Dans cette leçon vidéo en français, le présentateur explique comment convertir un nombre décimal (base 10) en binaire (base 2). Il introduit quatre méthodes distinctes : (1) mémorisation d’une table de correspondance pour les nombres < 16, avec une astuce de génération rapide; (2) décomposition du nombre en somme de puissances de 2 et placement de 1 aux positions correspondantes; (3) approche « liste de puissances » où l’on soustrait successivement les plus grandes puissances de 2 inférieures au nombre; (4) division successive par 2 en recueillant les restes à l’envers. Chaque méthode est illustrée avec l’exemple phare 43 → 101011, puis appliquée à une série d’exercices (9, 24, 33, 256, 255). Le présentateur indique les avantages et limites de chaque technique, notamment la rapidité de la table pour les petits nombres, la clarté de la décomposition, la longueur de la méthode de soustraction, et la popularité de la division successive. Il introduit également le concept de complément à 1 (inversion bit‑à‑bit) en montrant comment 255 = 256 − 1 se traduit en binaire par un 1 suivi de huit 0, puis son complément donne huit 1. La vidéo se conclut par un rappel des méthodes et une invitation à la prochaine leçon.
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Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon consacrée au système numérique. Aujourd'hui, nous allons voir comment procéder à la conversion décimale-binaire. Autrement dit, nous allons apprendre à convertir un nombre provenant de la base 10 à un nombre faisant partie de la base 2. Avant de s'attaquer aux nombres de la liste, nous allons prendre un exemple. Imaginez que l'on veut convertir le nombre 43. Qui est codé en base 10, à un nombre binaire. Il existe plusieurs méthodes qui permettent de réussir cette conversion. La plus basique, c'est d'apprendre par cœur la correspondance binaire de chaque nombre décimal. Mais bien sûr, cette méthode s'applique uniquement aux petits nombres. Par exemple, il est recommandé d'apprendre par cœur la correspondance binaire de tous les nombres qui sont inférieurs à 16. Autrement dit, on va dresser une liste de cette manière. Donc là c'est la liste de nombres décimaux, on va éditer leur correspondant sur 4 bits. Pour 0 c'est 0000, pour 1 c'est 0001, etc. Il y a une astuce pour créer cette liste plus rapidement. On va commencer à droite, puis on va mettre 0, ensuite 1, 0, 1. On va faire ça 16 fois. Voilà. Le deuxième bit maintenant, on va alterner entre double 0 et double 1, comme ça: 00, 11. Le troisième nombre, on va mettre 4 0, 4 1. Et le dernier nombre, on va doubler, on mettra donc 8 0 et 8 1. Alors si par exemple on cherche la correspondance du nombre 5, c'est ça. C'est 101 en binaire. Comme je l'ai mentionné, cette méthode s'applique principalement pour les petits nombres, en l'occurrence ceux qui sont inférieurs à 16. Alors il est préférable d'apprendre ça par cœur parce que ça va nous être utile après, surtout si on veut faire la conversion des nombres en hexadécimal ou en octal vers le binaire ou inversement. Alors cette méthode s'applique surtout au nombre 9, le premier nombre de la liste. La deuxième méthode consiste à représenter le nombre décimal sous forme d'une somme de nombres qui sont des puissances de 2. Par exemple, 43 est égal à 32+ 11, et 11 c'est 8+ 2+ 1. Remarquez bien que tous les opérandes de la somme sont des puissances de 2. Donc là c'est 2 à la puissance 5, là c'est 2 à la puissance 3, là c'est 2 à la puissance 1 et là c'est 2 à la puissance 0. Pour faire la conversion c'est simple, il suffit de mettre 1 à la position de la puissance qui est représentée par un nombre. Donc là par exemple à la position 5 on mettra 1, à la position 3 on mettra 1, à la position 1 on mettra 1 et à la position 0 on mettra 1. Ce qui manque c'est la position 2 et la position 4. Alors à la place on mettra des 0. Donc la représentation binaire du nombre décimal 43 est 101011. Cette méthode aussi s'avère parfois utile. La troisième méthode est inspirée de la deuxième méthode. Elle consiste à lister tous les nombres qui sont des puissances de 2 et qui sont inférieurs à 43 dans ce cas. Donc on mettra le nombre 1, le nombre 2, le nombre 4, 8, 16 et 32. Le prochain nombre, c'est 64, il est supérieur à 43. Là, c'est 2 à la puissance 0, 2 à la puissance 1, 2 à la puissance 2, 2 à la puissance 3, 2 à la puissance 4, et là, c'est 2 à la puissance 5. Alors, le nombre binaire résultant sera constitué de 6 bits: position 5, position 4, position 3, Position 2, position 1 et position 0. Maintenant on va comparer le nombre décimal 43 à chacun des nombres de la liste en commençant par le plus grand. 43 est supérieur à 32, donc à la position 5 on aura 1. Ensuite on va soustraire 32 de 43, ça donne 11. Maintenant on peut barrer 32, on a fini avec. Maintenant on compare 11 à 16. Puisque 11 est inférieur à 16, alors à la position 4 on mettra un 0. Maintenant barre 16 on en a fini avec aussi. Maintenant on va comparer 11 à 8. Puisque 11 est supérieur à 8, donc à la position 3 on mettra 1. Et dans le coin on va soustraire 8 de 11, donc c'est égal à 3. Après on va comparer 3 à 4. Puisque 3 est inférieur à 4, donc on mettra 0 à la position 2. Puis on continue. On compare 3 à 2. Puisque 3 est supérieur, donc c'est qu'on mettra un 1 à la position 1. Puis on va soustraire 2. Ça donne 1. Maintenant on barre le 2, on a fini avec. Il reste maintenant le 1 qu'on compare avec le 1 qu'on a là. Bon, puisque c'est supérieur ou égal, donc on mettra un 1. Et là on va prendre le 1, on va soustraire, et on obtient 0. L'opération s'arrête quand on atteint la valeur 0. Non plus la peine de continuer. Alors la représentation du nombre 43, c'est 101011. Cette méthode est un peu longue par rapport à la deuxième méthode, mais parfois elle s'avère utile aussi. La dernière méthode maintenant, c'est la méthode la plus célèbre, il s'agit de la division consécutive par 2. Alors on prendra le nombre 43. On divise par 2, ça donne 21, le reste 1. Diviser par 2, ça donne 10, le reste 1. Diviser par 2, ça donne 5, le reste 0. Diviser par 2, ça donne 2, le reste 1. Diviser par 2, ça donne 1, le reste 0. Diviser par 2, ça donne 0, le reste 1. L'opération s'arrête quand on a un résultat qui est égal à 0. Maintenant, tout ce qu'on a à faire, c'est regrouper les restes dans l'ordre inverse. Dans ce cas, le bit le plus à gauche, c'est 1, suivi de 0, suivi de 1, puis un 0, 1 et 1. Alors, le nombre, c'est le même. Désormais, vous disposez de 4 manières pour faire la conversion du décimal au binaire. Maintenant, on va s'attaquer aux nombres de la liste. Le premier nombre, c'est 9. Alors ici, vous avez le choix entre la correspondance directe du nombre 9 qui figure dans la liste que je vous aurais déjà adressée, qui sera égale à 1001. Sinon, on peut écrire 9 sous forme de somme de nombres qui sont des puissances de 2. Alors 9 égal à 8+ 1. 8, c'est 2 à la puissance 3, donc là c'est la position 3, et 1, c'est 2 à la puissance 0, alors là c'est la position 0. Donc on va mettre 1 à la position 3, 1 à la position 0, les positions qui restent c'est 1 et 2, on mettra 0 à la place. Alors on obtient 1001. Sinon on peut procéder à la division consécutive, on mettra donc 9 divisé par 2 égal à 4, il reste 1, divisé par 2 égal à 2, il reste 0, divisé par 2 égal à 1, il reste 0, divisé par 2 égal à 0, il reste 1. Donc l'opération s'achève quand on atteint un résultat qui est égal à 0. On regroupe les résultats dans l'ordre inverse, ça donne 1001. C'est exactement le résultat qu'on a obtenu ici. Alors ça donne 1001. Alors le nombre 9 en décimal correspond à 1001 en binaire. Deuxième nombre. Là encore, on peut procéder à la division consécutive par 2, ou bien l'écriture se forme d'une somme de nombres qui sont des puissances de 2. Alors 24, égal à seize plus huit. Donc seize c'est de la puissance quatre et huit c'est de la puissance trois. Alors on mettra un à la position quatre, un à la position trois et zéro dans les positions qui restent. Donc position deux, position un, position zéro. Alors vingt-quatre en décimal correspond au nombre binaire un un zéro zéro zéro. Le nombre 33, là aussi on peut écrire le nombre sous forme d'une somme de nombres qui sont des puissances de 2, ou bien on peut procéder à la division consécutive par 2. Optons pour la division. 3 égal à 16, il reste 1. Divisé par 2 égal à 8, il reste 0. Divisé par 2 égal à 4, il reste 0. Divisé par 2 égal à 2, il reste 0. Divisé par 2 égal à 1, il reste 0. Et divisé par 2 égal à 0, il reste 1. L'opération s'achève quand on atteint un résultat qui est nul. On regroupe maintenant les nombres dans le sens inverse, donc ça donne 1 0 0 0 0 1. Donc 1, 4 0 et 1. Sinon, on peut représenter toujours le nombre sous forme d'une somme de puissances de 2. 33 égal à 32 plus 1, c'est 2 à la puissance 5 plus 2 à la puissance 0. Alors on met 1 à la position 5, 1 à la position 0 et des 0 partout dans les positions qui restent. Maintenant le nombre 256. Là aussi on peut procéder à la division consécutive, mais on aura beaucoup d'opérations à faire. Donc on préfère cette méthode: 256= 2^8. C'est tout. Dans ce cas, on va mettre 1 à la position 8 et des 0 partout, donc position 7, position 6, position 5, position 4, position 3, position 2, position 1 et position 0. Alors à la fin, on a obtenu 1 et une suite de 8 0. Le dernier nombre, 255. Là aussi, on peut procéder à la division consécutive par 2, sinon on remarque que 255 est égal à 256 moins 1. Et 256, c'est 2 à la puissance 8. Alors représentons 256 en binaire, on l'a déjà fait, donc c'est 1 suivi de 8 zéros. Et pour atteindre 255, on va juste mettre -1. Bien sûr, on va pas s'amuser à faire l'opération parce que quand même ça demande un peu d'effort, mais remarquez bien que le nombre qui est là contient des zéros partout sauf dans le bit le plus signifiant, c'est-à-dire le bit le plus à gauche. Il contient un 1. Alors si vous avez ce genre d'opération, c'est-à-dire un nombre qui contient des zéros partout et un seul 1 à gauche, Alors si vous procédez à la soustraction avec 1, c'est-à-dire le nombre moins 1, ce que vous obtenez c'est directement ce que l'on appelle le complément à 1 du nombre original. Le complément à 1 c'est quoi? Ce n'est rien d'autre que l'inverse bit par bit de ce nombre-là. Alors à la place de 0 on mettra des 1, donc ça fait 8 1, et à la place de 1 on mettra un 0. On appelle ce nombre le complément à 1 de ce nombre-là, qu'on note généralement comme ça. C'est A1. Bien entendu, dans les prochaines vidéos, on va se servir du complément A1 et du complément A2, mais pour le moment, sachez que ça c'est une astuce qui vous permet d'aller plus vite. Alors à la fin, on obtient une suite de 8 1. Mais si vous n'êtes pas à l'aise avec cette méthode, vous pouvez toujours procéder à la méthode la plus basique, c'est la division consécutive par 2. J'espère que vous avez apprécié cette leçon. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.
