (notamment A‑F pour l’hexadécimal) et insiste sur la vérification de la validité des nombres octaux. La leçon se conclut en réaffirmant que la même procédure s’applique à toute base, la seule différence étant la valeur de la base elle‑même. Le ton est pédagogique, clair et encourageant.
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Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon sur les systèmes numériques. Aujourd'hui, nous allons procéder à la conversion. Comme base de destination, on va choisir le décimal et on va y arriver à partir de la base binaire, la base octale et la base hexadécimale. Et on aura 3 nombres à convertir pour chaque exemple afin de mieux consolider les concepts. Avant de commencer, prenons l'exemple suivant: Imaginez que l'on dispose du nombre 123 en décimal. Comme nous l'avons appris à l'école, on peut décomposer ce nombre de cette manière. Tout d'abord, on va lister les exposants. Ici à droite, c'est la puissance 0, puis la puissance 1, et enfin la puissance 2. Alors, on peut décomposer ce nombre de cette manière: on prend le coefficient 1, on multiplie par la base qui est 10, puis on élève à la puissance 2. Plus, on prend le deuxième coefficient qui est dans ce k2, on multiplie par la base 10 et on élève à la puissance 1. Plus le dernier coefficient, maintenant c'est le dernier chiffre, donc 3 fois la base 10 et on élève à la puissance 0. Donc la somme 123. Alors ça c'est déjà connu. Maintenant ce qu'il faut noter c'est qu'on va faire exactement la même chose pour toutes les autres bases. C'est-à-dire quelle que soit la base de départ, pour atteindre la base décimale, il suffit de décomposer le nombre exactement de cette manière. Alors commençons par le premier nombre binaire 101. On va chercher son équivalence en base décimale. Donc 101, n'oubliez pas de mettre la base. Maintenant on va fixer les puissances. À droite c'est la puissance 0, puis 1 et enfin 2. Alors on va décomposer ce nombre de cette manière: on prend le premier coefficient, c'est 1, on multiplie par la base qui est 2 et on élève à la puissance 2, plus 0 fois la base 2 à la puissance 1, plus 1 fois la base 2 à la puissance 0. Donc c'est égal à 4 plus 0 plus 1. Donc finalement ça donne 5 base 10. Alors 101 base 2 est équivalent à 5 base 10. Le deuxième nombre maintenant, c'est 11010, toujours en base 2. On va fixer les puissances 0, 1, 2, 3 et 4. Donc là c'est égal à 1 fois 2 à la puissance 4, on met directement 2 à la puissance 4 plus 2 à la puissance 3 plus— là c'est un 0, pas la peine de mettre, on met directement 2 à la puissance 1. Et là encore c'est un 0, donc pas la peine de noter. Donc égal à 16 plus 8 plus 2. À la fin ça donne 26 en base 10. Donc le nombre 11010 base binaire est égal à 26 en base décimale. Dernier exemple binaire maintenant. On a le code 1111 base 2. Même chose, on va fixer les puissances 0, 1, 2 et 3. Donc c'est égal à 2 à la puissance 3, plus 2 à la puissance 2, plus 2 à la puissance 1, plus 2 à la puissance 0. Donc c'est égal à 8+ 4+ 2+ 1, donc à la fin ça donne 15 base 10. Donc le nombre 1111 en base binaire est équivalent à 15 en en base 10. Maintenant on va passer à la base octale. Le principe c'est le même, on va juste faire un petit rappel sur la base octale. Nous avons dit que c'est une base qui contient 8 symboles qui sont les suivants: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Donc la première chose à faire avant de procéder à la conversion, c'est de vérifier si le nombre est valide, c'est-à-dire si vous trouvez un symbole qui n'appartient pas à la liste, c'est que le nombre octal est invalide, mais dans notre cas tous les nombres sont valides. Alors prenons le premier nombre 12 base 8. On va faire la même chose que pour le nombre décimal et le nombre binaire, on va fixer la puissance, donc là c'est 0 et là c'est 1. On décompose le nombre, donc c'est égal à 1 fois la base 8 à la puissance 1 plus 2 fois la base 8 à la puissance 0. Donc c'est égal à 8+ 2, c'est égal à 10 base 10. Donc le nombre 12 en base 8 est égal à 10 en base décimale. Maintenant 107 base 8, on fixe les puissances. Et on décompose. Donc c'est 1 fois 8 à la puissance 2 plus, on ignore le 0, donc directement 7 fois 8 à la puissance 0. Donc c'est égal à 64 plus 7, c'est égal à 71 base 10. À la fin, le nombre 107 base 8 est égal à 71 base 10. Le dernier nombre de la liste octale, 200 base 8, on va encore fixer les puissances. C'est égal à 2 fois 8 à la puissance 2. Donc après on n'a que des zéros, donc pas la peine de les noter. On aura égal à 2 fois 64, égal à 128. Base 10. Alors 200 base 8 est égal à 128 base 10. Maintenant on va passer à l'hexadécimal. En guise de rappel, l'hexadécimal c'est la base 16 qui contient 16 symboles, à savoir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On a aussi 10 jusqu'à 15, mais on va les noter par A, B, B, C, D, E et F. A c'est l'équivalent de 10, B c'est l'équivalent de 11, C c'est 12, D c'est 13, E c'est 14 et F c'est 15. Il serait préférable de noter ces équivalences quelque part afin de ne pas s'embrouiller après. Prenons le premier code: 15 base 16. Alors, même principe, on fixe les exposants et on décompose le nombre. Donc c'est égal à 1 fois 16 à la puissance 1 plus 5 fois 16 à la puissance 0. Donc c'est égal à 16 plus 5, c'est égal à 21. Donc 15 base 16 est égal à 21 base 10. Ensuite, on a FF. Donc FF base seize, on fixe les puissances zéro et un. Le F correspond à quinze, on mettra donc quinze fois la base seize à la puissance un plus quinze encore fois la base seize à la puissance zéro. C'est égal à deux cent quarante plus quinze. À la fin, ça donne deux cent 255 base 10. FF base 16 est équivalent à 255 base 10. Dernier code de la liste, 2C0 base 16. Là encore, on va fixer les puissances. Là, c'est égal à 2 fois 16 à la puissance 2. Plus C, c'est équivalent à 12, fois 16 à la puissance 1, plus 0, pas la peine de mettre. Alors on obtient 512 plus 192, le résultat c'est 704. Donc le nombre 2C0 en hexadécimal est équivalent à 704 en Base 10. Alors je crois que c'est pas compliqué. En guise de rappel, quelle que soit la base de départ, afin d'atteindre la base décimale, il suffit de décomposer le nombre exactement de cette manière. Ce qui change à chaque fois, c'est juste la base, sinon l'opération reste la même. J'espère que vous avez apprécié cette leçon. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.
