Cours d'ACP (partie 1/3) : données et problématique

Cette semaine, nous vous proposons 3 vidéos de cours qui présentent les principales caractéristiques de l'analyse en composantes principales. Le plan de l'exposé est le suivant: nous commencerons par décrire les données sur lesquelles on travaille en ACP et dégagerons des objectifs et une problématique. Ensuite nous verrons que les individus comme les variables peuvent être représentés par un nuage de points multidimensionnel et nous verrons comment visualiser ces nuages de points. Enfin nous détaillerons plusieurs aides à l'interprétation très utiles pour analyser les résultats. Commençons dans cette vidéo par définir sur quel type de données nous travaillons et quelles sont les problématiques associées. L'ACP, l'analyse en composantes principales, s'intéresse à des tableaux de données rectangulaires avec en lignes des individus et en colonnes des variables qui sont de nature quantitative. Donc on peut considérer qu'on a I individus et K variables. On définit la moyenne d'une variable par X barre k qui est la moyenne des Xik et on définit l'écart-type d'une variable Sk par la racine de 1 sur i somme sur i des carré. On voit ici qu'il y a un 1 sur i car on estime l'écart-type de la variable pour ces données et ces données seulement, sans chercher à estimer l'écart-type d'une population dont ces données seraient un échantillon. Alors des tableaux de données de ce type avec des individus en lignes et des variables en colonnes, on en trouve dans de très nombreux domaines d'application. Voici une liste d'exemples de ce type de tableaux issus de divers domaines d'application. Le premier exemple provient de l'analyse sensorielle. Des produits sont décrits par différentes variables qu'on appelle souvent des descripteurs sensoriels comme par exemple l'acidité, l'amertume, la saveur sucrée, etc. Et donc on a un tableau avec différents produits, par exemple des vins, et pour chaque vin on a sa note d'acidité, sa note d'amertume, sa note de saveur sucrée. L'objectif de l'ACP est d'étudier ce tableau afin d'obtenir ce que l'on appelle un espace produit, c'est-à-dire une description sensorielle multidimensionnelle des vins. En écologie, on a un exemple avec différentes rivières et les variables sont différents polluants, donc on a un tableau qui croise des rivières en lignes et des polluants en colonnes. En économie, on peut avoir des années et on suit différents indicateurs économiques d'une année à l'autre. Les individus statistiques sont les années mais ce pourrait être par exemple les pays. En génétique, très souvent on a des patients et les variables qui décrivent les patients sont des gènes. Dans ce cas, le tableau de données contient de très nombreux gènes. En marketing, on a différentes marques et des indices de satisfaction. En sociologie, on peut avoir des enquêtes budget-temps où les individus statistiques sont par exemple des regroupements d'individus de différentes CSP et les variables sont les différentes activités et la mesure est le temps moyen passé par des individus d'une CSP pour une activité donnée. Donc des tableaux de ce type, qui croisent des individus en lignes et des variables en colonnes, sont nombreux et issus de domaines très variés. Pour illustrer ce cours, nous allons prendre un exemple sur des données météorologiques. En lignes, les individus statistiques sont différentes villes de France, 15 villes de France, et en colonnes les variables quantitatives sont des températures mensuelles moyennes. Ces températures mensuelles moyennes ont été calculées sur 30 ans. Donc par exemple à Bordeaux en janvier, il fait en moyenne 5,6°C. Cette valeur de 5,6°C est la moyenne sur tous les jours de janvier pendant 30 ans. On a ainsi 12 variables correspondant aux 12 mois de l'année. On a ensuite 2 variables de positionnement: la latitude et la longitude des villes. L'objectif de notre ACP va être d'étudier ce tableau. Alors comment étudier ce tableau? On peut l'étudier de différentes façons. On peut considérer ce tableau comme un ensemble de lignes et et chercher les différences et les ressemblances qu'il peut y avoir d'une ligne à l'autre. Ou bien on peut considérer ce tableau comme un ensemble de colonnes et chercher à voir les ressemblances entre colonnes. Pour l'étude sur les individus statistiques, sur les lignes, nous devons définir quand 2 individus se ressemblent et quand est-ce qu'ils se ressemblent du point de vue de l'ensemble des colonnes. Si nous avons beaucoup d'individus, nous voudrons faire un bilan des ressemblances: ces individus se ressemblent, sont très proches du point de vue de l'ensemble des colonnes, ces autres individus sont proches entre eux et différents du premier groupe d'individus. Nous cherchons ici à faire une typologie, une partition des individus, c'est-à-dire à construire des groupes d'individus homogènes du point de vue de l'ensemble des variables. À l'intérieur d'un groupe, les individus se ressemblent et d'un groupe à l'autre ils sont différents. Au niveau des variables, de façon symétrique, nous cherchons les ressemblances entre variables. Quelles sont les variables qui apportent une information à peu près identique? Quelles sont les variables qui apportent des informations différentes? Entre variables, plutôt que de ressemblances, on parle souvent de liaisons. Et les liaisons les plus connues sont les liaisons linéaires. Ce sont des liaisons simples, très fréquentes et finalement qui peuvent résumer de nombreuses liaisons. Même quand une liaison est non linéaire entre 2 variables, il est fréquent que sur certains domaines la liaison puisse être proche d'une liaison linéaire. Alors comment mesurer la ressemblance entre 2 variables? On peut la mesurer par un indicateur comme le coefficient de corrélation. 2 variables qui ont un coefficient de corrélation très élevé, proche de +1, seront des variables qui apportent la même information. Notre objectif dans l'analyse sera de faire un bilan des ressemblances entre variables et de visualiser la matrice de corrélations. Mais aussi de trouver des indicateurs qui résument beaucoup de variables. Autrement dit, à partir des nombreuses variables du tableau, nous voulons avoir une vision de l'ensemble des liaisons sans passer en revue chaque couple de variables. Cette vision peut se faire par l'intermédiaire de variables synthétiques. Alors des indicateurs synthétiques, il en existe. A priori, par exemple la moyenne est un indicateur a priori. Mais ici on va plutôt chercher des indicateurs a posteriori, c'est-à-dire qu'on va utiliser l'information qui est contenue dans les données pour trouver un indicateur. Alors évidemment comme c'est le même tableau qui est vu en ligne puis en colonne, il y a un lien entre ces 2 études. Entre l'étude sur les individus et l'étude des variables. Dans l'étude sur les individus, nous construisons des groupes d'individus et nous allons chercher à caractériser les différents groupes d'individus, les différentes classes d'individus. Pour caractériser ces groupes, plutôt que de lister tous les individus du groupe, nous préférons utiliser les variables. Sur l'exemple d'analyses sensorielles, nous pourrons par exemple dire que ces vins qui se ressemblent sont les vins à la fois acides et amers tandis que ces autres vins sont sucrés et peu acides. Donc pour cela on voit bien qu'on a besoin d'une procédure automatique surtout si on a beaucoup de variables. De même, quand nous étudions les liaisons entre variables, nous allons dire que ces Ces différentes variables sont très liées entre elles mais ce langage est plutôt abstrait. Et on pourrait l'illustrer par une opposition entre des individus spécifiques, c'est-à-dire des individus qui sont très particuliers, qui sont très extrêmes. Par exemple, la variable taille et la variable poids sont 2 variables très liées. On peut dire qu'il existe une corrélation linéaire forte entre ces variables. Mais on peut aussi illustrer cette liaison en opposant 2 individus extrêmes et en disant: les individus qui sont petits sont légers et les individus qui sont grands sont lourds. L'illustration de la liaison par des individus extrêmes n'est ici pas décisive mais si nous avons beaucoup de variables et que les variables sont moins bien connues, l'illustration par des individus extrêmes peut être utile. Pour résumer, l'ACP est une méthode de statistiques exploratoires, de statistiques descriptives multidimensionnelles. Cette méthode va synthétiser, résumer, hiérarchiser l'information contenus dans un tableau de données individus x variables quantitatives. Et pour ce faire, elle va fournir une visualisation du tableau de données par des graphiques simples. Revenons plus en détail sur les 2 façons de considérer le tableau de données. Si je le considère comme un ensemble de lignes, je suis en train d'étudier les individus. Si je le considère comme un ensemble de colonnes, je suis en train d'étudier les variables. Étudier les individus va revenir à considérer un nuage de points, un point correspondant à un individu. Ce nuage de points évolue dans un espace de dimension élevée. Si le tableau contient K variables, le nuage de points vit dans un espace à K dimensions. Dans l'étude sur les variables, une variable est un point dans un espace cette fois à I dimensions: il y a autant de dimensions que d'individus. Chaque variable a donc I coordonnées et correspond donc à un point dans un espace à I dimensions. L'ensemble de ces points variables forme un nuage de variables qui vit dans un espace à I dimensions. Nous avons vu quels étaient les tableaux de données auxquels s'intéresse l'ACP, quelles étaient les problématiques de l'ACP. Nous verrons dans les prochaines vidéos comment mettre en œuvre l'ACP.