Cours d'analyse de variance (théorie - pratique - mise en oeuvre)

Le cours d'aujourd'hui, c'est une extension de ce que vous avez vu dans la première partie du module. C'est de l'analyse de variance à nouveau. Analyse de variance, j'ai mis avec interaction, donc je vais définir ce que c'est que l'interaction. Mais là, l'idée, c'est d'expliquer une variable réponse Y qui est quantitative et de l'expliquer en fonction de plusieurs variables qui sont qualitatives. On a plusieurs variables et ces variables-là peuvent influer simultanément sur Y. C'est ça la notion d'interaction, donc je vais le définir plus précisément par la suite. Si je reprends les différents cours que vous avez eus, vous avez eu un cours de régression simple où vous expliquez une variable quantitative en fonction d'une seule variable quantitative. Et puis la dernière fois, on a vu la régression multiple où on voyait une variable quantitative expliquée par plusieurs variables quantitatives. Ça, c'est la régression multiple. Vous avez vu aussi dans la première partie du module une variable quantitative Y expliquée par une variable qualitative. Donc ça, c'est l'analyse de variance à un facteur. Et là, on va avoir une extension avec une variable quantitative Y expliquée par plusieurs variables qualitatives. Vous voyez qu'à chaque fois, dans toutes les méthodes qu'on a vues, la variable Y est quantitative Par contre, selon la nature des variables explicatives, si elles sont quantitatives, on est dans le cadre de la régression, si elles sont qualitatives, on est dans le cadre de l'analyse de variance. Et puis après, selon le nombre, on fait de l'analyse de variance à un facteur ou de la régression simple, et quand il y a plusieurs variables explicatives, on fait de la régression multiple ou de l'analyse de variance à plusieurs facteurs. Donc là, on est dans le cadre de l'analyse de variance à plusieurs facteurs. Alors, je vais prendre un exemple qui est issu d'une analyse sensorielle. Donc on a demandé à différents juges d'évaluer plusieurs produits et de le faire plusieurs fois lors de 2 séances de dégustation. Donc là, vous voyez un tableau dans lequel il y a plusieurs variables qui sont qualitatives: la séance, le numéro du juge, donc qui a déguster le produit. Et puis le numéro de produit, il y a plusieurs produits qui sont dégustés. Donc ça, ces variables-là, ces 3 variables-là sont quantitatives. Et puis on a demandé aux gens de mettre des notes sur la saveur sucrée. Donc 0, la saveur sucrée est très faible. 10, la valeur sucrée est très forte. Des notes aussi sur l'acidité: 0, la saveur est peu acide. 10, elle est très acide, etc. Ce qui nous intéresse, nous, ça va être d'essayer d'expliquer l'effet de différentes variables qualitatives. Les variables qualitatives que j'ai, c'est produit, juge et séance sur une variable quantitative. Dans ma description, j'ai mis plusieurs variables quantitatives, mais en fait on s'intéresse à une seule, par exemple qu'à la saveur sucrée ou qu'à la saveur amère. L'objectif de l'analyse de variance, c'est j'ai une variable quantitative et j'essaie de voir l'effet, l'impact, l'influence de plusieurs variables qualitatives, une ou plusieurs variables qualitatives. Et donc les questions qui vont se poser, ça va être par exemple, y a-t-il des différences d'amertume entre les chocolats? Donc là, je m'intéresse à la saveur amère et je regarde si il y a des effets du chocolat, c'est-à-dire des effets du produit. Est-ce qu'il y a un effet produit sur l'amertume? Ce type de question, vous savez déjà un peu y répondre, vous savez comment le faire en faisant une analyse de variance à un facteur. Vous avez vu que ça permettait de répondre à ce genre de question. Est-ce qu'il y a un effet d'une variable sur la variable quantitative qui m'intéresse? Autre question que je peux me poser: est-ce que les juges utilisent l'échelle de notes de la même façon? Ou bien est-ce qu'il y a des juges qui ont tendance à mettre des notes plus élevées globalement et des juges qui ont tendance à mettre des notes plus faibles que d'autres? Donc ça, s'il y a globalement des juges qui mettent des notes plus élevées et d'autres juges qui mettent des notes globalement plus faibles, ça c'est un effet juge. C'est le fait que Il y a des juges qui surnotent et d'autres qui sous-notent, quel que soit le produit qu'ils sont en train d'évaluer. Donc ça encore, je suis en train de regarder l'effet d'une variable, la variable juge, sur ma variable réponse, l'amertume par exemple. Autre question qui peut m'intéresser: l'amertume des chocolats est-elle évaluée de la même façon d'une séance à l'autre? Alors là, vous voyez que c'est une question qui est un peu différente par rapport aux premières parce dans les premières questions, je m'intéressais à l'effet d'une variable. Pour la première question, la variable chocolat. Pour la deuxième question, la variable juge sur ma variable réponse. Tandis que là, l'amertume des chocolats est-elle évaluée de la même façon d'une séance à l'autre? Vous voyez que je fais intervenir 2 variables, les variables chocolat et séance. Donc la variable produit qui correspond au chocolat et la variable séance. Donc là, je suis en train de regarder à la fois la variable produit et la variable séance et leur effet sur ma variable réponse sur l'amertume. Donc cette question est un peu différente des premières puisque je regarde l'effet simultané de 2 variables qualitatives, chocolat et séance, produit et séance, sur ma variable Y. Une autre question qui peut être intéressante à traiter, c'est: les juges évaluent-ils les chocolats de la même façon? Sous-entendu, au niveau de l'amertume, est-ce qu'ils évaluent les chocolats de la même façon? Vous voyez que là encore, je fais intervenir 2 variables: la variable juge et la variable chocolat, et je regarde l'effet simultané de ces 2 variables sur l'amertume. D'accord, donc il y a plusieurs types de questions: des questions où on s'intéresse à l'effet d'un facteur, d'une variable, sur ma variable réponse, et puis des questions où on s'intéresse à l'effet conjugué de 2 variables explicatives, 2 variables qualitatives, sur la variable réponse. Et donc là, ce qui fait l'intérêt du cours d'aujourd'hui, c'est surtout de pouvoir répondre aux 2 dernières questions. Évidemment, on pourra répondre aussi aux premières questions, mais la spécificité du cours par rapport à ce que vous avez vu lors de la première séquence de cours, c'est de pouvoir répondre à des questions où on fait intervenir 2 variables simultanément. C'est bien l'effet conjugué de ces 2 variables sur une 3e variable quantitative, sur ma variable Y, qui va être intéressant de traiter ici. Prenons un exemple. Je vais prendre un exemple très simple parce que ça me permet de vous montrer toutes les données. Je vais prendre un exemple où j'ai juste 2 produits, 3 juges, et pour chaque juge j'ai 2 répétitions. Chaque juge a évalué chaque produit 2 fois. Vous voyez là par exemple que le juge 1 a évalué le produit 1 2 fois. La première fois, il a mis la note de 1, la deuxième fois il a mis la note de 3. Le juge 2, lui, a mis la note de 1 la première fois et la note de 1 la deuxième fois. Et le juge 3 a mis la note de 2 et la note de 4. Donc ça, c'est pour l'évaluation du premier produit. Puis pour le deuxième produit, le juge 1 a mis 2 et 2, le juge 2 4 et 6, et le juge 3 4 et 6. Donc les données sont ici. J'ai en fait 6 cases et en tout 2 données par case, donc 12 données en tout. D'accord. Et ce que je vais faire, c'est calculer les moyennes pour chaque produit et pour chaque juge, et la moyenne générale. Donc ici, si je calcule la moyenne de ces 6 notes du produit 1, j'ai la moyenne de 2. Je calcule la moyenne des 6 notes du produit 2, j'ai une moyenne de 4. Pour le juge 1, la moyenne, ça va être cette colonne-là, je moyenne de 2, ici j'ai une moyenne de 3 pour le juge 2 et une moyenne de 4 pour le juge 3. Et puis si je fais la moyenne globale de mes 12 notes, la moyenne générale c'est 3, c'est-à-dire que tous juges confondus, tous produits confondus, la moyenne est de 3. Donc ça ce sont mes données. Alors en général les données on les présente pas sous cette forme-là. Pour les logiciels on va toujours présenter sous la forme suivante: une colonne, une variable. Donc à chaque fois, nous, qu'on va traiter notamment avec R, mais c'est valable pour tous les logiciels ou quasiment tous les logiciels, on va construire un tableau où chaque ligne correspond à une expérience et chaque colonne correspond à une variable. Et donc pour la première expérience, ici, c'est le produit 1 vu par le juge 1 et j'ai la note de 1. Ensuite, produit 1 vu par le juge 1, j'ai une note de 3, etc. Donc là, j'ai mon tableau de données avec 3 colonnes parce que j'ai 3 variables. Voilà, alors quelques notations: j'appelle toujours Y ma variable quantitative, donc la variable réponse, la variable que je vais chercher à expliquer, à voir qu'est-ce qui joue sur Y. Et puis ensuite, je vais avoir des variables explicatives qui sont qualitatives, donc je vais les appeler F1, F2. Alors F1, F2 parce qu'on parle souvent de facteur 1, facteur 2, et je vais considérer que le facteur 1 a I modalités puisque c'est une variable qualitative. J'ai un nombre de modalités pour ma variable F1 et La variable F2, je vais considérer qu'elle a J modalités, et puis j'ai mis des points de suspension parce qu'il n'y aura aucune difficulté à généraliser ce qu'on va dire aujourd'hui à 3, 4, 5 et un nombre quelconque de variables qualitatives. Donc je vais considérer, pour faire simple, que j'ai 2 variables qualitatives, mais il n'y a aucune difficulté à étendre à un nombre quelconque de variables explicatives par la suite. Et puis, bien, ce que je vais dire, c'est que j'ai n indice ij, répétition pour le couple ij. Donc c'est-à-dire que pour le produit i et le juge j, j'ai un certain nombre de répétitions. Alors ce nombre de répétitions peut être différent pour un couple ij et un autre couple i' j'. Dans mon exemple, à chaque fois il valait 2. À chaque fois j'avais 2 répétitions pour chaque couple ij. Donc à chaque fois j'avais nij égal 2. Donc mon tableau, il s'écrit de la façon suivante: j'ai mes observations, mes expériences ici en ligne, et puis les facteurs 1, le facteur 2, ma variable réponse Y. Et j'ai des indices Y111, ça signifie que c'est la variable réponse pour le facteur 1 quand il prend la modalité 1, le facteur 2 quand il prend la modalité 1, et la répétition 1. Alors Y11N11 ici, là ça devrait être dans la case d'à côté, c'est la réponse pour le facteur 1 à la modalité 1, le facteur 2 à la modalité 1 et la répétition N11. Donc dans mon cas, si N11 vaut 2, c'est pour la deuxième répétition. Donc ça c'est juste les notations. J'ai Y11 ijk. i, c'est ce qui correspond au premier facteur, j, ça correspond au deuxième facteur, et k, ça va correspondre à mon indice de répétition. Donc quand je dis y_121, c'est la valeur de y pour la première modalité du premier facteur, la deuxième modalité du deuxième, et la première répétition. Voilà, donc ça c'est pour les notations y_ijk. Et ensuite, bien, je vais avoir des notations qui sont les mêmes que ce que vous avez déjà vu. Je vais noter avec un point quand je fais la moyenne sur tous les indices là où il y a le point. Donc ici, je note yij point la moyenne des yijk pour tous les pour tous les cas, d'accord? Donc ici, je dis juste que c'est la moyenne. Des yijk. Donc c'est la moyenne pour le des notes du produit i pour donné par le juge j. yij point, je fais la moyenne sur toutes les répétitions du couple ij. yi point point, là je fais la moyenne sur j et la moyenne sur k. Donc ici autrement dit yi point point c'est la moyenne de toutes les notes pour le produit i. Donc je prends tous les yjk avec petit i, quoi. Donc je dis que c'est 1 sur ni, 1 sur le nombre de données que j'ai pour le produit i, et je fais la somme de tous les yjk, d'accord. Donc tout simplement, c'est la moyenne des notes du produit i. y.j., ça va être exactement pareil, ça va être la moyenne des notes pour le juge j, donc la moyenne des notes sur l'indice j. Je prends l'indice j et je prends tous les yijk, je fais la somme sur i et sur k et je divise par le nombre de données que j'ai avec l'indice j sur le deuxième facteur. Et puis y..., ça va être la moyenne sur tous mes indices, c'est-à-dire que c'est la moyenne générale. D'accord? Donc ça, c'est les mêmes notations que précédemment, donc je Je passe assez rapidement là-dessus. On va utiliser ces notations par la suite, c'est pour ça que je les introduis en début de cours. Alors je vous ai dit, les questions qu'on se pose c'est: y a-t-il un effet produit sur la note? Y a-t-il un effet juge sur la note? Et puis y a-t-il une interaction entre les 2 facteurs? Donc y a-t-il l'effet d'une interaction entre ces 2 facteurs produit et juge sur la note? Je vais revenir juste après sur la définition de l'interaction, mais pour répondre à ces questions, ce qu'on a, c'est qu'on a récupéré quelques données. On a un échantillon de données, donc quelques données, et à partir de ces données, on va vouloir prendre une décision. Évidemment, comme on veut prendre une décision, on n'a pas une infinité de données et on n'est pas sûr de nous, mais on a quelques données À partir de ces quelques données, on veut pouvoir dire est-ce qu'il y a des différences entre produits ou pas. Est-ce que si j'avais fait d'autres mesures, est-ce que s'il y avait eu d'autres juges, est-ce que j'aurais aussi trouvé des différences entre les produits? C'est ça qui va m'intéresser parce que de toute façon, j'aurai jamais une infinité de données. Si vous êtes en agronomie, vous voulez faire des tests pour tester un nouvel aliment pour des animaux, vous testez ce nouvel aliment contre un autre aliment que vous avez actuellement, vous pouvez pas faire une infinité de tests. Donc vous allez en faire quelques-uns et à partir de ces quelques-uns, vous voulez prendre une décision. Donc évidemment, cette décision, il y a une certaine variabilité dans les expériences. Si on avait fait d'autres expériences, on aurait des résultats un petit peu différents, mais il n'empêche qu'on veut prendre une décision. Donc ça, c'est la notion d'inférence, du passage d'une décision sur notre échantillon à une décision sur la population. Donc ça, c'est ce qu'on appelle l'inférence: passer de j'ai observé des choses sur mon échantillon et je veux généraliser à ce qui se passe sur ma population. Ça, c'est l'inférence, c'est la notion de test qu'on retrouve partout, tout le temps. Quand vous faites des tests de comparaison de moyennes, c'est pareil: vous avez comparé un échantillon qui prend une modalité à un autre échantillon qui prend une autre modalité et vous voulez comparer les moyennes. Vous avez quelques données, vous voulez généraliser à toute la population. Donc ça, c'est la notion de test, et évidemment on va la retrouver en analyse de variance. Alors si je définis l'interaction, le mieux c'est de le définir avec un graphe. Donc ici j'ai construit un graphe avec le point, vous voyez, au bout de ma souris ici, là, Le point qui est ici, c'est la moyenne des notes du juge 1 pour le produit 2. Ici, c'est la moyenne des notes du juge 1 pour le produit 2. Ici, c'est la moyenne des notes du juge 2 pour le produit 2. Et ici, la moyenne des notes du juge 3 pour le produit 2. Et après, ce que j'ai fait, c'est que j'ai construit une ligne brisée qui relie ces moyennes ici. La moyenne du produit 2 pour le juge 1, pour le juge 2, pour le juge 3. J'ai construit la ligne brisée. Et puis même chose pour le produit 1, j'ai la moyenne des notes du juge 1 pour le produit 1, moyenne des notes du juge 2 pour le produit 1, et moyenne des notes du juge 3 pour le produit 1. Et je construis la ligne brisée. Ce que je peux voir ici, c'est que l'écart de notes du juge 1 entre le produit 1 et le produit 2 est le même que l'écart de note du juge 2 entre le produit 1 et le produit 2, et c'est le même que l'écart de note du juge 3 entre le produit 1 et le produit 2. Donc l'écart de note ici est tout le temps identique. Puisque l'écart de note est identique, ce qu'on va dire c'est que les effets produit et juge s'additionnent. En fait, je peux sommer l'effet du juge, l'effet du produit, et je vais pouvoir avoir la note moyenne vue par le juge j pour le produit i. Donc là, l'effet juge, par exemple le juge 3 met des notes plus élevées que le juge 2, qui lui-même met des notes un peu plus élevées que le juge 1. Donc ça, il y a un effet juge. Le juge 3 met des notes un peu plus élevées que le juge 2, et le juge 2 des notes un peu plus élevées que le juge 1. Et puis il y a un effet produit: le produit 2 a des notes plus élevées que le produit 1. Ça c'est vrai quel que soit le juge. Mais ce qui m'intéresse ici c'est l'écart de notation qui est le même d'un juge à l'autre. Et donc là je vais considérer que effet produit et juge s'additionnent et je vais dire qu'il n'y a pas d'interaction. Il n'y a pas d'interaction entre l'effet produit et l'effet juge. Parce que ces 2 effets ne font que s'additionner. Maintenant, si je suis dans cette situation-là, donc j'ai toujours les lignes brisées qui relient les moyennes du produit 2 pour le juge 1, le juge 2 et le juge 3, et la moyenne des notes pour le juge 1 produit 1, juge 2 produit 1, juge 3 produit 1. Ce qu'on voit ici, c'est que les effets produit et juge ne s'additionnent plus. J'ai plus du tout le même écart de notes entre produit 1 et produit 2. Cet écart dépend du juge. Le juge 1 a tendance à mettre le produit 2 avec une note plus élevée que le produit 1. Le juge 2 fait la même chose. Mais par contre, le juge 3, lui, a une autre vision des produits. Il voit le produit 1 avec une note plus élevée que le produit 2. Donc là, les effets produit et juge ne s'additionnent pas et on va dire qu'il y a une interaction entre les facteurs produit et juge. C'est-à-dire que l'effet du produit dépend du juge. Selon le juge, l'effet produit, la différence entre les 2 produits n'est pas la même. Donc ça, c'est la définition de l'interaction. La définition de l'interaction, c'est l'effet d'un facteur, l'effet du facteur produit, donc l'effet du facteur produit sur ma variable Y, sur ma variable réponse, dépend des modalités de l'autre facteur, dépend des modalités du juge. Donc si je répète, L'effet du facteur produit, le fait que le produit 2 ait des notes plus élevées ou plus faibles que le produit 1, cet effet-là sur ma variable réponse Y, sur la saveur amère ici par exemple, dépend du juge, dépend des modalités de mon autre facteur, du facteur juge. Ça, c'est l'interaction, et là on va dire qu'il y a une interaction entre les effets produit et juge. Parce que pour certaines combinaisons d'un juge avec un produit, on a une valeur plus faible ou plus forte qu'attendue. Pour le juge 3 et le produit 2, j'ai une valeur qui est plus faible que celle que je m'attendrais à avoir. Ça, c'est l'interaction. C'est le fait qu'il se passe quelque chose pour cette combinaison juge-produit l'amertume. Alors juste une petite illustration, c'est juste pour que vous ayez un peu en tête l'effet de l'interaction. Donc je considère Y le nombre de bulles et je m'intéresse à 2 facteurs: le facteur boisson, eau ou Coca-Cola, et puis le facteur mentheuse, présence ou absence. Et ce qui m'intéresse, c'est la variable réponse Y sur le nombre de bulles. Alors évidemment, si je mets de l'eau avec du mentos ou de l'eau sans mentos, j'ai pas de bulles. Si je mets du Coca sans mentos, j'ai un peu de bulles. Et si je mets du Coca avec mentos, qu'est-ce qui se passe? Ce qui se passe, c'est qu'il y a une combinaison de sets qui est particulière. Quand je mets Coca et présence de menthe, il y a un effet décuplé sur le nombre de bulles. Il se passe vraiment quelque chose de très spécifique, et ça, c'est l'interaction. Donc je suis avec ma modalité Coca et ma modalité menthe, et cette combinaison, présence de menthe, et cette combinaison-là a impact très fort sur le nombre de bulles. L'interaction, c'est bien ça, c'est l'effet simultané de 2 variables qualitatives, donc là ici boisson, mentheuse, sur le nombre de bulles. Alors il y a une question: dans le cas où l'on a addition, peut-on dire que le juge 3 note plus fortement que J1 et J2? Oui, oui, oui, tout à fait. Ici, il y a un effet du juge, le juge 3 met des notes plus élevées que le juge 2. Qui lui-même met des notes plus élevées que le juge 1. Donc ça, c'est les effets: l'effet produit, le produit 2 a des notes plus élevées que le produit 1, et puis l'effet juge, le juge 3 met des notes plus élevées. Mais globalement, tous les juges ont la même vision du produit 2 par rapport au produit 1. Il y a le même écart de notes entre produit 2 et produit 1 quel que soit le juge. Alors que dans la situation où j'ai interaction, il y a une combinaison qui fait que le juge 3 ne voit pas les choses comme les autres. Et donc il se passe quelque chose de particulier. Donc l'interaction, c'est ça, c'est l'effet particulier d'une combinaison de 2 variables qualitatives sur ma variable réponse Y. Donc là, dans mon illustration, l'effet du menthol sur le nombre de bulles dépend de la boisson. Si je rajoute des bonbons de menthol dans l'eau, ça va pas augmenter le nombre de bulles, il y aura toujours pas de bulles. Par contre, quand c'est avec du Coca, eh bien là, il y a un nombre de bulles qui est vraiment décuplé. Donc ça, c'est l'interaction. Alors, je vais vous expliquer le modèle d'analyse de variance avec interaction en utilisant un jeu de données où je vais considérer 2 parcelles, donc un effet parcelle et un effet variété de roses. Donc j'ai 2 parcelles et je vais considérer 3 variétés de roses et je vais dire que j'ai 2 répétitions. Donc ici vous voyez mes indices: i c'est mon numéro de parcelle, j'ai 2 parcelles, j c'est mes variétés de roses, j'ai 3 variétés de roses, et k c'est mon nombre de répétitions, j'ai 2 répétitions. Donc si j'écris mon modèle, et si dans mon modèle j'ai écrit le modèle yijk= μ, yijk= μ, ça veut dire que quels que soient i, j et k, j'ai tout le temps la même valeur μ. Ce qui qui va m'intéresser dans le Y, ça va être la taille de mon image. La taille de l'image, bien là, quel que soit IJK, j'ai tout le temps YIK qui est égal à mu, et donc j'ai toujours la même hauteur pour mon image. D'accord? Donc ça, je vais, ce que je vais faire là, c'est je vais construire pas à pas le modèle d'analyse de variance pour introduire successivement les différents effets et voir l'influence que ça a sur la taille de mes images. Donc pour l'instant, j'ai pas d'effet, j'ai juste y i j k égale mu. Si j'avais ça, j'aurais toutes les images qui étaient exactement de même taille. Donc toutes les images sont à la même taille mu. Maintenant, je reprends ce même schéma et j'ajoute un effet parcelle. Donc j'ajoute un effet parcelle, mon modèle va s'écrire maintenant mu plus alpha i. Alpha_i, ça va être l'effet de ma parcelle. Alpha_1, c'est la parcelle bleue, alpha_2, ça va être la parcelle verte. Vous voyez que pour alpha_1, j'ai une valeur qui est négative, les y vont être plus petits que μ maintenant. Et pour alpha_2, j'ai une valeur qui est positive, les y vont être plus grands que μ. Donc là, quand j'ajoute l'effet alpha_i, eh bien j'ai des μ+ α_i qui sont plus petits que μ ici puisque α_1 est négatif, et μ+ α_2 qui va être plus grand que μ puisque α_2 est positif ici. Donc quand j'écris le modèle avec juste y_ik= μ+ α_i, eh bien mes roses ici, la taille de mes roses pour la parcelle bleue est plus petite que la taille de mes roses pour la parcelle verte. Donc ça, c'est mon modèle avec juste un effet parcelle. Je reprends ici mon schéma avec juste l'effet parcelle et puis je vais rajouter en dessous un effet variété. Un effet variété, ça veut dire que selon— alors à quoi correspond k dans ce contexte? k, c'est le numéro de la répétition. Vous voyez que pour chaque couple, pour ma parcelle bleue et ma rose violette, j'ai 2 images, donc j'ai 2 répétitions. Et même chose pour les roses roses, j'ai 2 répétitions. Donc k, ça vaut 1 ou 2, enfin ça vaut, oui, c'est égal à 1 ou à 2. Donc ici c'est pour k= 1, ici k= 2. Si j'avais pas d'indice k, j'aurais que 6 roses en tout, alors que là j'ai pour chaque couple, pour chaque couple parcelle-variété, j'ai 2 répétitions. Donc je reviens à ici, j'ai mon modèle avec mu plus alpha i, et ce que je fais maintenant c'est que je vais rajouter un effet variété. Donc un effet variété, ça va vouloir dire que mes roses violettes par exemple sont plus petites qu'attendues. Donc bêta 1 en violet a une valeur plus petite qu'attendue et donc vous voyez par rapport à la ligne brisée que j'avais précédemment, eh bien j'ai diminué d'une certaine quantité bêta 1. Pour mes roses roses, au contraire, j'ai un bêta 2 qui est positif et donc mes roses roses sont plus grandes qu'attendues. Que ce soit dans la parcelle verte ou dans la parcelle bleue, Les roses sont plus grandes qu'attendu. Et puis les roses rouges, là j'ai considéré qu'il n'y avait pas d'effet, globalement bêta 3 était égal à 0, donc elles sont à peu près dans la moyenne. Vous voyez que là je commence à avoir pris en compte un effet moyen, un effet parcelle, la parcelle bleue qui était globalement avec des tailles plus petites que la parcelle verte, et puis après un effet variété avec des roses violettes qui sont plus des roses roses qui sont plus grandes et des roses rouges qui sont à la moyenne. Je continue à construire mon modèle. Là en haut, je reprends le modèle que je viens d'écrire et là maintenant je vais rajouter l'interaction. L'interaction, je vais l'écrire alpha bêta ij. Alpha bêta, ça veut dire que je prends l'interaction entre le facteur alpha et le facteur bêta. Et indice ij pour dire que je m'intéresse au couple ij. Donc je suis en train de m'intéresser à un couple ici d'une parcelle avec une variété. Donc je m'intéresse par exemple à la parcelle bleue pour la rose violette. Et donc la parcelle bleue pour la rose violette, j'ai une valeur plus petite qu'attendue. Donc vous voyez que là je diminue la taille par rapport à ce qui était attendu. Ça, ça voudrait dire quoi par exemple? Ça voudrait dire que par exemple que les roses violettes poussent mal dans la parcelle bleue. Elles ont plus de mal à pousser dans la parcelle bleue par rapport aux autres roses. Et donc il y a une taille qui va être plus faible qu'attendue. Et au contraire, alpha bêta 1, 2, j'ai dit que c'était en gros égal à 0, et alpha bêta 1, 3, donc pour les roses rouges, j'ai une taille qui est plus grande qu'attendue. Et donc j'augmente la taille par rapport à ce qui était attendu. Et puis pour ce qui se passe dans la parcelle verte, pareil, les roses violettes, cette fois, elles vont avoir une interaction positive. Donc dans la parcelle verte, elles poussent un peu mieux qu'attendu. Dans la parcelle bleue, elles poussaient un peu moins bien qu'attendu, dans la parcelle verte, elles vont pousser un peu mieux qu'attendu. Les roses roses restent à peu près dans la moyenne. Et puis les roses rouges, elles vont pousser dans la parcelle verte un peu moins bien qu'attendu. Donc vous voyez ici, pour l'interaction, pour le alpha bêta ij, je m'intéresse à une combinaison d'une rose avec une parcelle, d'une variété de rose avec une parcelle, et je dis cette variété dans cette parcelle, elle a tendance à moins bien pousser alors qu'elle va mieux pousser dans l'autre parcelle. Donc là, je commence à avoir un modèle qui se complexifie puisque j'ai un effet moyen, une taille moyenne, un effet global de globalement dans la parcelle bleue les tailles sont plus petites que dans la parcelle verte, donc ça c'est l'effet alpha_i. Ensuite un effet variété, donc globalement les roses violettes étaient plus petites, les roses roses étaient plus grandes et les roses rouges étaient dans la moyenne. Et puis après c'est quelque chose d'un peu plus spécifique c'est la combinaison des 2 variables. Et donc là, c'est quand je prends la rose violette avec telle parcelle, j'ai une valeur encore plus faible ou encore plus forte qu'attendu. Dans la parcelle bleue, ça marche moins bien, et donc la rose violette ici va être plus petite qu'attendue. Et au contraire, dans la parcelle verte, elle est un peu plus grande qu'attendue. Et puis même chose, il y a des interactions pour la parcelle bleue avec la rose rose et la parcelle bleue avec la rose rouge. Donc là on a un modèle qui se complexifie encore et puis si je reprends mon modèle ici avec mes effets principaux, l'effet de la parcelle, l'effet de la variété de rose et puis l'interaction, eh bien je peux rajouter ce qu'on ajoute à la fin, c'est toujours un résidu, c'est-à-dire que la nature fait qu'on n'a pas, si j'ai des répétitions, des tailles qui sont exactement les mêmes il y a toujours un résidu. Donc là, entre mes 2 roses violettes dans la parcelle bleue, il va y avoir des petites différences de taille. Et puis pour les roses roses et rouges, il y a aussi des différences de taille. Donc là, je me retrouve avec des epsilon ijk, donc des petites différences qui apparaissent pour chaque combinaison. Donc le k, il joue ici, il joue dans les l'effet de la répétition. Quand j'ai mes 2 répétitions, j'ai pas exactement la même taille et donc je vais faire jouer l'indice k ici dans les résidus de mon modèle. Et donc voilà ce que j'obtiens finalement, c'est mes tailles qui sont comme ça. Donc vous voyez, là j'ai construit pas à pas le modèle en ajoutant successivement les effets principaux, le premier effet principal, le deuxième effet principal, l'interaction et le résidu. Alors en fait, qu'est-ce qui se passe dans la pratique? Dans la pratique, ce qu'on a nous, c'est une observation de ces tailles-là. J'observe les tailles que j'avais à la fin, là, avec différentes tailles. J'observe ça, et à partir de ça, ce que j'essaye de comprendre, c'est qu'il y a une certaine variabilité dans les tailles. Les tailles sont pas identiques. Qu'est-ce qui influe? Est-ce qu'il y a un effet de la parcelle? Est-ce qu'il y a un effet de la variété de roses? Est-ce qu'il y a un effet de l'interaction? Est-ce qu'il y a donc un effet d'une combinaison parcelle-variété qui fait que ça joue un peu plus? Ou bien est-ce qu'il y a un effet de la résiduelle? Donc vous voyez que mes données, j'ai ça, et à partir de ça je vais essayer de retrouver quels sont les différents effets qui influent le plus sur la taille. Est-ce que c'est principalement l'effet de la parcelle ou au contraire Est-ce que c'est plutôt l'effet de la variété de roses ou est-ce que c'est l'effet de l'interaction ou est-ce que c'est un peu tout? L'objectif c'est ça, c'est de, à partir de nos données, à partir de nos y, essayer de retrouver si c'est surtout l'effet du premier facteur, du deuxième ou de l'interaction. Alors je vais écrire maintenant le modèle. Donc le modèle, je vais l'écrire quasiment comme les modèles que vous avez vus précédemment en analyse de variance à 1 et 2 facteurs. Je vais dire que Yijk, c'est-à-dire la réponse pour le premier facteur qui prend la modalité i, le deuxième facteur qui prend la modalité j, et pour la répétition k, donc dans mon exemple ça va être la parcelle i, l'arrose j et la répétition k, la variété j et la répétition k. Je dis que c'est une taille moyenne plus un effet qui est lié à la parcelle i. Donc si j'ai la parcelle 1, je vais avoir une taille, comme le alpha 1 est négatif, une taille un peu plus petite. Et au contraire, pour la parcelle 2, je vais avoir une taille un peu plus grande puisque j'ai alpha 2 qui est positif. Bêta j, ça va être l'effet de la variété de roses. Donc là, j'ai bêta 1, bêta 2, bêta 3. Ils vont me dire si la rose violette a une taille plus faible, la rose rose une taille plus élevée et la rose rouge une taille à peu près dans la moyenne. Ensuite j'ai l'interaction entre alpha bêta ij, donc ça si je m'intéresse au couple ij, est-ce que pour une parcelle et une variété donnée j'ai une taille plus grande ou plus petite qu'attendue. Plus petite que le fait que je sois dans cette parcelle. La taille que je m'attends à avoir si j'ai pas d'interaction, c'est μ+ αi+ βj. C'est la taille moyenne plus l'effet lié à la parcelle plus l'effet lié à la rose. Ça, c'est si toutes les roses fonctionnent de la même façon quelle que soit la parcelle. Mais maintenant, s'il y a une interaction, ça veut dire que certaines roses vont mieux pousser dans certaines parcelles et moins bien dans d'autres. Eh bien ça, je vais le retrouver dans alpha bêta ij. Alpha bêta ij, je vais dire que la variété j pousse moins bien dans la parcelle i quand le alpha bêta ij est négatif, ou au contraire pousse mieux quand le alpha bêta ij est positif. Et puis même en prenant en compte plusieurs facteurs et une interaction, j'ai toujours des résidus de mon modèle. Mon modèle va jamais prédire parfaitement, j'ai toujours des résidus. Et sur mes résidus, je fais les mêmes hypothèses qu'en analyse de variance à un facteur, qu'en régression simple, qu'en régression multiple. C'est-à-dire mes résidus suivent une même loi normale d'espérance nulle et de même variance sigma carré. Ils sont indépendants 2 à 2. Donc ça, cette hypothèse-là, c'est une hypothèse qu'on a déjà faite et qu'on fait tout le temps en régression et en analyse de variance. Voilà, et donc ça, c'est la construction de mon modèle avec la prise en compte des effets principaux, des deux effets principaux, du facteur 1 et du facteur 2, de l'interaction et de la résiduelle. Et ce que je vais faire, c'est que je vais chercher à réécrire ça sous la forme Y= Xβ+ E, avec espérance de E= 0 et variance de E= σ² identité. Alors évidemment, cette formule, ça vous rappelle quelque chose. On va voir que l'écriture ici sous forme indicée, où je vois bien les effets de chacun des facteurs et de l'interaction, comment je peux réécrire ça sous la forme y= xβ+ e. L'intérêt, c'est juste pour pouvoir estimer les paramètres. Sinon, c'est toujours plus facile d'écrire le modèle sous cette forme indicée parce qu'on voit bien les facteurs qui entrent en jeu dans le modèle. Facteurs et les interactions entre facteurs qui entrent en jeu dans le modèle. Alors maintenant, comment est-ce qu'on peut réécrire ce modèle-là sous la forme y= xβ+ e? Je vais réécrire mon modèle yijk= μ+ αi+ βj+ αβij+ εijk. Je le réécris pour toutes mes expériences. Donc pour ma première expérience, c'est i= 1, j= 1, k= 1. Bien, je remplace i par un, j par un, i par un, j par un, et puis ici i, j, k avec que des un. Ensuite, bien, la deuxième expérience, c'est même chose: i égale un, j égale un, mais k égale deux. C'est la répétition deux. Donc la seule chose qui change, c'est le résidu epsilon un un deux. Et puis après, bien, je vais prendre i égale un, j égale deux, k égale un, etc., etc. Donc je peux écrire comme ça pour mes douze expériences. Le modèle. Donc je me retrouve avec, eh bien, ici je peux récupérer tous les y, les mettre dans un vecteur. Donc là j'ai mon vecteur de y. Les résidus, c'est facile, je peux les prendre tous et les mettre dans un vecteur ici. Donc ça, ça va être un vecteur que je vais appeler e par la suite. Donc j'ai y, j'ai e, et ce que je dis ici, c'est que ce qui est écrit là Les mu plus alpha 1 plus bêta 1 plus alpha bêta 1, et puis décliné pour les différentes expériences, eh bien on peut l'écrire comme un produit matriciel avec une matrice avec des 1 et des 0 et une matrice avec tous les paramètres mu, alpha 1, alpha 2, bêta 1, bêta 2, etc. Alors pourquoi ça marche? Bien, je vous donne la matrice ici, je vous donne le vecteur de paramètres avec l'ensemble des paramètres, ce que je vais appeler bêta. Et on peut vérifier que ça marche. Si je lis la première ligne, vous allez voir que je suis en train de lire la première ligne ici. Je lis y111 égale 1 fois mu, donc mu, plus alpha 1 plus 0 alpha 2, ça compte pas, plus 1 bêta 1, donc plus bêta 1, plus 0 bêta 2, ça compte pas, plus 0 bêta 3, ça compte pas, plus 1 alpha bêta 1, donc plus alpha bêta 1. Et puis après, plus zéro alpha bêta un deux, zéro alpha bêta un trois, etc. Donc j'ai que des choses qui comptent pas, plus epsilon un un un. Donc si je reprends, j'ai y un un un égal mu plus alpha un plus bêta un plus les zéros ne comptent pas, plus alpha bêta un un plus epsilon 1 1 1. Et là, j'ai lu la première ligne qui était écrite ici. Et puis, bien, je peux le faire pour n'importe quelle ligne. Si je prends la dernière, j'ai y 2 3 2 égale mu plus alpha 2 plus bêta 3 plus alpha bêta 2 3 plus epsilon 2 3 2. Donc là, je dis juste que je peux écrire ce qui est sous forme indicée, je peux l'écrire sous la forme Y égale une grande matrice avec que des 1 et des 0 que j'appelle grand X, un vecteur avec l'ensemble des paramètres que j'appelle bêta, plus E. Alors, il y a des soucis ici dans notre matrice X parce que, bien, je peux écrire une colonne de X Je peux écrire une colonne de X, oui, la première colonne par exemple, comme la somme des 2 suivantes, ou comme la somme de ces 3-là, ou comme la somme de ces 6-là. Donc là, ce qu'on va dire, c'est que les colonnes de X sont pas linéairement indépendantes. Et ça, on a vu que ça pose problème parce qu'on va pas pouvoir inverser X'X. Dans la régression, on avait dit il fallait que les colonnes de X soient linéairement indépendantes. Donc là, comme les colonnes de X sont pas linéairement indépendantes, je vais pas pouvoir estimer bêta chapeau parce que X prime X sera pas inversible. Donc qu'est-ce que je vais faire? Bien, je peux aussi faire le constat que j'ai trop de paramètres à estimer. Les paramètres que j'ai à estimer, j'ai un paramètre pour mu, j'ai grand I paramètres parce que j'ai grand I alpha, alpha 1 et alpha 2. Donc dans mon cas, grand I égal 2, j'ai bien 2 paramètres à estimer, alpha 1, alpha 2. Bêta, j'ai bêta 1, bêta 2, bêta 3, donc j'ai J qui est égal à 3. Et puis après, les alpha bêta ij, j'ai alpha bêta 11, alpha bêta 12, alpha bêta 13, alpha bêta 21, 22, 23. Donc j'ai 6 paramètres, c'est I fois J. Donc en tout, j'ai 1+ 2= 3,+ 3= 6,+ 6 12 paramètres à estimer. Et pourtant, j'ai que 6 cases dans mon jeu de données. Si je reviens sur mon jeu de données, ici, j'ai que 6 cases: juge 1 produit 1, juge 1 produit 2, juge 1 produit 3, juge 1 produit 2, juge 2 produit 2, juge 3 produit 2. Donc comme j'ai que 6 cases, je vais pouvoir n'estimer que 6 paramètres. Parce que je m'intéresse aux effets produit, aux effets juge et aux interactions entre produit et juge. Donc j'ai besoin d'informations sur juges et produits. Et donc des informations sur juges et produits, j'en ai que 6. Donc là, je vous disais que j'avais 12 paramètres à estimer alors qu'en fait je n'ai que 6 paramètres indépendants. Ça veut dire que j'ai que 6 paramètres que je vais pouvoir estimer. Donc j'ai un modèle où je veux estimer trop de paramètres par rapport à ce que je peux estimer. Donc là, je vais avoir besoin de contraintes, d'imposer des contraintes sur mes paramètres. En fait, c'est comme si j'avais un système linéaire avec peu d'équations et beaucoup d'inconnues. Je vais pas pouvoir trouver toutes les inconnues. Si j'ai 6 équations et 12 inconnues, je vais pas pouvoir trouver les 12 inconnues. Là, c'est un peu ça qui se passe. J'ai 12 paramètres que je veux estimer et je pourrais en estimer que 6. Donc on va avoir besoin de contraintes. On peut utiliser différents jeux de contraintes en analyse de variance. Il y a un premier jeu de contraintes qui est de dire: le premier niveau de chaque facteur va me servir de référence et donc je vais considérer que alpha_1= 0. Alpha_1= 0, ça signifie que je prends la modalité 1 du premier facteur comme référence. Et après alpha 2, ce sera l'écart entre ce qui se passe avec la modalité 2 par rapport à ce qui se passe avec la modalité 1 du premier facteur. La même chose pour le deuxième facteur, je vais considérer que bêta 1 est égal à 0, ça va être la première modalité du deuxième facteur qui sert de référence. Donc ça, c'est les contraintes sur les effets principaux. Pour les interactions, eh bien, les contraintes, ça va être tout ce qui concerne le premier niveau du deuxième facteur. Ça va me servir de référence quel que soit le niveau du premier facteur. Donc les alpha bêta i 1 valent tous 0. Donc alpha bêta 1 1 est égal à 0, alpha bêta 2 1 est égal à 0. Et puis même chose, le niveau du deuxième facteur, le premier niveau du deuxième facteur sert de référence. Donc je vais avoir alpha bêta 11= 0, alpha bêta 12= 0 et alpha bêta 13= 0. Donc vous voyez que c'est très simple pour les effets principaux, j'ai un niveau qui sert de référence. Pour les interactions, j'ai plein de niveaux qui servent de référence. En fait, ce qui sert de référence ici, c'est tous les les niveaux de référence. Le niveau de référence du premier facteur, le niveau de référence du deuxième facteur vont servir de référence dans mes tests. Je vous déconseille très fortement d'utiliser ces contraintes-là. Ces contraintes-là sont assez pratiques quand on a des analyses de variance à un facteur ou à 2 facteurs. Simple, sans interaction, et quand on a un niveau qui sert de référence. Donc typiquement, quand on a un placebo et qu'on veut tester l'effet d'un médicament, on va mettre le placebo comme référence. Maintenant, si vous voulez tester 3 traitements différents, il n'y a pas forcément de raison qu'il y ait un traitement qui serve de référence. Donc de temps en temps, c'est pas toujours très naturel d'avoir un niveau qui serve de référence. Mais surtout, la difficulté, c'est d'interpréter ensuite, notamment quand on a des interactions. Alors, ce que je veux vous dire ici, c'est que c'est pas impossible d'interpréter, mais c'est vraiment très compliqué, surtout quand on a plusieurs interactions qui entrent en jeu dans un modèle. Et donc, je vous déconseille très fortement de considérer ces références-là parce qu'on a vraiment du mal après à interpréter concrètement les interactions et les effets des différents facteurs. Le gros inconvénient, c'est que cette contrainte-là, c'est celle qui est utilisée dans R par défaut. Et donc moi, je vous déconseille d'utiliser les fonctions par défaut de R. On verra par la suite comment faire en TD pour ne pas utiliser ces contraintes-là. Il y a des possibilités relativement simples. Ce que je vous conseille d'utiliser, c'est la contrainte suivante: la contrainte la somme des alpha_i est égale à 0. Alors considérer la somme des alpha_i est égale à 0, ça revient à considérer que la référence, c'est la moyenne de ce qui se passe sur chacun des niveaux. Donc c'est ce que j'avais fait en vous présentant le modèle pas à pas quand je vous ai dit il y a la moyenne le mu, et puis j'ai alpha 1 qui est négatif et alpha 2 qui est positif. En fait, je sous-entendais que la taille moyenne, c'était la taille de l'ensemble des parcelles pour la parcelle bleue et la parcelle verte. Donc la contrainte que j'utilise, moi, c'est considérer que la référence, c'est la moyenne, et donc que la somme des alpha i est égale à 0. Donc si j'utilise que la somme des alpha i est égale à zéro, ça veut dire que comme moi j'ai deux parcelles, j'ai alpha un plus alpha deux est égal à zéro et donc je peux considérer que alpha deux égale moins alpha un. D'accord? Donc là, je vais considérer alpha deux égale moins alpha un. Pour les bêta j, bien j'ai bêta un plus bêta deux plus bêta trois puisque j'ai trois variétés. Donc je vais avoir bêta un plus bêta deux plus bêta trois égale zéro. Donc je vais pouvoir considérer que bêta trois égale moins bêta un moins bêta deux. Pour les interactions, eh bien là, on va considérer que les alpha bêta ij, la somme des alpha bêta ij quand je somme sur j est égale à 0. Donc là, ça doit être vrai quel que soit i. Donc quand i égale 1, ça veut dire que j'ai alpha bêta 1 1 plus alpha bêta 1 2 plus alpha bêta 1 3 égale 0. Et même chose pour i égale 2, j'ai alpha bêta 2 1 plus alpha bêta 2 2 plus alpha bêta 2 3 égale 0. Je peux l'écrire ici. Là, la première ligne, ça correspond à quand i égale 1, la somme des alpha bêta ij égale 0. Et puis la deuxième ligne ici, c'est pour i égale 2, la somme des alpha bêta 22 plus alpha bêta 23 égale à 0. Ça, c'est la deuxième contrainte de la première équation ici. Et puis j'ai un autre jeu de contraintes qui est quel que soit j, la somme des alpha bêta ij égale à 0. Donc là, je prends j égal 1 et je vais dire que alpha bêta 11 plus alpha bêta 21 égale 0. Donc ça, c'est ce qui est écrit ici: alpha bêta 11 plus alpha bêta 21 égale 0. Ensuite, pour j égal 2, je vais avoir alpha bêta 12 plus alpha bêta 22 égale 0. Et pour j égal 3, alpha bêta 13 plus alpha bêta 23 égale 0. Donc là, Les contraintes qui correspondent à cette première série d'équations, c'est ce qui est écrit horizontalement, et les contraintes qui correspondent à cette deuxième série d'équations, c'est ce qui est écrit verticalement. Avec ces contraintes, dans mon exemple ici, vous voyez que j'ai besoin de ne connaître que αβ11 et αβ12. Si je connais ces deux valeurs qui sont entourées, connaissant αβ11 et αβ12, Puisque la somme vaut zéro avec alpha bêta un plus alpha bêta un deux plus alpha bêta un trois, bien je vais pouvoir trouver alpha bêta un trois. Alpha bêta un trois ce sera égal à moins alpha bêta un moins alpha bêta un deux. D'accord? Alpha bêta un trois c'est moins alpha bêta un moins alpha bêta un deux. Si je regarde verticalement, je sais que la somme alpha bêta un un plus alpha bêta deux un égale zéro. Donc alpha bêta deux un sera égal à moins alpha bêta un un. Alpha bêta 1 2 plus alpha bêta 2 2 égal 0, donc alpha bêta 2 2 sera égal à moins alpha bêta 1 2. Et puis alpha bêta 2 3, ce sera égal à moins alpha bêta 1 3. Et moins alpha bêta 1 3, alpha bêta 1 3 il est ici, c'est égal à moins entre parenthèses moins alpha bêta 1 moins alpha bêta 1 2, c'est-à-dire alpha bêta 1 1 plus alpha bêta 1 2. Donc vous voyez que j'ai besoin de ne connaître que 2 paramètres ici, alpha alpha bêta 1 et alpha bêta 1 2 et tous les autres je vais pouvoir les déduire grâce aux contraintes. Je sais comment les déduire grâce aux contraintes. Et donc finalement j'ai besoin de connaître quoi? J'ai besoin de connaître alpha 1, bêta 1, bêta 2, alpha bêta 1, alpha bêta 1 2 et mu. Donc si je compte je vais avoir besoin comme paramètre de mu 1, alpha 1 ça me fait 2 paramètres, bêta 1 ça fait 3. Bêta deux ça fait quatre alpha bêta un un ça fait cinq et alpha bêta un deux ça fait six je me retrouve bien à estimer six paramètres et j'avais six paramètres indépendants que je pouvais estimer donc ça marche donc là ce que je vais faire c'est que je vais juste remplacer dans mes équations que j'avais précédemment je vais remplacer alpha deux par moins alpha un donc ici ici Dans cette, dans ce, dans toutes ces séries d'équations, là où j'avais alpha 2, je remplace par moins alpha 1. Donc j'ai juste bêtement remplacé alpha 2 par moins alpha 1. Dès que j'avais bêta 3, j'ai remplacé par moins bêta 1 moins bêta 2. Donc là j'avais des bêta 3, j'ai remplacé par moins bêta 1 moins bêta 2. Et puis quand j'ai des alpha bêta 1 3, je remplace par moins alpha bêta 1 moins alpha bêta 1 2. Quand j'avais des alpha bêta 2 1, je remplace par moins alpha bêta 1 1. Etc. Donc là, ce que j'ai juste fait, c'est remplacer les coefficients alpha deux, bêta trois, alpha bêta un trois, alpha bêta deux un, alpha bêta deux deux, alpha bêta deux trois. Je les remplace par ce qu'il faut, ce que j'ai trouvé grâce aux contraintes. Et puis après, bien une fois que j'ai fait ça, bien je vais pouvoir réécrire une matrice X. Avec un vecteur de paramètres. Et ici, j'ai les paramètres que je vais estimer à partir de mes données. Donc là, j'ai un vecteur de paramètres avec juste les paramètres qui entrent en jeu ici. Donc j'ai juste 6 paramètres ici qui entrent en jeu. Et puis, bien, les coefficients, j'ai des 1 quand j'ai +α1, j'ai des -1 quand j'ai -α1. Et puis, bien, ici par exemple, j'ai αβ11, j'ai pas de αβ12, donc j'ai des 0. J'ai des 0, des 1 et des -1 dans ma matrice. Alors pourquoi j'ai fait ça? J'ai fait ça pour avoir une matrice X telle que les colonnes de X soient linéairement indépendantes. Je peux pas écrire une colonne comme la somme de 2 autres colonnes, c'est plus possible. Je me suis arrangé pour trouver des contraintes telles que je vais pouvoir estimer mes paramètres. Donc là, je dis que je vais pouvoir estimer ce jeu de paramètres ici grâce aux données. Et les autres paramètres, une fois que j'aurai trouvé une estimation de alpha 1, je dirai juste alpha 2 c'est égal à moins l'estimation de alpha 1 que j'ai trouvée. Oui, OK. Donc là j'ai trouvé une matrice X et cette matrice X, je me suis arrangé pour que les colonnes soient linéairement indépendantes. Donc maintenant je vais pouvoir estimer les paramètres. Alors, vous allez voir que ça va être très simple parce que qu'est-ce que j'ai fait juste avant? Je reviens en arrière. Ce que j'ai fait, c'est que j'ai réécrit mon modèle sous la forme y égale x bêta plus e avec espérance de e égale zéro et variance de e égale sigma carré identité. Et avec une matrice X telle que les colonnes de X sont linéairement indépendantes. Donc ça, cette écriture Y= Xβ+ e, et les hypothèses sur e, sur les résidus, c'est exactement ce qu'on avait quand on faisait de la régression. Donc en fait, si on estime les paramètres du modèle d'analyse de variance, on va reproduire exactement ce qu'on a fait en régression, puisque le modèle, on le réécrit exactement de la même manière. On le réécrit y= xβ+ e. Et donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va utiliser le même critère pour estimer les paramètres, donc un critère des moindres carrés. On va chercher à minimiser l'écart entre les observations et les prévisions, plus exactement l'écart au carré, la somme des carrés des écarts. Donc ça, c'est le critère des moindres carrés. Donc je vais chercher à minimiser le critère des moindres carrés. Et puis si je fais la même chose que la dernière fois, eh bien je vais pouvoir dérivé et trouver l'équation x prime x bêta égale x prime y et dire bien si x prime x est inversible alors l'estimateur de bêta c'est bêta chapeau égale x prime x moins un x prime y donc qu'est-ce que j'ai fait là j'ai juste réécrit le modèle analyse de variance sous la forme y égale x bêta plus e et après je me mets exactement dans ce que j'ai fait dans la régression. C'est-à-dire que j'utilise le même critère, et donc comme j'ai le même critère, que j'ai la même écriture du modèle, eh bien je vais avoir le même estimateur de paramètres. Avec, si X' n'est pas inversible, j'ai besoin de contraintes. Moi j'avais trouvé les contraintes. Et donc si X' est inversible, eh bien l'estimateur des paramètres, c'est comme en régression, Beta chapeau égal x prime x moins un, x prime y. Donc voilà, je me suis remis dans le cadre de la régression et donc je retrouve le même estimateur qu'en régression. Et comme j'ai le même estimateur, j'ai les mêmes propriétés pour cet estimateur. C'est un estimateur qui est sans biais, espérance de beta chapeau égal beta, et la variance de beta chapeau, la variabilité de beta chapeau, bien c'est sigma carré fois x prime x moins un. Je retrouve exactement les mêmes choses qu'en régression. Et puis là, je dis juste que bêta chapeau, ça suit une loi normale d'espérance bêta. J'ai mis bêta chapeau moins bêta. Suit une loi normale et de variance ce qu'il faut. La variance qui est donnée ici. Là, je suis juste en train de dire que bêta chapeau suit une loi normale. Donc vous voyez, je me suis remis dans le même cadre que la régression et donc je décline le même critère à utiliser, les mêmes estimateurs et les mêmes propriétés sur l'estimateur. Alors il me reste un paramètre à estimer, c'est la variance des résidus. Pour estimer la variance des résidus, je vais d'abord calculer la prédiction du modèle. La prédiction du modèle sous forme matricielle, c'est X fois vecteur que je viens d'estimer, X fois bêta chapeau. Et donc pour l'écrire sous forme indicée, je vais écrire mu chapeau plus alpha i chapeau plus bêta j chapeau plus alpha bêta ij chapeau. Évidemment, je rajoute pas de résidus puisque je fais de la prévision, donc j'utilise juste les paramètres que je viens d'estimer. Donc si je veux prédire pour la première parcelle, la deuxième variété et la première répétition, Je vais dire c'est mu chapeau plus alpha 1 chapeau plus bêta 2 chapeau plus alpha bêta 1 2 chapeau. Et vous voyez que si je prédis pour la première répétition ou la deuxième répétition, mon modèle il va prédire par la même chose. C'est normal, il n'y a pas d'effet de la répétition dans mon modèle. Et donc que je prenne k égal 1 ou k égal 2, je vais faire la même prévision. Alors juste une remarque, si je fais mu chapeau plus alpha i chapeau plus bêta j chapeau plus alpha bêta ij chapeau, ça, ça va être égal à yij point. Ça veut dire que la prévision de mon modèle, ça va être la moyenne des observations pour le couple ij. Alors là, je suis en train de dire que la prévision de mon modèle d'analyse de variance pour la parcelle i et la variété j, c'est la moyenne des tailles pour la parcelle i et la variété j. Vous pourriez me dire, ça fait une heure qu'on fait un cours d'analyse de variance pour prédire par les observations qu'on a dans la cellule. C'est quand même pas terrible d'avoir passé une heure pour prédire par ce qu'on voit, par la moyenne de la cellule. Alors je vous dirais, effectivement, d'un point de vue prédictif, c'est vraiment pas intéressant de faire ça. En fait, l'analyse de variance, ça n'a pas tellement un objectif de prévision. Contrairement à la régression qui cherche à prédire, en analyse de variance on cherche plutôt à comprendre quels sont les effets des différentes variables. Est-ce que c'est plutôt un effet parcelle? Est-ce que c'est plutôt un effet variété? Est-ce que c'est plutôt un effet de l'interaction? Et on cherche pas vraiment à utiliser le modèle dans un but prédictif. Donc c'est pour ça que là, d'un point de vue prédictif, c'est quand même pas très intéressant de prédire par la moyenne des observations. Alors les résidus maintenant, bien c'est l'écart entre les observations et les prévisions. Ça c'est comme d'habitude. Et puis bien la variance des résidus, bien ça va être la somme des carrés des résidus divisé par combien? Alors à votre avis, par combien est-ce que je vais diviser ici? C'est toujours pareil, c'est toujours la même réponse que j'attends. Voilà, nombre d'individus moins nombre de paramètres. Alors moins nombre de paramètres estimés à partir des données. Alors ici, dans mon exemple, par exemple, le nombre d'individus, le nombre d'expériences, c'est combien? 12, n= 12. Et le nombre de paramètres que j'ai estimés à partir de mes données? 6. Effectivement, il y a mu, alpha 1, bêta 1, bêta 2, alpha bêta 1 et alpha bêta 1 2. Ça fait 6 paramètres. D'accord, donc j'ai bien ici dans mon exemple n- 6, donc 12- 6. Alors n, c'est le nombre de données, et en fait le nombre de paramètres estimés, bien, c'est i fois j. Quand j'ai un modèle d'analyse de variance à 2 facteurs, si je compte le nombre de paramètres estimés, bien, on peut compter, ça fait 1 pour mu, i moins un pour le premier facteur. Donc moi dans mon exemple j'avais i égal deux et j'ai juste estimé alpha un, donc c'est bien i moins un. Pour bêta j'avais trois paramètres, j'ai estimé bêta un et bêta deux. Je dédivisais le dernier en faisant moins bêta un moins bêta deux, donc c'est bien j moins un. Et après pour l'interaction il suffit de faire les degrés de liberté de chacun des facteurs. Donc c'est le produit i moins un fois j moins un. Et en fait, si on calcule 1+ + + × , on tombe sur ij. Donc le nombre de paramètres qu'on estime, c'est bien i× j. Et donc on a sigma chapeau carré, c'est n- i× j. Et si je fais ça, j'ai bien compté les degrés de liberté de la résiduelle, et donc j'ai bien espérance de sigma chapeau carré égale sigma carré. Là, on a estimé tous les paramètres du modèle. Il y a certains paramètres qu'on estime à partir des données: mu, alpha 1, bêta 1, bêta 2, alpha bêta 1, alpha bêta 1 2. Et puis il y en a d'autres qu'on va déduire grâce aux contraintes. Donc une fois que j'aurai estimé, calculé alpha 1 chapeau, bien je vais dire alpha 2 chapeau sera égal à moins alpha 1 chapeau. Ça, je le déduis grâce aux contraintes. Et ensuite, j'ai estimé la variance des résidus. Alors, un petit cas particulier où on peut calculer à la main les paramètres du modèle. Parce que quand on a l'équation X'X-1, X'Y, c'est du calcul matriciel. X'X-1, c'est très compliqué à inverser, on sait pas le faire à la main, donc on peut pas faire les calculs à la main. Il y a un cas particulier où on peut estimer les paramètres à la main. Ce cas particulier, c'est quand on a un plan équilibré. Un plan équilibré, c'est-à-dire que c'est un plan complet et équirépété. Qu'est-ce que ça veut dire complet? Complet, ça veut dire qu'on a testé toutes les combinaisons des facteurs. Donc j'ai testé toutes les parcelles avec toutes les variétés. Équirépété, j'ai testé un même nombre de fois. Donc un plan équilibré, c'est qu'on teste toutes les combinaisons et on les teste toutes un même nombre de fois. Dans ce cas-là, mu chapeau, mu chapeau c'est l'effet moyen, ce sera égal à la moyenne des y. C'est très logique, mu chapeau c'est l'effet moyen, c'est la moyenne des y. Alpha i chapeau, alpha i chapeau c'est l'effet de mon facteur quand il prend la modalité i, donc par exemple l'effet de la parcelle i. Ce que ça dit, c'est que c'est la moyenne de ce qui se passe pour la modalité i, moins la moyenne générale. Là encore, c'est très logique, ça signifie que l'effet de la parcelle i, c'est la moyenne de ce qui se passe sur la parcelle i moins la moyenne générale. Donc on voit bien que si l'effet de la parcelle i est positif, c'est bien parce qu'il y a un Yi point point qui va être plus grand que pour la moyenne générale. Donc on comprend bien ce que c'est que l'effet de la parcelle i ici. Même chose, l'effet de la variété j, c'est ce qui se passe pour la variété j moins ce qui se passe pour la moyenne générale. Pour l'interaction, c'est un petit peu plus compliqué à voir, mais on peut voir que c'est yij. moins yi.. moins y.j. plus y.. Voilà, il y a une interprétation, mais là je vais pas pouvoir, enfin, sans crayon je vois pas comment vous l'expliquer. Là c'est un petit peu compliqué. C'est l'interaction, c'est ça. Je vais pas rentrer dans une interprétation plus détaillée parce que je vais pas pouvoir ici le faire sans le faire à la main, sans l'écrire. Donc en tout cas, on peut estimer les effets de chaque facteur et de chaque interaction juste avec les moyennes par modalité, donc la moyenne des yi., la moyenne des y.j., etc. Donc ça, c'est vraiment un cas particulier. Par contre, dès que les données sont déséquilibrées, on Dès qu'il n'y a pas le même nombre de répétitions, il n'y a plus égalité ici. Du coup, ça peut être un peu perturbant quand on analyse des résultats parce que là c'est quand même bien pratique d'avoir l'interprétation ici: l'effet de la modalité i, c'est ce qui se passe pour la modalité i moins ce qui se passe en général. Ça, c'est très pratique d'un point de vue interprétation. Vous verrez en TD un exemple où justement on a des données qui sont un peu déséquilibrées et on regardera ce qui se passe. Ensuite, ce qu'on va faire, on va faire exactement comme on avait fait en régression, on va décomposer la variabilité des Y. Donc le fait que les Y bougent, c'est ici, Ils bougent autour de la moyenne, donc ça c'est la variabilité des Y. Cette variabilité des Y, je vais pouvoir la décomposer en plusieurs termes. En fait, je vais la décomposer en 4 termes. Un terme qui est lié à la variabilité expliquée par le premier facteur. Donc là, ce qui est ici, c'est le fait que le premier facteur bouge. Et donc je regarde à quel point est-ce que le fait que le premier facteur bouge, ça a un impact sur la variabilité totale. Ici, c'est la variabilité du deuxième facteur. Donc même chose, je vais m'intéresser à cette variabilité du deuxième facteur et voir à quel point est-ce que ça a un impact sur la variabilité totale. Est-ce que c'est négligeable dans la variabilité totale ou au contraire est-ce que c'est important? Ici, c'est la variabilité liée à l'interaction. Et ici, c'est la variabilité résiduelle, la différence entre l'observation et ici c'est la prévision. Je vous avais dit que la prévision, c'était égal à Yij. Donc là, ce qu'il faut retenir de cette diapositive, c'est que la variabilité totale peut se décomposer en 4 termes: une variabilité expliquée par le premier facteur, une variabilité expliquée par le deuxième facteur, une variabilité expliquée par l'interaction, et une variabilité que je ne peux pas expliquer qui est la variabilité résiduelle. Et puis associée à chaque variabilité, il y a des degrés de liberté. Pour la variabilité totale, j'ai juste estimé la moyenne donc j'ai n- 1 degrés de liberté. Pour le premier facteur, ici j'ai 6 Yi. mais ils sont liés puisque j'ai un paramètre Y... ici. Donc j'ai i moins un degré de liberté ici, j'ai j moins un degré de liberté ici, et puis après bien on avait les degrés de liberté de la résiduelle qui étaient n moins i fois j, et par différence on retrouve les degrés de liberté associés à l'interaction i moins un fois j moins un. Donc pour l'interaction, c'est les degrés de liberté du premier facteur fois les degrés de liberté du deuxième facteur. Donc là il y a c'est assez facile de calculer les degrés de liberté de l'interaction. Quand on a un plan équilibré, des données équilibrées, la variabilité totale peut se décomposer en une somme de 4 variabilités: variabilité du premier facteur, du deuxième facteur, de l'interaction et de la résiduelle. Si les données sont plus équilibrées, il n'y a plus vraiment égalité et là c'est un petit peu plus compliqué. On rentrera pas dans ces difficultés cette année. Vous rentrerez dans ces difficultés peut-être plus tard si vous faites un peu plus de statistiques. Mais on va avoir cette décomposition de la variabilité totale en différentes sommes de carrés ici qui va nous intéresser. Alors évidemment, une fois qu'on a dit ma variabilité totale je peux la décomposer en une variabilité expliquée par le premier facteur, une variabilité expliquée par le deuxième, une variabilité expliquée par l'interaction et une variabilité que j'arrive pas à expliquer, on va vouloir construire des tests et savoir est-ce qu'il y a un facteur qui est significatif ou pas. Donc premier test qu'on peut faire: est-ce que le premier facteur a un effet significatif sur Y ou pas. Donc si le premier facteur a un effet significatif ou pas, les hypothèses qu'on va tester c'est: le facteur n'a pas d'effet, ça va être H0, et H1, l'hypothèse alternative, c'est le facteur a un effet sur Y. Mathématiquement, on va écrire: tous les alpha_i sont égaux à 0 contre il y a au moins un alpha_i qui est différent de 0. Évidemment, si tous les alpha_i sont égaux à 0, ça veut dire que le facteur n'influe pas sur Y. Ça veut dire que je peux supprimer le facteur dans l'écriture de mon modèle puisque les alpha_i valent 0. Ici, ce que je vous donne, c'est l'espérance des carrés moyens expliqués par le premier facteur, le deuxième facteur, l'interaction ou la résiduelle. Donc là, c'est une formule qui me dit globalement en moyenne, donc l'espérance du carré moyen du premier facteur, voilà comment elle s'écrit. Elle s'écrit sigma carré plus alors k fois j sur i moins un, donc globalement ça c'est une constante on va dire, fois somme des alpha i carrés. Même chose pour l'espérance du carré moyen du facteur b, sigma carré plus une constante fois somme des bêta j carré. Pour le carré moyen de l'interaction, c'est la même chose: sigma carré plus une constante fois la somme des coefficients de l'interaction au carré. Et puis le carré moyen de la résiduelle, en moyenne, c'est sigma carré. Ça, on avait vu que c'était un estimateur sans biais. Quand on divisait par les bons degrés de liberté, par n moins ij, on avait l'espérance de sigma chapeau carré qui était égale à sigma carré. Qu'est-ce qui se passe si tous les alpha i sont égaux à zéro? L'espérance du carré moyen de A, effectivement, on aura sigma carré plus une constante fois une somme de choses qui sont des zéros au carré. Donc tout ça, ça vaudra zéro. La somme des alpha i carrés, ce sera zéro. Donc tout ce qui est ici, ce sera égal à zéro. Donc l'espérance du carré moyen de A, ce sera égal à sigma carré. Et donc si je me retrouve avec espérance du carré moyen de A égale sigma carré, espérance du carré moyen de la résiduelle c'est aussi sigma carré, quel test est-ce que je pourrais faire? Finalement un simple test de comparaison de 2 variances. Je vais tester est-ce qu'il y a égalité entre cette variance-là et cette variance-là. S'il y a égalité, c'est que les alpha_i sont à peu près tous égaux à 0, sont égaux à 0, je peux considérer qu'ils sont égaux à 0. Donc l'idée, là encore, c'est l'idée de comparer 2 variabilités. Je vais utiliser la variabilité résiduelle comme variabilité de référence et je vais comparer la variabilité expliquée par le facteur A à la variabilité résiduelle. Si les 2 variabilités sont du même ordre de grandeur, si en gros c'est autour de sigma carré, dans ce cas-là les 2 variabilités sont comparables, je vais avoir envie de dire que le facteur A n'explique pas plus de choses que la résiduelle. Or la résiduelle c'est quelque chose que j'arrive pas à expliquer, donc forcément pas très très grand, c'est quelque chose que je vais considérer comme J'arrive pas à l'expliquer, donc un peu comme négligeable, en tout cas comme pas suffisamment important pour que je puisse le comprendre. Et donc je vais dire que le facteur A explique pas plus que la résiduelle. Et donc je vais avoir envie de dire, bien, le facteur A n'explique pas grand-chose, et j'ai envie de dire il n'y a pas d'effet du facteur A. Et puis au contraire, si alpha i est différent de 0, bien ici la somme des alpha i carrés va devenir grande. Et donc là, cette quantité va devenir grande et le carré moyen de A en espérance va être beaucoup plus grand que sigma carré. Et dans ce cas-là, je m'attends à avoir, si les alpha_i sont différents de 0, je m'attends à avoir carré moyen de A qui sera beaucoup plus grand que le carré moyen de la résiduelle. Et donc si, quand je compare le carré moyen du facteur A et le carré moyen de la résiduelle, le carré moyen de A est beaucoup plus grand, Eh bien, je vais dire qu'il y a un effet du facteur A. Donc là, l'idée, ça va être à nouveau de construire un simple test de comparaison de variance. Je vais comparer les 2 variabilités: carré moyen du facteur A, carré moyen de la résiduelle. Si c'est du même ordre de grandeur, je considère qu'il n'y a pas d'effet du facteur A. Si au contraire le carré moyen de A est beaucoup plus grand que le carré moyen de la résiduelle, je vais avoir envie de dire qu'il y a une différence significative entre ces ces variabilités et que ça s'explique par les alpha i qui sont différents de 0. Tout ce que j'ai dit ici avec le facteur A, vous voyez que c'est complètement symétrique avec le facteur B, évidemment. Deuxième facteur, ça va être juste que quand on va tester les bêta j, c'est si les bêta j sont égaux à 0 ou différents de 0, ça va être exactement le même raisonnement. Et puis même chose ici avec les alpha bêta ij. Si tous les alpha bêta ij sont égaux à 0, je vais dire qu'il n'y a pas d'interaction. Et s'il y a des alpha i j qui sont différents de 0, cette quantité-là va devenir grande et donc je vais avoir le carré moyen de l'interaction qui sera plus grand que le carré moyen de la résiduelle. Donc les tests qu'on va construire, c'est le test où je teste tous les alpha i sont égaux à 0 contre il existe au moins un alpha i qui est différent de 0, peut-être plusieurs mais au moins un. La statistique de test, c'est ce que j'ai dit, je compare le carré moyen du facteur a sur le carré moyen de la résiduelle. Et si l'hypothèse H0 est vraie, eh bien ça, c'est les mêmes variances, c'est sigma carré au numérateur et au dénominateur. Et donc dans ce cas-là, si l'hypothèse H0 est vraie, eh bien ça va suivre une loi de Fisher avec les degrés de liberté du numérateur, c'est i- 1, et les degrés de liberté du dénominateur, eh bien c'est les degrés de liberté de la résiduelle. Donc là, je vais dire si l'hypothèse H0 est vraie, si tous les alpha i sont égaux à 0, alors cette quantité, ce ratio ici, va suivre une loi de Fisher à i moins 1 et n moins ij, ou les degrés de liberté de la résiduelle pour les degrés de liberté du dénominateur. D'accord? Donc l'idée, c'est vraiment de comparer les variabilités du facteur à la variabilité résiduelle. Si c'est du même ordre de grandeur, si cette quantité Autour de 1, je vais avoir envie de dire l'hypothèse H0 est plausible, je vais accepter l'hypothèse H0. Si cette quantité est beaucoup plus grande que 1, significativement plus grande que 1, ça veut dire que la variabilité expliquée par le facteur est beaucoup plus grande que la variabilité résiduelle. Ça veut dire que mon facteur A explique beaucoup plus que la résiduelle et donc il y a un effet du facteur A. Me sers à nouveau de la variabilité résiduelle comme variabilité de référence. Et donc je vais pouvoir après prendre ma décision en regardant la valeur de F. Si le F est autour de 1, pas trop grand, je dis qu'il n'y a pas d'effet du facteur A. Et si j'ai une valeur de F qui est très grande, eh bien je vais dire que cette valeur de F, si j'ai une valeur de 10 par exemple, je vais dire bien 10, ça a peut pas provenir d'une loi de Fisher, c'est beaucoup trop grand. Et donc puisque ça provient pas d'une loi de Fisher, eh bien c'est que je me suis trompé ici dans mon hypothèse que tous les alpha i étaient égaux à 0. Et donc ça veut dire que je rejette l'hypothèse tous les alpha i sont égaux à 0 et je vais considérer qu'il y a au moins un alpha i qui est différent de 0. Donc là encore, vous pouvez décider soit de en calculant cette quantité et en comparant avec la loi de F, soit en regardant la probabilité critique. Tous les logiciels vous rendent la probabilité critique du test, et donc vous regardez la probabilité critique et ça va fonctionner. Alors, si on répète ça sur l'interaction, donc pour tester l'effet d'une interaction, Eh bien, c'est exactement pareil. Je vais comparer le carré moyen de l'interaction au carré moyen de la résiduelle. Donc l'hypothèse H0, ça va être tous les alpha bêta ij sont égaux à 0, et H1, ça va être il y a au moins un alpha bêta ij qui est différent de 0. Et puis, bien, je vais comparer carré moyen de l'interaction sur le carré moyen de la résiduelle. Si ces deux quantités sont comparables, c'est qu'il n'y a pas d'effet de l'interaction. Je vais accepter H0. Et au contraire, si le carré moyen de l'interaction est beaucoup plus grand que le carré moyen de la résiduelle, je vais rejeter l'hypothèse H0. Donc là, je teste le carré moyen de l'interaction sur le carré moyen de la résiduelle. J'ai juste réécrit somme de carrés divisé par i- 1, j- 1, c'est les degrés de liberté de l'interaction, et somme de carrés résiduels divisé par les degrés de liberté de la résiduelle pour avoir carré moyen de l'interaction sur carré moyen de la résiduelle. Sous l'hypothèse H0, ça va suivre une loi de Fisher avec les degrés de liberté du numérateur i- 1 fois j- 1 et les degrés de liberté du dénominateur, degré de liberté de la résiduelle. Donc si l'hypothèse H0 est vérifiée, si tous les alpha bêta ij sont égaux à 0, cette quantité-là suit une loi de Fisher à i- 1 j- 1 et degré de liberté de la résiduelle. Et donc je vais prendre ma décision comme tout à l'heure. D'accord avec ces tests? Donc les tests de Fisher, je suis sur des tests globaux où je teste plusieurs coefficients simultanément. Je teste tous les alpha i égaux à 0, ou tous les alpha bêta ij égaux à 0, ou tous les bêta j égaux à 0. Maintenant, une fois qu'on a dit je teste tous les alpha bêta ij égaux à 0, De deux choses l'une, soit tous les alpha bêta ij sont égaux à zéro. J'accepte l'hypothèse H0. Dans ce cas-là, bien, ça signifie que tous les alpha bêta ij sont égaux à zéro. Maintenant, si je rejette l'hypothèse alpha bêta ij égaux égale tous les alpha bêta ij égaux à zéro, bien là, je vais avoir envie de savoir quels sont les alpha bêta ij qui sont différents de zéro. Et donc là, je vais avoir envie de savoir quels sont les couples ij tels que Alpha bêta ij soit différent de zéro. Est-ce que alpha bêta 11 égale zéro ou alpha bêta 11 différent de zéro? Est-ce que alpha bêta 12 égale zéro ou alpha bêta 12 différent de zéro? D'accord? Donc là, je vais vouloir m'intéresser coefficient par coefficient. Donc c'est exactement comme pour la régression. J'ai d'abord un test global où je regarde est-ce que globalement mes coefficients sont égaux à zéro? Est-ce que globalement tous mes alpha i sont égaux à zéro? Est-ce que globalement tous mes bêta j sont égaux à zéro? Est-ce que globalement tous mes alpha bêta i j sont égaux à zéro? Donc là j'ai trois tests, mais à chaque fois c'est des tests globaux parce que j'ai plusieurs alpha i, j'ai plusieurs bêta j ou j'ai plusieurs alpha bêta i j. Si je rejette l'hypothèse pour alpha i par exemple, ça veut dire qu'il y a au moins un alpha i différent de zéro et là j'ai envie d'aller voir quel alpha i est différent de zéro. Et donc là je vais avoir envie de construire ce qu'on appelle des tests de conformité et aller regarder. Est-ce que ce coefficient est égal à zéro ou est-ce que ce coefficient est différent de zéro? Donc est-ce que alpha un égal zéro ou alpha un différent de zéro? Est-ce que alpha deux égal zéro ou alpha deux différent de zéro? Donc là, je vais tester l'hypothèse: est-ce que ce coefficient alpha i est égal à zéro ou bien est-ce qu'il est différent de zéro? D'accord? Donc là, je suis sur un seul coefficient. Évidemment, ce test-là, je ne le fais que si auparavant j'avais accepté l'hypothèse tous les coefficients étaient j'avais rejeté l'hypothèse tous les coefficients sont égaux à zéro si j'accepte l'hypothèse tous les alpha i sont égaux à zéro ça sert à rien d'aller faire les tests coefficient par coefficient parce que j'ai un test global qui me dit que tous les coefficients sont égaux à zéro par contre si j'ai rejeté tous les alpha i sont égaux à zéro je vais dire qu'il y a il existe au moins un alpha i qui est différent de zéro et là je vais aller voir coefficient par coefficient Alors comment est-ce qu'on fait le test? Bien, là je vous donne la loi de alpha i chapeau, donc l'estimateur de alpha i. Ça suit une loi normale d'espérance alpha i et d'écart-type sigma de alpha i chapeau. Alors le sigma de alpha i chapeau, je vous dis juste qu'on va le trouver dans la matrice sigma carré fois x prime x moins 1, là où il faut, sur la ième ligne, ième colonne. C'est pas très important. Mais ça, c'est juste pour dire qu'on peut avoir l'écart-type, pardon, de alpha i chapeau. Le sigma de alpha i chapeau, on peut l'avoir. Alors, quand j'ai loi de alpha i chapeau qui suit une loi normale d'espérance alpha i et d'écart-type sigma de alpha i chapeau, qu'est-ce que je fais? J'ai envie de dire, je fais comme d'habitude. Je vais centrer et réduire, donc je vais calculer alpha i chapeau moins alpha i sur sigma de alpha i chapeau. Sauf que le sigma de alpha i chapeau, je le connais pas, donc je vais l'estimer. Et donc je vais avoir sigma chapeau de alpha i chapeau ici. Vous voyez, ici j'ai centré, je divise par l'écart-type, mais comme j'ai pas la vraie valeur de l'écart-type, je prends son estimateur ici, le sigma chapeau de alpha i chapeau. Et ça va plus suivre une loi normale centrée réduite, mais une loi de Student avec les degrés de liberté de la résiduelle. Donc ici, je centre et je divise par l'écart-type, mais je prends l'estimateur de l'écart-type, et donc ça suit une loi de Student avec les degrés de liberté de la résiduelle. Donc ça, c'est toujours vrai: alpha i chapeau moins alpha i sur sigma chapeau de alpha i chapeau, ça suit toujours une loi de Student avec les degrés de liberté de la résiduelle. Ça, c'est toujours vrai. Maintenant, si je veux tester est-ce que alpha i est égal à 0, Eh bien, je vais remplacer ici le alpha i par 0. Et donc, si l'hypothèse H0 est vraie, je vais avoir alpha i chapeau sur sigma chapeau de alpha i chapeau qui suivra une loi de Student avec le degré de liberté de la résiduelle. Donc la statistique de test, eh bien, ça va être alpha i chapeau sur sigma chapeau de alpha i chapeau. C'est cette quantité que je vais calculer et je sais que sous l'hypothèse H0, ça, ça suit une loi de Student. Avec les degrés de liberté de la résiduelle. D'accord? Donc le raisonnement, c'est comme d'habitude. J'ai la loi de alpha i chapeau, je centre, je réduis en divisant par l'écart-type, sauf que le vrai écart-type, je le connais pas, je l'estime. Et donc ça va pas être une loi normale centrée réduite, mais ça va être une loi Student. Et dans la loi Student, c'est avec les degrés de liberté de la résiduelle. Et donc ici, Alpha i chapeau moins zéro sur sigma chapeau de alpha i chapeau, ça suit une loi student. Si alpha i égale zéro. Et donc après, bien, je vais calculer cette quantité alpha i chapeau sur sigma chapeau de alpha i chapeau. Si c'est compris entre moins deux et deux, en gros, le quantile de la loi student à 97,5%, en gros c'est deux. Ça peut être deux virgule quatre éventuellement selon les degrés de liberté. Mais en gros, c'est 2. Et donc, en gros, 95% des valeurs d'une loi de Student sont comprises entre -2 et 2. Donc si cette valeur que je calcule, alpha i chapeau sur sigma chapeau de alpha i chapeau, si elle est proche de 0, si je trouve -1 par exemple, ou 1,2, je vais me dire, c'est possible que ça provienne d'une loi de Student. Je peux pas remettre en cause que ça provienne d'une loi de Student. Donc j'accepte le fait que alpha i soit égal à 0. Si maintenant j'obtiens une valeur de 10 ou de 6, c'est une valeur qui est très extrême, quasi impossible que ça provienne d'une loi de Student, donc je vais remettre en cause que ça provienne d'une loi de Student. Donc si ça provient pas d'une loi de Student, eh bien c'est que l'hypothèse que je faisais au départ, alpha i égal 0, est fausse. Donc je vais rejeter l'hypothèse H0. Donc si j'obtiens une valeur de t obs ici qui est grande, proche de 5, 6, enfin en tout cas supérieure à 2 ou inférieure à -2, je vais remettre en cause le fait que ça provienne d'une loi de Student et je vais dire que c'est l'hypothèse H0 qui n'est pas vérifiée. Et donc dans ce cas-là, eh bien, j'affirme que alpha i est différent de 0. Alors là encore, on peut voir ça avec la probabilité critique qui sera donnée par le logiciel. Et puis on peut avoir un intervalle de confiance de chaque coefficient. L'intervalle de confiance, c'est alpha i chapeau plus ou moins sigma chapeau fois le quantile de la loi de Student. Donc le sigma chapeau, il est donné en général, et le quantile de la loi de Student, en gros, c'est 2, c'est ce que je vous disais tout à l'heure. Si je regarde maintenant comment mettre en œuvre sur R, on va là encore utiliser le package FactoMineR et on va utiliser la fonction AOVsum, avec un A majuscule et un S majuscule. Pourquoi on utilise cette fonction AOVsum? Parce que cette fonction utilise par défaut la contrainte que la somme des alpha_i est égale à 0. La somme des bêta j égale à 0, elle utilise cette contrainte-là et pas la contrainte la référence est égale à 0. Donc je vous conseille vraiment d'utiliser cette contrainte-là et donc d'utiliser cette fonction-là pour faire vos analyses de variance. Sinon, c'est vraiment compliqué d'interpréter, notamment si vous avez plusieurs interactions. Ça devient quasiment impossible d'interpréter simplement. Et donc comment est-ce qu'on construit le modèle? On va écrire aovsum de la variable à expliquer, donc le Y ici, tilde, et puis on met le premier facteur, donc produit, plus le deuxième facteur, plus ici, et là je mets une interaction. Donc l'interaction, ça s'écrit produit:juge. Donc produit:juge, ça signifie l'interaction entre le facteur produit et le facteur juge. Et puis je précise que je travaille sur le jeu de données que j'ai appelé données. Ce que va me fournir la fonction aovsum, c'est 2 résultats. Un premier résultat avec les tests F ici. Donc ça construit les tests F pour le premier facteur, le deuxième facteur et l'interaction. Donc là vous voyez la variabilité liée au premier facteur, au facteur produit, Une ligne pour le facteur juge, une ligne pour l'interaction produit-juge, et puis la résiduelle. On retrouve ici les sommes de carrés. df, c'est les degrés de liberté, degree of freedom. Et puis carré moyen, c'est le ratio somme de carrés divisé par degré de liberté. 12 divisé par 1, ça fait 12. 8 divisé par 2, ça fait 4. 8 divisé par 4, ça fait 4. 8 divisé par 6, ça fait 1,33. Et puis après, F-value, donc ça, F-value, c'est le F observé. Et le F observé, c'est le carré moyen de ce qu'on teste divisé par le carré moyen de la résiduelle. Donc 12 divisé par 1,33, 12 divisé par 4/3, ça fait 9. 4 divisé par 1,33, ça fait 3. 4 divisé par 1,33, ça fait 3. Donc là, je peux calculer le F observé pour l'effet produit, pour l'effet juge, pour l'interaction produit-juge. Et puis, ce qui m'est donné ensuite, c'est la probabilité critique associée au test. Donc là, j'ai une probabilité critique inférieure à 0,05, donc je vais dire qu'il y a un effet produit qui est significatif. Ici, je vais dire, alors là attention, On a 2 tests: le test de l'interaction et le test de l'effet juge. Donc là, comment on va interpréter? On va dire qu'il n'y a pas d'interaction puisque la probabilité critique est supérieure à 0,05. Donc on va dire qu'il n'y a pas d'interaction produit-juge. Il n'y a pas d'interaction produit-juge, ça veut dire que tous les juges voient la différence de produits à peu près de la même façon. Il n'y a pas un juge qui a tendance à surnoter un produit et sous-noter les autres alors que les autres juges font différemment. Globalement, ils notent tous à peu près de la même façon, ils mettent tous les produits à peu près dans le même ordre, c'est ça que ça veut dire, et avec le même écart entre les produits à peu près. En tout cas, on peut pas dire qu'il y a une différence. Et puis là, bien, ce qu'on devrait faire, c'est supprimer l'interaction du modèle, donc avoir un modèle sans interaction. Reconstruire le modèle sans interaction pour voir s'il y aurait un effet juge qui deviendrait significatif. Normalement, c'est comme ça qu'on va faire. Voilà, donc ça c'est sur les effets globaux, les tests EF. Et après, on peut regarder coefficient par coefficient. Donc là, je regarde ici, j'ai les tests de Student, les résultats des tests de Student. Donc j'ai intercept, c'est la constante, qui vaut 3. Ensuite, là j'ai P1, donc c'est le coefficient pour le produit 1, et ensuite le coefficient pour le produit 2. Donc ça, c'est le alpha 1 chapeau qui vaut -1 et le alpha 2 chapeau qui vaut 1. Évidemment, la somme des deux est égale à 0. Pour les juges, j'ai -1 pour le juge 1. Ici j'ai 10- 16, donc ça c'est 0. Et puis pour le juge 3, j'ai 1. Donc la somme -1+ 0+ 1, ça fait bien 0. Et même chose ici, donc dans les interactions, si je fais la somme produit 1 juge 1 produit 2 juge 1, la somme produit vaut 0. Produit 1 juge 2 produit 2 juge 2, la somme vaut 0. Et puis produit 1 juge 3 produit 2 juge 3, la somme vaut 0. Et si je regarde tout ce qui concerne le produit 1, j'ai produit 1 juge 1 plus produit 1 juge 2 plus produit 1 juge 3, cette somme-là vaut 0 aussi. D'accord, donc j'ai plusieurs sommes qui valent 0. Et donc après, bien, je peux regarder Est-ce que le coefficient est significativement différent de zéro ou pas? Donc là, par exemple, alpha 1 est significativement différent de zéro. J'ai une probabilité critique de 0,024. Donc je vais dire alpha 1 est significativement différent de zéro. Ça veut dire que le produit 1 a des valeurs significativement différentes de la moyenne. C'est ça que ça me dit ici. Et après, ça c'est la probabilité critique ici. Qui me dit que les valeurs sont significativement différentes de la moyenne. Et après, je vais regarder le coefficient ici et je vais voir que le coefficient est négatif. Et donc je vais dire que le produit 1 a des notes significativement différentes de la moyenne et inférieures à la moyenne, d'accord, puisque le coefficient est égal à -1. Et par contre, pour le produit 2, les notes sont significativement différentes de la moyenne et supérieures à la moyenne. C'est ça que ça me dit quand le alpha 2 chapeau ici est positif. Donc je vois la significativité de chacun des coefficients. Alors après, pour les autres coefficients ici derrière, j'ai pas envie de regarder parce que j'avais vu dans les tests globaux que j'avais pas d'effet. Donc je vais pas aller m'amuser à regarder les différents coefficients qui sont derrière. Voilà pour le modèle, la construction du modèle, la fonction et le package qui sont à utiliser, et puis les résultats. Les tests F globaux où on va d'abord regarder le modèle complet avec effet produit, effet juge, effet de l'interaction produit-juge, et éventuellement si j'ai pas d'interaction, je vais simplifier le modèle, enlever l'interaction pour avoir un modèle plus simple et reconstruire. Et puis si je reconstruis avec juste produit+ juge, si j'ai pas d'effet juge, eh bien je vais reconstruire un modèle avec juste l'effet produit, d'accord, pour avoir un modèle avec que des effets significatifs. Donc là je vais faire pas à pas en enlevant d'abord l'interaction, puis après en enlevant les effets qui sont non significatifs, s'il y en a, un par un. Alors tout ce que j'ai fait dans le cours là pour l'instant, c'était avec 2 variables, mais tout ce que j'ai fait se généralise immédiatement à un nombre quelconque de facteurs. Donc si vous avez un projet à faire et que vous avez des analyses de variance où vous vous intéressez à 4-5 facteurs, il n'y a aucune difficulté. Les coefficients sont estimés de la même façon. Pour écrire le modèle, on va écrire de la même façon. Dans R, On va écrire de la même façon avec les différents facteurs principaux, donc les facteurs seuls plus les interactions 2 à 2. Donc là, il n'y a pas de difficulté pour ça et les résultats s'interprètent exactement comme je l'ai fait. La difficulté vient plus de données qui sont déséquilibrées. Donc si on a pour certaines combinaisons très peu de répétitions et pour d'autres beaucoup de répétitions, Ce déséquilibre peut être un peu gênant. Pour estimer les coefficients, il n'y a pas de souci, c'est toujours bêta chapeau égal x'x moins 1 x'y. Donc ça, c'est toujours valable. Par contre, on n'a plus la décomposition des sommes de carrés. La variabilité totale n'est plus exactement égale à la variabilité liée au premier facteur plus la variabilité liée au deuxième plus la variabilité liée à l'interaction plus la variabilité résiduelle. Là, il n'y a plus égalité et ça, c'est un petit peu gênant. Voilà, je rentre pas dans le détail, mais plus les données sont déséquilibrées, plus il y a d'écart et plus c'est gênant. Donc si vous avez des données un peu déséquilibrées, c'est pas trop grave. Si vous avez des données très déséquilibrées, ça peut être gênant. Et après, bien, les coefficients alpha i chapeau et bêta j chapeau, bien, vous avez vu que dans le cas où les données sont équilibrées, c'était très simple parce que je disais alpha i chapeau, c'est l'écart de ce qui se passe quand le Y est mesuré avec la modalité i par rapport à la moyenne générale. Je disais juste alpha_i chapeau, c'est l'écart entre ce qui se passe pour la modalité i et la moyenne générale. L'interprétation est immédiate. Quand les données sont déséquilibrées, c'est plus tout à fait ça, c'est plus un écart de moyenne, par contre c'est l'effet du facteur. On peut toujours considérer que c'est l'effet du facteur qu'on est en train d'étudier. Par contre, il faut faire attention à ne pas regarder trop les écarts de moyenne. Les écarts de moyenne peuvent être perturbants quand on a des données déséquilibrées. Il vaut mieux faire confiance au modèle d'analyse de variance plutôt qu'à des différences de moyenne. Vous verrez ça dans un exercice en TD. Alors, pour resituer ce qu'on a fait aujourd'hui et ce qu'on a fait la dernière fois, Pour terminer un petit peu le cours de modèles linéaires, c'est-à-dire le cours sur les modèles de régression et d'analyse de variance, les modèles de régression et d'analyse de variance font partie d'un même cadre qui s'appelle le modèle linéaire. Dans le modèle linéaire, ce qu'on cherche, c'est à étudier une variable Y qui est quantitative. Donc là, à chaque fois dans nos études, les y étaient quantitatifs. Et selon la nature des variables explicatives, quand les variables explicatives étaient quantitatives, on était dans des modèles de régression. Quand les variables étaient qualitatives, on était dans des modèles d'analyse de la variance. Mais à chaque fois, les y sont quantitatifs. Après, évidemment, on peut avoir des situations où on a des variables qui sont quantitatives et d'autres qualitatives. C'est ce que vous avez plus ou moins fait au début quand vous aviez comparé plusieurs régressions dans la première séquence du module. Ça, c'est très facile maintenant que vous avez vu le cours sur les modèles de régression multiple et les modèles d'analyse de variance avec interaction de considérer des modèles où on a à la fois des variables explicatives qui sont quantitatives et d'autres qui sont qualitatives. Ça, c'est ce qu'on appelle de l'analyse de covariance. Et donc on va pouvoir s'intéresser à la fois à l'effet de certaines variables quantitatives, de certaines variables qualitatives, de l'interaction entre variables qualitatives, et même de l'interaction entre une variable qualitative et une variable quantitative. Donc tout ça, ça va être complètement dans un même cadre, c'est ce qu'on appelle le modèle linéaire. Et le modèle linéaire, finalement, c'est des modèles où on écrit Le modèle sous la forme y égale x bêta plus e. Alors comme je dis que ça s'appelle, ça s'écrit y égale x bêta plus e, eh bien ça signifie qu'on va toujours avoir le même critère pour estimer les paramètres, c'est-à-dire on va utiliser le critère des moindres carrés. On va avoir les mêmes estimateurs bêta chapeau égale x prime x moins un x prime y. On va avoir les mêmes propriétés de ces estimateurs, donc l'espérance de bêta chapeau égale bêta, la variance de bêta chapeau c'est sigma carré x prime x moins 1, mais on retrouve ça en régression, en analyse de variance et en analyse de covariance. Les programmes vont calculer à chaque fois x prime x moins 1, x prime y et vont construire les tests toujours de la même manière. Donc c'est toujours avec la formulation matricielle et donc les tests vont être les mêmes qu'on ait des variables explicatives quantitatives ou qualitatives. Et d'un point de vue interprétation, vous avez vu comment interpréter les résultats d'une régression, d'une analyse de variance. Il n'y a pas de difficulté à généraliser à un nombre quelconque de variables explicatives et à des variables qui sont quantitatives ou qualitatives pour de l'analyse de covariance. Dernière chose sur les résidus: on a dit les résidus doivent avoir la même variance. La variance des résidus doit être la même. Donc ça, ça veut dire qu'il faut pas qu'il y ait des résidus qui bougent beaucoup pour certaines modalités et bougent très peu pour d'autres modalités. Ça, c'est ce qu'on appelle de l'hétérosédasticité, c'est-à-dire qu'il n'y a pas la même variance pour les différents groupes. Ce qu'on veut, nous, c'est l'homoscédasticité, c'est-à-dire qu'il y a à peu près la même variance quel que soit le groupe. Si on est dans des situations comme ça, avec des résidus qui ont des petites variabilités pour certains groupes et de grandes variabilités pour d'autres groupes, ça c'est plutôt gênant. Là on va vouloir ce qu'on appelle stabiliser la variance. Souvent c'est passer au log par exemple qui permet d'améliorer les choses. La normalité des résidus, Qu'est-ce qui se passe si on a des résidus qui suivent pas tout à fait une loi normale? Eh bien, en fait, il se passe qu'on s'en fiche un peu. On a vu avec le TD là sur la régression, on a vu que s'il y avait pas normalité des résidus, de toute façon les tests EF fonctionnaient plutôt bien. Là, c'est la même chose. Si les tests EF, si les résidus ne suivent pas une loi normale, mais si la distribution est à peu près symétrique, les tests de Fisher fonctionne très bien et on peut mettre en œuvre une analyse de variance. Ce qu'il ne faut surtout pas, c'est tester la normalité des Y parce que si on teste la normalité des Y, s'il y a des différences entre les différents produits par exemple, on va avoir des Y petits pour certains produits, des Y grands pour d'autres, et on aura des distributions qui ne seront vraiment pas normales. L'hypothèse, c'est sur les résidus qu'il faut la tester, toujours. Je l'ai mis en rouge, je ne l'ai pas mis en assez gros parce que tous les ans, il y en a qui font l'erreur et qui me posent des questions sur la normalité des Y. Tous les ans, quand je fais cours, il y en a qui me disent, vous me dites, mais non, c'est sûr, on va pas se tromper. Encore il y a une semaine, il y a un étudiant ou une étudiante qui m'a posé la question, comment je fais parce que j'ai pas la normalité des Y? La normalité des Y, on s'en fiche complètement, ça n'a aucun intérêt. C'est la normalité des résidus qu'on doit tester. Et même s'il n'y a pas normalité des résidus, c'est pas très grave. Donc ce qu'il faut surtout pas, c'est qu'il y ait un résidu qui soit très grand et tous les autres soient petits. Ça, c'est problématique. Il faut regarder ce qui se passe sur ce résidu qui est très grand. Mais même s'il n'y a pas une normalité parfaite des résidus, c'est vraiment pas dramatique. Donc vous vous souciez pas trop de la normalité des résidus et vous direz à votre maître de stage quand il vous dira, est-ce que tu as testé la normalité des résidus? Vous pourrez dire, mon prof de stats m'a dit que c'était vraiment pas un problème de tester cette normalité des résidus, qu'il valait mieux faire ça plutôt que des tests non paramétriques. Donc vous pouvez écrire ici qu'il est préférable de construire des modèles d'analyse de variance plutôt que d'avoir des tests non paramétriques. C'est tout ce que je voulais vous dire pour ce cours d'analyse de variance.