Cours d'analyse des correspondances

Cette vidéo présente l'analyse factorielle des correspondances. C'est un cours conçu par Jérôme Pagès. Nous commencerons par décrire les données, préciserons quelques notations et les questions que l'on se pose lorsque l'on met en œuvre une analyse des correspondances. Nous verrons que la notion cruciale en analyse des correspondances est celle de la liaison entre 2 variables qualitatives et qu'étudier la liaison entre 2 variables qualitatives, c'est examiner l'écart entre les données et une situation d'indépendance. Nous verrons ainsi comment l'analyse appréhende l'écart à l'indépendance. Nous raisonnerons de façon essentiellement géométrique en construisant un nuage des lignes et un nuage des colonnes. Nuages que nous représenterons par analyse factorielle, c'est-à-dire par projection sur des plans en pratique. Nous donnerons quelques indications sur les pourcentages d'inertie. De ce point de vue, l'analyse des correspondances ne se distingue pas d'autres méthodes d'analyse factorielle comme l'analyse en composantes principales. Nous indiquerons également quelques résultats techniques concernant les inerties et là il s'agit de résultats qui sont tout à fait particuliers en analyse des correspondances. De même, en analyse des correspondances, la représentation simultanée des lignes et des colonnes est assez particulière et elle bénéficie des propriétés dites barycentriques. Nous décrirons enfin quelques aides à l'interprétation: contribution et qualité de représentation. De ce point de vue, l'analyse des correspondances n'est pas particulière par rapport à l'analyse en composantes principales par exemple. Commençons donc par décrire les données. Les données sur lesquelles on travaille sont constituées par N individus pour lesquels on dispose de 2 variables qualitatives. Ces données sont regroupées dans un tableau dit de contingence dans lequel on trouve en ligne les modalités de la variable V1, en colonne les modalités de la variable V2 et à l'intersection de la ligne i avec la colonne j, on trouve xij, le nombre d'individus ayant choisi ou possédant à la fois la modalité i de V1 et la modalité j de V2. Ce tableau de contingence est aussi appelé tableau croisé dans la terminologie des enquêtes. Donnons quelques exemples de tableaux de contingence. Un premier exemple, historique parce que c'est sans doute une des premières applications de l'analyse des correspondances, est l'étude du vocabulaire des personnages de la pièce de théâtre Phèdre. On place les personnages en lignes, les mots utilisés par les personnages en colonnes et en x_ij le nombre de fois que le personnage i a utilisé le mot j. 2ème exemple: on s'intéresse à la perception de parfums de luxe. Pour cela, on a demandé à des dégustateurs d'associer des mots à chacun des parfums. On place les parfums en lignes, les mots en colonnes et en x_ij le nombre de fois où le parfum i a été décrit par le mot j. Enfin, en écologie, on s'intéresse à la diversité écologique de plusieurs milieux. On place en lignes les milieux, en colonnes les espèces de plantes ou d'animaux et en xij le nombre de plantes j trouvées dans le milieu i. De telles données sont nombreuses et pour ceux qui connaissent le test du chi² d'indépendance, il s'agit des mêmes tableaux de données. Les données qui vont nous servir à illustrer notre présentation de l'analyse des correspondances sont en quelque sorte des données historiques. Il s'agit d'une ancienne enquête réalisée dans le cadre du CREDOC par Nicole Tabard et publiée en 1974. Voici une reproduction du tableau croisé tel qu'il a été publié par Nicole Tabard en 1974. Dans cette enquête, 1724 femmes ont été interrogées et nous avons sélectionné dans le questionnaire 2 questions relatives à leur attitude à l'égard du travail féminin. Première question: quelle est pour vous la famille idéale? Avec 3 modalités de réponse: Les deux conjoints travaillent également, le mari a un métier plus absorbant que celui de sa femme et seul le mari travaille. Deuxième question: quelle est, toujours selon vous, l'activité qui convient le mieux à une mère de famille quand les enfants vont à l'école? Ici encore, 3 modalités de réponse: rester au foyer, travailler à mi-temps et travailler à plein temps. Alors ce tableau croisé a été complété par ce que l'on appelle les marges. Ici on a ce qu'on appelle la marge colonne. Marge colonne parce qu'elle se présente comme une colonne, mais chacun de ses termes, par exemple 261, est une somme qui est faite en ligne. 261 est bien la somme de 13+ 142+ 106. Il y a aussi une marge ligne. Cette marge ligne s'appelle marge ligne parce qu'elle se présente comme une ligne, mais pour l'obtenir on fait la somme des termes en colonne. Ainsi 284 est bien la somme de 13+ 30+ 241. Si l'on regarde les résultats bruts, on s'aperçoit qu'il y a 261 personnes qui ont choisi pour la première question les deux conjoints travaillent également, mais 908 qui ont choisi seul le mari travaille. On peut dire que, à l'aune de cette question, à cette époque-là, une majorité des femmes était hostile au travail féminin. Regardons maintenant les résultats à la deuxième question. Travailler à mi-temps a obtenu 1123 suffrages. C'est donc une réponse largement majoritaire. Si l'on regarde cette question, on peut avoir l'impression qu'à cette époque-là, les femmes étaient favorables au travail féminin. Pas à un travail à temps plein certes, mais favorables tout de même. Ces 2 questions semblent donc apporter des réponses un peu contradictoires. Donc se pose la question suivante: mais quel lien y a-t-il entre ces 2 questions? Un tableau de contingence est généralement obtenu à partir du croisement de 2 variables. Donc initialement, les données sur lesquelles on travaille sont constituées par n individus pour lesquels on dispose de 2 variables qualitatives. Dans le tableau de données que l'on voit ici, l'individu l possède la modalité i de la variable V1 et la modalité j de la variable V2. On construit alors un tableau de contingence ou tableau croisé en mettant en regard les modalités de la 1ère variable V1, en ligne par exemple, et les modalités de la 2nde variable V2, ici en colonne. À l'intersection de la ligne i et de la colonne j, on trouve xij. Le nombre de personnes ayant choisi ou possédant la modalité i de V1 et la modalité j de V2. Si l'on calcule la somme de tous les termes de ce tableau, on trouve n. Ce tableau contient donc la distribution des n individus. Dans notre cas, ce sont les n personnes qui ont été interrogées dans les i× j cases du tableau. À partir de ce tableau de contingence, on va calculer le tableau de probabilités correspondant. Et l'analyse des correspondances va en fait travailler sur le tableau des probabilités. Pour obtenir une probabilité, par exemple fij, on divise simplement l'effectif xij par l'effectif total n. On obtient bien ainsi la probabilité conjointe de posséder à la fois la modalité i de V1 et la modalité j de V2. C'est ce terme que l'on met dans le tableau. Quand on fait la somme de tous ces termes, on obtient 1, ce qui est bien la marque d'une distribution de probabilités. Ce tableau va être complété par sa marge colonne. On va noter fi point la somme des termes de la ligne i. De même, on va compléter ce tableau par une marge ligne dont le terme général f.j est obtenu en faisant la somme des termes de la colonne j. Notre problème est de regarder la liaison entre V1 et V2, c'est-à-dire l'écart entre les données observées et une situation d'indépendance. Donnons quelques précisions sur l'indépendance entre 2 variables qualitatives et comment l'analyse des correspondances appréhende l'écart à l'indépendance. Commençons par rappeler le modèle d'indépendance pour 2 évènements. 2 évènements sont indépendants si la probabilité de A et B est égale au produit des probabilités, probabilité de A fois probabilité de B. Pour 2 variables qualitatives, on va avoir fij, probabilité de i et de j, est égale à fi, probabilité de i, multipliée par fj, probabilité de j. Mais ceci doit être vrai, bien sûr, quels que soient i et quels que soient j. On dit que la probabilité conjointe est le produit des probabilités marginales. Il y a une autre écriture de ce modèle d'indépendance que l'on voit ici: fij sur fi point est égal à f point j. Dans ce cas, on dit que la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité marginale. Ceci peut paraître un peu formel mais finalement c'est écriture est plus proche de l'intuition d'indépendance. La probabilité conditionnelle ici c'est la probabilité d'être j sachant que l'on est i. Et donc s'il y a indépendance, cette probabilité est égale à la probabilité d'être j même si l'on ne dispose d'aucune information quant à l'autre variable, c'est-à-dire i. Il y a enfin l'écriture symétrique dans laquelle on divise fij par f.j. Et selon le modèle d'indépendance, cette nouvelle probabilité conditionnelle c'est-à-dire la probabilité cette fois d'être i sachant que l'on est j, est bien égale à la probabilité marginale d'être i. La liaison entre 2 variables qualitatives, c'est l'écart entre les données observées d'une part, c'est-à-dire fij, et le modèle d'indépendance d'autre part, c'est-à-dire fi. qui multiplie f.j. Quand on étudie la liaison entre 2 variables qualitatives, on réalise généralement en premier lieu un test de significativité de la liaison en mettant en œuvre un test du chi². On rappelle ici la forme du test du chi² dans lequel on confronte les effectifs observés avec les effectifs théoriques. L'effectif théorique est tout simplement la probabilité selon le modèle d'indépendance, c'est-à-dire fi.f.j multiplié par l'effectif total n. Dans cette quantité du chi², on peut mettre n en facteur et faire apparaître la quantité n phi carré. Le phi carré, lui, confronte les probabilités observées et les probabilités théoriques. C'est donc un indicateur d'intensité de la liaison. C'est l'écart entre probabilité observée et probabilité théorique. Pourquoi intensité de la liaison Parce que ce terme ne dépend pas de l'effectif mais uniquement des probabilités. Il y a enfin un 3ème point qui est la nature de la liaison, c'est-à-dire comment les modalités des 2 variables s'associent entre elles. L'analyse des correspondances travaille sur le tableau des probabilités, elle ne dit donc rien sur la significativité. Son objectif essentiel est de visualiser la nature de la liaison entre les 2 variables. Donc petit récapitulatif sur ces 3 points concernant l'étude d'une liaison. Distinguons bien la significativité de l'intensité. Pour l'intensité, par exemple, on a réalisé une petite enquête et on vous dit que, à l'issue de cette enquête, toutes les personnes qui ont les yeux bleus portent des lunettes. On ne peut pas imaginer de liaison plus forte puisque systématiquement pour la variable couleur des yeux: si l'on sait que l'on a les yeux bleus alors on porte des lunettes. L'intensité de la liaison est très grande. Mais maintenant si je vous dis en fait cette enquête a porté sur 4 personnes, alors évidemment on imagine bien sans même réaliser le test du chi² que ceci n'est pas significatif. Comment l'analyse des correspondances appréhende-t-elle l'écart à l'indépendance? On va d'abord adopter le point de vue d'une analyse par ligne. Dans cette analyse, on se réfère au modèle d'indépendance suivant: la probabilité conditionnelle sachant i est égale à la probabilité marginale. Pour cela, dans le tableau, on va diviser chaque élément d'une ligne par sa marge. On obtient ainsi ce qu'on appelle un profil ligne i qui n'est rien d'autre qu'une distribution conditionnelle. Dans cette ligne, on a la distribution des réponses pour la variable V2 sachant que l'on possède la modalité i de la variable V1. Ce profil ligne, on va le comparer au profil ligne moyen qui est donc la distribution marginale de la variable V2. Alors pour comparer la distribution conditionnelle à la distribution marginale, l'analyse des correspondances va comparer les profils lignes au profil moyen. Il s'agit bien d'une approche multidimensionnelle de l'écart à l'indépendance parce que l'on considère simultanément l'ensemble des profils. Donc la question c'est bien de comparer la probabilité conditionnelle fij sur fi. et la probabilité marginale f.j mais ceci pour l'ensemble des j. Tout ceci est un peu formel, illustrons dans l'exemple ce que signifie comparer un profil au profil moyen. Construisons pour chaque profil ligne un graphe en barres empilées afin de visualiser les profils. Examinons la ligne seul le mari travaille. Il s'agit de la distribution des réponses à la question activité concernant une mère de famille pour les femmes qui ont déjà répondu seul le mari travaille. Plus concrètement, parmi les femmes qui ont répondu seul le mari travaille, 26,54% ont répondu rester au foyer. Alors pour apprécier ce pourcentage, il faut le comparer à celui correspondant dans la population totale qui est 16,47%. Donc ce pourcentage est plus important. Ainsi, la comparaison du profil ligne seul le mari travaille au profil moyen correspond à la question suivante: les femmes qui ont répondu seul le mari travaille répondent-elles de façon particulière à la question sur l'activité d'une mère de famille? Nous allons maintenant étudier ce même tableau mais en procédant par colonne. Alors lorsqu'on réalise une analyse par colonne, on se réfère au modèle d'indépendance suivant: Fij sur F.j égale Fi point. Précisons, on construit le tableau suivant des profils colonnes. Examinons la colonne j. Fij sur F.j, c'est la probabilité conditionnelle de répondre i sachant que l'on a déjà répondu j. La somme des termes de cette colonne vaut 1, il s'agit bien d'une distribution de probabilités. De même que l'on a construit le profil colonne j, on va construire le profil colonne moyen. Ce profil colonne moyen a pour terme général fi. qui est la probabilité de répondre i. L'idée de l'analyse des correspondances est de comparer les profils colonnes au profil moyen. Il s'agit là encore d'une approche multidimensionnelle de l'écart à l'indépendance, multidimensionnelle parce que l'on va considérer dans l'ensemble tous les termes d'une colonne que l'on va comparer à tous les termes correspondants de la colonne du profil moyen. Examinons dans l'exemple ce que signifie comparer un profil colonne au profil moyen. Construisons pour chaque profil colonne un graphe en barres empilées afin de visualiser les profils. Examinons par exemple la colonne travailler à mi-temps. 12,64 est le pourcentage de femmes ayant répondu les 2 conjoints travaillent également parmi celles qui ont répondu travailler à mi-temps. Ce pourcentage doit être comparé au pourcentage correspondant dans la population totale qui est de 15,14%. La différence n'est pas très importante donc quand on compare ce profil colonne au profil moyen, on répond à la question suivante: les femmes qui ont répondu travailler à mi-temps répondent-elles de façon particulière à la question sur la famille idéale? Nous avons vu que l'analyse des correspondances allait travailler à partir du modèle d'indépendance. Pour présenter l'analyse des correspondances, nous allons maintenant raisonner essentiellement géométriquement et construire 2 nuages de points. Tout d'abord, nous allons construire le nuage de profils lignes. Un profil ligne est un ensemble de J valeurs numériques, c'est donc un point dans l'espace à J dimensions que l'on note R^J. Chaque dimension de cet espace correspond à une modalité j de la variable V2. Ainsi, sur la dimension j, le profil ligne i a comme coordonnée fij sur fi., c'est-à-dire le jème terme de son profil. Si l'on considère l'ensemble des profils lignes i, on obtient le nuage des profils lignes, ce que l'on note N_I. Dans ce nuage, on peut situer ce que l'on a appelé le profil moyen qui a comme coordonnée pour la jème dimension f.j. Ce profil moyen, on l'appelle G comme centre de gravité. G peut en effet être considéré comme le centre de gravité du nuage N_I à condition d'affecter à chaque point i un poids proportionnel à son effectif marginal, donc à f_i. Dans cet espace, ce qui nous intéresse surtout c'est de comparer la position du profil ligne i au profil moyen. Pour cela, on va placer l'origine du nuage au profil moyen. Dans cet espace, il faut savoir calculer une distance. La distance qui est utilisée en analyse des correspondances est appelée distance du chi². Elle ressemble beaucoup à la distance euclidienne usuelle. En effet, on va retrouver une somme des carrés des écarts. Ici on a l'écart entre le profil i et le profil L. Fij sur fi point et flj sur fl point. On élève au carré et on fait la somme sur tous les j. La différence avec la distance euclidienne usuelle, c'est que chaque dimension j a un poids qui est 1 sur f point j. La justification de cette distance apparaîtra dans la suite du cours. Le centre de gravité du nuage, qui correspond au profil moyen, a pour coordonnée f point j, donc la distance entre le profil i et le profil moyen est simplement cette distance. De même que l'on a construit un nuage des profils lignes, on va construire un nuage des profils colonnes. Un profil colonne, c'est un ensemble de I valeurs numériques, c'est donc un point dans un espace à I dimensions. Dans cet espace, chaque dimension correspond à une modalité i de V1 et le long de cette modalité i, la coordonnée du profil colonne est fij/f.j. Il y a J profils colonnes qui constituent à eux tous le nuage N_J. À ce nuage, on ajoute le profil moyen G_J qui a donc comme coordonnée f_i point sur l'axe i. Ce profil moyen peut être considéré comme le centre de gravité du nuage à la condition d'affecter à chaque profil colonne j un poids égal à son effectif marginal ou plus exactement à sa probabilité marginale, c'est-à-dire ici f point j. Dans cet espace, on accorde une importance très grande à la distance entre un profil colonne et le profil moyen. Pour cela, on va mettre l'origine au centre de gravité. Pour calculer la distance dans cet espace, on utilise, comme dans le nuage des profils lignes, la distance du chi². Ici cette distance du chi² s'écrit de la façon suivante c'est une somme des carrés des différences des coordonnées mais chaque différence des coordonnées est pondérée par 1/Fi. Le centre de gravité du nuage, qui correspond au profil moyen, a pour coordonnée fi. et donc la distance entre le profil j et le profil moyen est simplement la racine carrée de cette quantité. Alors que se passe-t-il s'il y a indépendance? S'il y a indépendance, la probabilité conditionnelle est égale à la probabilité marginale, c'est-à-dire que dans chacun des nuages, tous les profils sont confondus avec le profil moyen. Autrement dit, le nuage dans ce cas est réduit à un seul point, l'origine des axes. Et donc plus les données s'écartent de l'indépendance et plus les profils s'écartent de l'origine. Calculons l'inertie du nuage N_I par rapport à son centre de gravité. L'inertie d'un nuage de points, c'est la somme des inerties de ces points. L'inertie d'un point, c'est la masse par le carré de distance, donc on a bien ici l'inertie du point i qui vaut fi point multiplié par le carré de la distance du chi² entre i et Gi. Lorsque l'on effectue les calculs, on obtient le résultat intermédiaire suivant qui n'est autre que le Phi² ou, si l'on préfère, le chi² sur n. Ainsi l'inertie du nuage de points est bien un indicateur d'intensité de l'écart à l'indépendance. Comme ce qui nous intéresse c'est d'étudier l'écart à l'indépendance, ceci revient à étudier l'inertie de Ni. Tel est le point de vue de l'analyse des correspondances. On peut faire le même raisonnement pour le nuage NJ et on a le résultat suivant: l'inertie du nuage NI est égale à l'inertie du nuage NJ. Ça c'est un résultat capital qui est englobé dans ce qu'on appelle la dualité, c'est-à-dire le caractère double. En fait, il revient au même, on l'a compris, d'analyser des tableaux en termes de lignes ou en termes de colonnes. Ceci est très important en analyse des correspondances. On s'aperçoit que, en analyse des correspondances, lignes et colonnes jouent des rôles parfaitement symétriques. C'est là une propriété très importante qui la distingue d'autres méthodes comme l'analyse en composantes principales par exemple. Nous avons traduit notre question initiale qui est celle de la liaison entre 2 variables qualitatives comme d'abord un écart à l'indépendance. Cet écart à la situation d'indépendance s'interprète géométriquement comme une inertie du nuage NI par rapport à l'origine des axes. Pour étudier cette inertie, comment procède l'analyse des correspondances? Elle décompose cette inertie par analyse factorielle. Ce qu'on appelle ici analyse factorielle, c'est le dénominateur commun à toutes les méthodes dites factorielles, à savoir l'analyse en composantes principales, l'analyse des correspondances bien sûr, l'analyse des correspondances multiples enfin. Et donc l'analyse factorielle procède de la façon suivante: elle projette un nuage de points sur une suite d'axes orthogonaux d'inertie maximum. Quand on a une suite d'axes, on peut apparier les axes et constituer ainsi des plans. Examinons comment on va trouver le premier plan. Alors la meilleure représentation plane du nuage NI s'obtient, comme on l'a dit, par projection donc sur un plan . On a ici le point Mi qui correspond au profil de i. Ce point Mi est projeté sur le plan en Hi. En fait, ce que l'utilisateur regarde, ce sont les points Hi et il espère que le point Hi n'est pas trop différent du point Mi pour pouvoir conclure. Quel est le critère que l'on utilise pour trouver le plan ? Ce que l'on cherche à bien représenter, rappelons-le, c'est l'inertie du nuage NI et ce que l'on cherche à maximiser, c'est l'inertie projetée. Examinons cette relation. On reconnaît ici l'inertie projetée du point i, c'est-à-dire la masse du point i, fi., par le carré de sa distance à l'origine. En intégrant le signe somme, on a bien l'inertie projetée du nuage N_I. Donc la question est de trouver le plan P qui rend maximum l'inertie projetée. On dit que l'on a un plan d'inertie maximum. Alors pour trouver ce plan, on va d'abord chercher un axe u1 d'inertie maximum puis un second axe u2 d'inertie maximum avec la contrainte que u2 doit être orthogonal à u1. On a donc apparié U1 et U2 pour avoir le plan . L'inertie d'un axe s sera notée lambda_s, lambda parce qu'il s'agit d'une valeur propre, s parce qu'il s'agit de la valeur propre de rang s, les valeurs propres étant rangées par ordre décroissant. Voici le graphique fourni par l'analyse des correspondances quand on l'applique à notre petit tableau de données. On a donc un graphique, plan, sur lequel se trouvent et les lignes et les colonnes. Pour les lignes, ce sont les points en bleu: seul le mari travaille, le mari a un travail plus absorbant que sa femme, les 2 conjoints travaillent également. Pour les colonnes, on a les points rouges: rester au foyer, travailler à mi-temps, travailler à plein temps. Quelles sont les règles d'interprétation? Un point sur lequel nous avons beaucoup insisté, c'est la distance au centre de gravité. Examinons par exemple le point travailler à mi-temps. Il est très proche du centre de gravité. Regardons le profil de travailler à mi-temps: 12%, 33% et 51%. Et ce profil, comparons-le maintenant au profil moyen. On voit qu'il est très proche: 12% contre 15%, 36% contre 32%, 51% contre 52%. On voit bien que le profil travailler à mi-temps est très proche du profil moyen, ce qui se concrétise par une proximité entre le point correspondant et l'origine. Si maintenant on choisit un autre point, par exemple travailler à plein temps, eh bien travailler à plein temps est assez loin de l'origine, ce qui veut dire que le profil de travailler à plein temps est différent du profil moyen. Examinons le profil de travailler à plein temps. Les femmes qui ont répondu travailler à plein temps, comment répondent-elles à la première question? Eh bien 33% d'entre elles ont choisi les 2 conjoints travaillent également alors que dans la population globale elles ne sont que 15% à avoir choisi cette modalité. Les 2 conjoints travaillent également. De même, si on regarde seul le mari travaille, elles ne sont que 29% à avoir choisi seul le mari travaille, toujours parmi celles qui ont répondu travailler à plein temps, alors que dans la population totale elles sont 52%. Donc un point important pour l'utilisateur est de nommer un axe. Alors comment nommer un axe? Ici considérons les éléments d'un ensemble, par exemple les points rouges. Ces points rouges s'ordonnent depuis rester au foyer, travailler à mi-temps, travailler à plein temps, depuis la modalité la plus défavorable au travail féminin jusqu'à la modalité la plus favorable. Maintenant si l'on regarde les points bleus, c'est-à-dire les lignes, eh bien on a aussi un ordre depuis la modalité la plus défavorable au travail jusqu'à la modalité la plus favorable au travail féminin. On peut dire que cet axe représente l'attitude à l'égard du travail féminin, depuis l'attitude la plus négative, rester au foyer et seul le mari travaille, jusqu'aux attitudes les plus positives, les 2 conjoints travaillent également, et travailler à plein temps. On s'aperçoit que l'interprétation de l'axe est intrinsèquement la même entre les lignes et les colonnes. Ça, c'est un résultat concret de ce que nous avons déjà appelé la dualité. On étudie le même tableau au travers des lignes et au travers des colonnes, mais c'est bien le même tableau que l'on analyse. Le tableau des données confronté à ce que l'on obtient si on avait exactement l'indépendance. Nous avons vu comment construire le nuage des lignes et le nuage des colonnes et comment projeter les nuages des lignes et le nuage des colonnes pour obtenir des représentations graphiques. Maintenant, en analyse des correspondances, comme dans toute analyse factorielle, les premiers indicateurs que l'on regarde sont les pourcentages d'inertie. Nous allons voir aussi dans cette section qu'en analyse des correspondances, les inerties sont également très particulières. Commençons par commenter les pourcentages d'inertie. Comme dans toute analyse factorielle, les pourcentages d'inertie sont les premiers indicateurs que l'on regarde. La question posée est la suivante: on a une représentation du nuage, quelle est la qualité de cette représentation? De façon générale, la qualité de représentation est mesurée par le rapport inertie projetée sur inertie totale. Généralement, ce rapport est multiplié par 100 pour l'exprimer en pourcentage. Dans le cas particulier du nuage NI et de l'axe de rang s, la qualité de représentation du nuage NI sur l'axe de rang s sera donc l'inertie projetée de Ni sur Us divisée par l'inertie totale de Ni. Ceci peut s'écrire avec les notations utilisées précédemment lambda_s sur la somme des lambda_k. Généralement ceci, comme il a été dit, est exprimé en pourcentage. Examinons les pourcentages d'inertie de l'exemple. On voit que pour le premier axe, le pourcentage d'inertie est de 86%. Ce qui est très important. On pourra donc dire que le premier axe représente 86% de l'écart à l'indépendance. On pourra considérer ce pourcentage comme grand et dire que le premier axe résume bien l'écart à l'indépendance et donc on pourra se limiter à cet axe dans l'interprétation. Propriété: les inerties projetées, c'est-à-dire les valeurs propres, s'additionnent d'un axe à l'autre. Ceci tient au fait que les axes sont orthogonaux. Donc la somme de toutes les valeurs propres, de toutes les inerties projetées si on préfère, est égale à l'inertie totale du nuage NI. Ce qui est vrai pour toutes les analyses factorielles. Dans le cas particulier de l'analyse des correspondances, cette inertie totale est égale au Phi². On peut faire un petit calcul dans le cas de l'analyse des correspondances sur notre jeu de données exemple. On multiplie l'inertie totale de 0.135 par n, la somme du tableau, qui vaut 1724 et on tombe sur un Chi² qui vaut 233. Compte tenu du nombre de degrés de liberté, la probabilité critique est de 10⁻⁴⁹. Donc extrêmement petite. La significativité de la liaison entre nos 2 variables est bien entendu hors de doute dans cet exemple. À ces 2 premiers points concernant les pourcentages d'inertie s'en ajoute un 3ème: la décroissance des inerties en fonction du rang s des axes suggère le nombre d'axes à conserver. Nous montrons ici la décroissance des valeurs propres d'une AFC effectuée sur un tableau de contingence croisant 10 vins blancs du Val-de-Loire décrits par 30 mots. Les 10 vins blancs du Val-de-Loire sont en lignes, les mots sont en colonnes et xij est le nombre de fois que le mot j a été associé au vin i. Quand on regarde la séquence des valeurs propres avec un diagramme en barres, on observe que les 2 premières valeurs propres sont sensiblement plus grandes que les suivantes. Les 2 premiers axes sont donc prépondérants du point de vue de l'inertie, ce qui suggère d'interpréter de façon privilégiée le plan constitué par ces 2 premiers axes. En analyse des correspondances, il convient de bien distinguer les inerties des pourcentages d'inertie car les inerties sont très particulières. Elles constituent une composante du Phi² qui est cet indicateur de liaison globale entre 2 variables mises en correspondance. En analyse des correspondances, le résultat théorique suivant est très important: les valeurs propres sont toujours comprises entre 0 et 1. Rappelons qu'en analyse en composantes principales, quand les variables sont normées, il en va différemment puisque la 1ère valeur propre, elle, est automatiquement supérieure ou égale à 1. Que signifie en analyse des correspondances une valeur propre égale à 1? Ce cas limite est tout à fait intéressant. Et à quelle structure correspond-il? Eh bien voici la structure à laquelle il correspond. On peut séparer les lignes en 2 blocs I1 et I2. Les colonnes peuvent être aussi séparées en 2 blocs J1 et J2. Et cette double partition est le lieu d'une association exclusive, c'est-à-dire que les lignes du bloc I1 s'associent uniquement à J1. Et absolument pas à J2 et les lignes du bloc I2 s'associent exclusivement à J2 et absolument pas à J1. C'est bien la marque d'une liaison très forte puisque l'on a une association exclusive entre les modalités d'une variable et les modalités de l'autre. Du point de vue graphique, on va obtenir le graphique suivant. L'axe correspondant à une valeur propre égale à 1 oppose parfaitement le bloc I1 et I2, c'est-à-dire qu'à l'intérieur de I1 on ne fait aucune distinction Et il oppose parfaitement J1 et J2. À l'intérieur de J1, on ne fait aucune distinction. Ces inerties qui sont très particulières, on va les regarder sur un autre jeu de données. Il s'agit de données concernant la reconnaissance de 3 saveurs: le sucré, l'acide, l'amer. Le plan d'expérience est le suivant: pour chaque saveur, on a demandé à 10 personnes de reconnaître la saveur d'une solution qui leur était présentée. Voici le petit tableau de données. Lisons-le par ligne: la solution sucrée a été perçue 10 fois comme sucrée et jamais comme acide, jamais comme amère. La solution acide n'a jamais été perçue comme sucrée, par contre elle a été perçue 9 fois comme acide et 1 fois comme amère. Lorsqu'on réalise l'analyse des correspondances de ce tableau, on obtient une 1ère valeur propre de 1 qui est la marque de la structure bloc-diagonale que nous avons déjà citée. Effectivement, reportons-nous au tableau. Quand on regarde la 1ère ligne et la 1ère colonne, on a bien le sucré qui est perçu uniquement comme sucré et la perception sucrée, là je m'intéresse à la colonne, n'est associée qu'au sucré. On a donc une valeur propre de 1. Le graphique correspondant oppose donc parfaitement d'un côté sucré et perçu sucré, ces 2 points sont confondus, à de l'autre côté amer, perçu amer, acide et perçu acide qui sont parfaitement confondus. Examinons maintenant le 2ème axe de cette analyse des correspondances. Ce 2ème axe oppose d'un côté amer et perçu amer à de l'autre acide et perçu acide. Il exprime que, dans l'ensemble, amer est plutôt perçu comme amer et acide est plutôt perçu comme acide. C'est bien ce qui se passe. Néanmoins, quand on regarde sur le tableau, il y a une confusion: acide n'est pas toujours perçu comme acide, amer n'est pas toujours perçu comme amer. Comment pouvons-nous déceler cette confusion? Tout simplement par la valeur propre. Si on n'avait aucune confusion, on aurait une valeur propre de 1. Or la valeur propre vaut seulement 0.375. Cette valeur propre de 0.375, beaucoup plus petite que 1, nous indique qu'il y a une confusion entre amer et acide. C'est-à-dire que de temps en temps amer est perçu acide et acide est perçu amer. Sur ce graphique, cette confusion est parfaitement perceptible parce que sur le premier axe on a une situation de référence avec une situation parfaite sans confusion. Et on voit bien que l'opposition sur le premier axe entre sucré d'une part et amer-acide d'autre part correspond à une inertie beaucoup plus grande que l'opposition entre acide et amer. Acide et amer sont beaucoup plus proches entre eux qu'ils ne sont proches de sucré. Donc sur ce graphique, on voit bien qu'il y a une plus grande confusion entre acide et amer qu'entre acide-amer d'une part et sucré d'autre part. On peut examiner un autre tableau dans lequel on a augmenté la confusion. C'est-à-dire que cette fois, dans ce tableau, l'acidité a été perçue seulement 7 fois comme acide et non pas 9 fois comme précédemment et l'amertume a été perçue que 5 fois comme amère. Examinons les résultats de cette analyse. On trouve toujours une première valeur propre de 1 qui nous indique que le sucré est parfaitement reconnu. Par contre, la valeur propre de l'axe 2 cette fois n'est plus de 0.375 mais de 0.04. Examinons le graphique. Le graphique ressemble tout à fait au précédent, c'est-à-dire que le premier axe montre le rôle particulier du sucré et le deuxième axe oppose acide et amer. Simplement l'écart entre acide et amer est beaucoup plus petit que dans le cas précédent. Et c'est cette opposition entre acide et amer, qui se marque par une distance plus petite, qui est bien la conséquence de la plus grande confusion entre acide et amer. Finalement cette valeur propre de 0.04 associée au deuxième axe nous indique le degré de confusion entre acide et amer. Et dans le cas extrême où on n'aurait aucune confusion, avec un tableau diagonal, on aurait 2 valeurs propres égales à 1. Quel bilan pouvons-nous tirer de ces 2 exemples? On s'aperçoit que, dans chacun des exemples, le 2ème axe est toujours le même: il oppose d'une part amer et perçu amer à d'autre part acide et perçu acide. On peut dire que dans ces 2 cas le 2ème axe est pratiquement le même. Il a la même signification. Il indique simplement que amer est globalement plutôt perçu amer et acide est globalement plutôt perçu acide. Maintenant, d'un exemple à l'autre, ce globalement n'a pas du tout la même force puisque dans le premier cas on peut dire que la reconnaissance est bonne, dans le deuxième cas elle est plutôt médiocre. Cela nous montre que le graphique nous indique l'opposition entre acide et amer mais il ne nous dit rien quant à la force de cette opposition. C'est la valeur propre qui va nous dire si cette opposition est très forte ou pas. Si elle vaut 1, cette opposition est tout à fait drastique si on peut dire, c'est-à-dire qu'elle est le lieu d'une association exclusive. Si par contre cette valeur propre est assez faible, c'est le cas du 2ème exemple dans lequel cette valeur propre valait 0.04, eh bien dans ce cas-là on a à peine une petite reconnaissance majoritaire puisque la mère n'est reconnue que dans la moitié des cas et la cible dans 7 cas sur 10. Cela signifie qu'il faut toujours commencer par regarder les valeurs propres en analyse des correspondances. Car ces valeurs propres nous indiquent si les associations que l'on va mettre en évidence sont très nettes ou sont peu nettes dans les données. Le graphique ne nous dit rien à ce sujet puisqu'il ne parle pas d'intensité de liaison mais nous indique simplement la nature de la liaison. Ici la nature de la liaison c'est acide s'associe plutôt à perçu acide et amer s'associe plutôt à perçu amer. Revenons aux données sur le travail féminin. Nous avons déjà commenté le premier pourcentage d'inertie de 86%. En disant qu'il était important et qu'il nous incitait à conserver uniquement le premier axe dans l'interprétation. L'inertie elle-même est de 0.117, ce qui peut être considéré comme faible puisque très sensiblement inférieur à 1. Cette valeur 1 correspondant quant à elle à une association exclusive entre modalités, par exemple entre rester au foyer et seul le mari travaille. On est donc très loin de cette association exclusive. Effectivement, parmi les femmes qui ont répondu seul le mari travaille, un grand nombre a répondu autre chose que rester au foyer. Si l'on regarde maintenant la somme de ces inerties, comme on sait qu'en analyse des correspondances cette somme correspond au Phi², cette somme vaudrait au maximum 2 si chacune des inerties valait 1. On est donc ici encore bien entendu très loin du maximum. Dans ce tableau, on peut dire que l'on est très très loin d'une association exclusive entre les modalités des 2 variables. Alors revenons maintenant sur l'interprétation du graphe de l'AFC afin d'introduire une caractéristique essentielle en analyse des correspondances. Pour l'instant, nous avons commenté le graphe en considérant d'une part les lignes et d'autre part les colonnes. L'analyse des correspondances permet une représentation simultanée des lignes et des colonnes. Dans son principe, cette représentation simultanée est possible car lignes et colonnes sont des éléments de même nature: il s'agit de modalités de variables qualitatives. La représentation simultanée des lignes et des colonnes fonctionne en analyse des correspondances grâce à des relations qu'on appelle relations de transition ou encore propriétés barycentriques. Voici ici cette relation de transition concernant l'axe de rang s. Précisons les différents termes de cette relation: f_s,i est la coordonnée de la ligne i le long de l'axe de rang s, g_s,j est la coordonnée de la colonne j le long de l'axe de rang s. Donc on voit que l'on sait relier les coordonnées des lignes aux coordonnées des colonnes. Plus précisément, comme il y a un signe somme sur les j, on sait exprimer la coordonnée d'une ligne rapport aux coordonnées de toutes les colonnes. fij sur fi., c'est le jème terme du profil. Donc on est en train de faire une somme sur les j, donc une somme sur toutes les colonnes, des coordonnées des colonnes pondérées par les éléments du profil i. Donc on fait en quelque sorte une moyenne des coordonnées des colonnes et dans cette moyenne une colonne j intervient d'autant plus qu'elle a une forte probabilité conditionnelle pour le profil i. Une fois qu'on a calculé ces centres de gravité, Ces barycentres, si on veut, on les dilate puisque le coefficient 1 sur racine de lambda S est par construction plus grand que 1. On peut formuler cette relation de transition de la façon suivante: la ligne i est au barycentre de toutes les colonnes, chaque colonne étant affectée du poids fij sur fi point qui est le jème terme du profil ligne i. Cette propriété barycentrique concrètement, on va la traduire ainsi de façon simplifiée. Une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus. C'est-à-dire que si fij sur fi point est très grand, alors Gsj compte beaucoup dans le calcul de la coordonnée de i. En analyse des correspondances, lignes et colonnes jouent des rôles symétriques donc si on permute les rôles joués par les lignes et les colonnes, on obtient la seconde propriété barycentrique. Concrètement, une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus. Cette double propriété barycentrique— une ligne est du côté des colonnes auxquelles elle s'associe le plus et une colonne est du côté des lignes auxquelles elle s'associe le plus— cette double propriété barycentrique donc permet une utilisation de la représentation simultanée et c'est ce qui en fait sa richesse. Appliquons maintenant ces propriétés barycentriques à un jeu de données que nous avons déjà utilisé, celui de la reconnaissance des saveurs fondamentales. Nous considérons ici 2 réalisations du jeu de données. L'un dans lequel il y a peu de confusion entre acide et amer puisqu'on a 3+ 1= 4 confusions sur 20 données et un autre cas dans lequel il y a plus de confusions, 5+ 3= 8 confusions, c'est-à-dire 40% de confusion, 20% de confusion à gauche, 40% à droite. Les résultats de l'analyse des correspondances de ces 2 tableaux, on les a déjà commentés. La 1ère valeur propre vaut 1, c'est la conséquence de l'association exclusive entre sucré et perçu sucré. Alors quelles conséquences sur les propriétés barycentriques? Rappelons la propriété barycentrique: si lambda_s vaut 1, cela veut dire qu'une colonne va être à l'exact barycentre des lignes. Alors prenons par exemple perçu sucré. Perçu sucré est rigoureusement confondu avec sucré parce qu'il ne s'associe qu'avec sucré. De l'autre côté, on a, le long du premier axe, amer, acide, perçu amer, perçu acide qui ont exactement la même coordonnée. Perçu amer est donc bien à l'exact barycentre de sucré, amer et acide puisqu'il ne s'associe jamais avec sucré. Examinons maintenant le 2ème axe. Le 2ème axe met en évidence une association privilégiée entre amer et perçu amer d'une part et acide et perçu acide d'autre part et cela dans les 2 cas. La disposition relative de ces 4 points est rigoureusement identique entre la situation de gauche et la situation de droite. Ce qui nous montre que cette disposition relative des points nous donne des informations sur la nature de la liaison quelles sont les modalités qui s'associent entre elles, mais ne nous dit rien sur l'intensité de la liaison. Est-ce que cette association est forte, très forte, voire quasiment exclusive Si l'on veut avoir des informations sur l'intensité de la liaison, alors il faut regarder les valeurs propres qui sont relativement élevées dans un cas et très faibles dans l'autre . La plus grande valeur propre indique qu'on a une liaison beaucoup plus forte. On est cependant loin d'une association exclusive auquel cas on aurait une valeur propre de 1. Analysons maintenant de façon précise comment fonctionne la propriété barycentrique en effectuant un grossissement des coordonnées le long du 2ème axe concernant les points acide et amer. Dans cette propriété barycentrique, on calcule d'abord le barycentre et une fois qu'on a les barycentres, on les dilate avec le coefficient 1 sur racine de lambda_s. Prenons comme exemple la construction du point perçu amer. Perçu amer dans un premier temps va être le barycentre des points acide et amer avec les coefficients 1 et 7. Donc si l'on calcule le barycentre d'acide et amer avec les coefficients 1/8 et 7/8, on tombe sur le point rouge qui est beaucoup plus proche du point amer que du point acide. Effectuons maintenant le même calcul dans le cas de droite. On va calculer le barycentre entre acide et amer avec cette fois les coefficients 3 et 5. On obtient un rond rouge qui est cette fois du côté d'amer mais assez légèrement dans le rapport 3 et 5. On voit que si l'on regarde les barycentres, on a bien l'idée de l'intensité de la liaison. Que fait l'analyse des correspondances ensuite? Elle multiplie ces coordonnées par 1 sur racine de lambda_s. Cette valeur 1 sur racine de lambda_s est très différente d'un cas à l'autre puisqu'elle vaut 1.6 dans le premier cas et 4.9 dans le second cas. Autrement dit, le nuage des barycentres va être beaucoup plus dilaté dans le cas de droite, lorsqu'on a une faible liaison, que lorsqu'on a une forte liaison. De cette façon, l'analyse des correspondances gomme l'effet de l'intensité de liaison pour ne garder que la nature de la liaison. On peut se demander pourquoi on fait ceci. La première raison évidente, c'est qu'on a exactement la même relation entre une ligne et l'ensemble des colonnes et une colonne par rapport à l'ensemble des lignes. On a bien ici le rôle symétrique joué par les lignes et les colonnes. Une autre façon de voir les choses est de dire: si on regarde les barycentres, dans le cas de liaisons faibles, on va avoir beaucoup de mal à déceler des associations. Aussi l'analyse des correspondances va grossir le graphique, un peu à la façon d'un microscope, pour mettre en évidence les associations. En conclusion, on peut dire que l'analyse des correspondances ne dit rien sur la significativité de la liaison. Elle travaille sur les probabilités, on l'a dit. L'intensité de la liaison, elle est visible dans les valeurs propres et la nature de liaison dans les positions relatives des points. Utilisons la double propriété barycentrique sur le jeu de données du travail des femmes. Considérons le point seul le mari travaille. Seul le mari travaille correspond à un profil ayant pour termes 26.5, 63.1, 10.3. C'est donc le barycentre des points rouges affectés de ces nombres. Seul le mari travaille a un plus fort poids pour rester au foyer que pour travailler à mi-temps . Donc seul le mari travaille va aller du côté de rester au foyer. C'est bien ceci la propriété barycentrique: un point ligne va du côté des colonnes auxquelles il s'associe le plus. Si maintenant on regarde les 2 conjoints travaillent également, on a le résultat suivant: les 2 conjoints travaillent également s'associent beaucoup plus à travailler à plein temps qu'à rester au foyer. D'où le point les 2 conjoints travaillent également du côté de travailler à plein temps. Grâce aux propriétés barycentriques, nous pouvons donc maintenant interpréter simultanément les points rouges et les points bleus, c'est-à-dire les lignes et les colonnes. Le premier axe est un axe d'attitude à l'égard du travail féminin qui classe les modalités des 2 questions depuis la plus défavorable au travail féminin jusqu'à la plus favorable au travail féminin. Ça ressemble tout à fait à ce qu'on disait en analysant séparément les points lignes et les points colonnes. Sauf que maintenant on examine simultanément les points rouges et les points bleus. Alors regardons par exemple les 2 conjoints travaillent également et travailler à plein temps. Ce sont 2 modalités favorables au travail féminin et on peut considérer qu'elles sont favorables au travail féminin de façon équivalente. Si maintenant par contre on regarde rester au foyer et seul le mari travaille, ce sont bien des modalités qui sont défavorables au travail féminin et qui témoignent d'une attitude négative à l'égard du travail féminin. Mais le plan de l'analyse des correspondances nous suggère que rester au foyer témoigne d'une attitude plus défavorable à l'égard du travail féminin que seul le mari travaille puisque sa coordonnée est plus extrême. On a là un résultat tout à fait intéressant. L'analyse des correspondances classe les modalités des 2 questions et finalement on peut dire que les 2 modalités les plus favorables sont à peu près équivalentes mais qu'il n'en est pas de même pour les modalités les plus défavorables. Est-ce qu'on peut retrouver dans les données pourquoi l'analyse des correspondances suggère que rester au foyer est plus défavorable à l'égard du travail féminin que seul le mari travaille? Examinons rester au foyer. On voit que le profil de rester au foyer est très particulier. Pratiquement toutes les personnes qui ont répondu rester au foyer ont répondu seul le mari travaille. Donc quand on a répondu rester au foyer, on est pratiquement sûr d'avoir répondu aussi seul le mari travaille. On cumule donc 2 réponses négatives à l'égard du travail féminin. En revanche, lorsque l'on regarde les modalités de réponse des femmes qui ont répondu seul le mari travaille à l'autre question, eh bien ces réponses sont partagées. Ces femmes ont répondu de façon importante rester au foyer mais elles ont aussi, par exemple, beaucoup répondu travailler à mi-temps et de façon non négligeable travailler à plein temps. On voit donc que le profil rester au foyer est beaucoup plus remarquable que le profil seul le mari travaille. C'est bien ce que l'analyse des correspondances a détecté. On peut essayer de quantifier cette impression, c'est-à-dire que dans l'espace RI, on peut regarder la distance de la modalité rester au foyer au centre de gravité. On trouve 0.4. La valeur absolue n'est pas facile à interpréter mais dans l'espace RJ, quand on regarde la distance de seul le mari travaille au centre de gravité, on trouve 0.1. Et là par contre il est possible de comparer les 2. Donc on voit bien que rester au foyer est beaucoup plus remarquable, c'est-à-dire concrètement est beaucoup plus loin de l'origine. Examinons maintenant les aides à l'interprétation classiques que sont la qualité de représentation et la contribution. Ces aides sont communes aux différentes méthodes d'analyse factorielle. La qualité de représentation d'un point se mesure à partir du même indicateur que pour un nuage, c'est-à-dire l'inertie projetée du point divisée par l'inertie totale du point. Cet indicateur montre dans quelle mesure l'écart du profil au profil moyen est complètement représenté par l'axe. Reprenons l'interprétation géométrique. Le point Mi qui représente le profil i est projeté sur Us en un point His. Pour calculer la qualité de représentation du profil i par l'axe de rang s, on calcule donc le rapport inertie projetée de Mi sur Us divisé divisé par l'inertie totale de mi, ce qui donne fi point que multiplie OHis² divisé par fi point que multiplie Omi². Les fi points s'éliminent, cela signifie que la qualité de représentation ne dépend pas du poids. Ce que l'on voit, c'est que ce rapport n'est rien d'autre que le cosinus carré de l'angle entre Omi d'une part et Us d'autre part. Cette interprétation en termes de cosinus correspond bien à la question. Dans quelle mesure l'écart entre le profil et le profil moyen est bien représenté par l'axe? Est-ce que le point Mi va bien dans la même direction que l'axe? Examinons les qualités de représentation sur le petit jeu de données des saveurs dans lesquelles il y a une confusion importante entre acide et amer. Examinons le point acide. Acide a une qualité de représentation de 0.89 sur le premier axe et 0.11 sur le second. Cela signifie que le point acide s'écarte du point moyen beaucoup plus le long de l'axe 1 que le long de l'axe 2. Effectivement, le long de l'axe 1, on voit qu'acide ne s'associe jamais avec perçu sucré alors que le long de l'axe 2, acide s'associe quelquefois à perçu amer. Donc l'écart au profil moyen est beaucoup plus exprimé sur le premier axe que sur le second. En pratique, la qualité de représentation est utilisée de la manière suivante: Lorsqu'on a beaucoup de points, pour commencer une interprétation, on sélectionne quelques points qui ont à la fois des coordonnées remarquables, c'est-à-dire qui sont éloignées le long de l'axe que l'on étudie, et à la fois qui ont une bonne qualité de représentation. Ainsi on sélectionne des points qui vont nous aider à bien interpréter puisqu'il sera facile de retrouver dans les données la signification de l'axe sachant que l'essentiel de l'écart entre le profil étudié et le profil moyen s'exprime sur l'axe. La seconde aide à l'interprétation classique qui est commune à toutes les méthodes factorielles est la notion de contribution. Pour calculer la contribution d'un point i à l'inertie d'un axe s, on calcule d'abord un indicateur brut qui est l'inertie projetée du point, soit avec nos notations fi. que multiplie OHis². Cet indicateur brut est ramené en pourcentage en divisant par l'inertie totale de l'axe que nous avons déjà notée lambda_s. La multiplication par 100 de ce rapport permet une expression commode en pourcentage. On peut additionner les contributions de plusieurs éléments, c'est-à-dire calculer la contribution non pas d'un élément mais de 2 ou 3 éléments à la construction d'un axe. À quoi servent les contributions? Elles indiquent dans quelle mesure on peut considérer qu'un axe est dû à un élément ou à quelques éléments. Si par exemple, pour un axe donné, on retrouve qu'un élément contribue à 90% à à l'inertie de cet axe, on pourra limiter l'interprétation de cet axe à cet élément. Alors quand une contribution est-elle grande? Elle est grande si à la fois la distance OHis est assez grande et si la masse fi. est assez grande. En ce sens, on peut dire que la contribution réalise un compromis opérationnel entre distance à l'origine et poids. Compromis opérationnel, c'est-à-dire que les contributions sont généralement utilisées dans le cas de grands tableaux pour sélectionner un sous-ensemble d'éléments pour commencer l'interprétation. On va ainsi sélectionner un ensemble d'éléments très contributifs. L'idéal étant de trouver un ensemble d'éléments qui soit à la fois très contributif et bien représenté. Illustrons la notion de contribution sur un exemple. Pour cela, nous n'utilisons pas les exemples précédents car dans ces exemples précédents, les effectifs marginaux des lignes comme des colonnes sont très peu différents voire pas du tout différents. Nous avons construit ici un petit tableau dans lequel les effectifs marginaux des lignes sont très différents. On remarque ici que les effectifs marginaux de A et de D sont plus de 10 fois plus petits que les effectifs marginaux de B et de C. On réalise l'analyse des correspondances de ce tableau et on obtient les résultats suivants. Le premier axe est prépondérant avec 83% de l'inertie et nous allons nous y limiter. Il oppose les colonnes X1 à X4. X1 étant caractérisé par les lignes A et B, X4 étant caractérisé par les lignes C et D. Le long de cet axe, les coordonnées de A et de D sont extrêmes par rapport à B et C. Elles sont beaucoup plus grandes. Examinons les contributions. Quand on regarde ce tableau de contributions, on voit que les contributions de B et C sont plus importantes que les contributions de A et D, bien que ces derniers aient des coordonnées plus extrêmes. La raison tient dans les effectifs marginaux: B et C ont certes des coordonnées plus faibles mais ils ont des poids beaucoup plus élevés. On voit sur cet exemple l'intérêt d'examiner les contributions en complément des graphiques de l'analyse des correspondances. Tempérons toutefois ceci en disant que dans notre exemple on a de très grandes différences d'effectifs marginaux qui vont de 1 à 10 et même plus que cela. On en conclura que, en analyse des correspondances, Si l'on a des différences d'effectifs marginaux très importantes, la consultation des contributions est indispensable. En revanche, si les effectifs marginaux sont peu différents, la consultation des contributions apporte très peu par rapport aux coordonnées, les coordonnées représentant bien les contributions. Mentionnons ici une propriété tout à fait remarquable de l'analyse des correspondances. Cette propriété s'appelle l'équivalence distributionnelle. Elle est particulièrement précieuse dans l'analyse de tableaux lexicaux. Si 2 lignes ou 2 colonnes ont exactement le même profil, on peut avoir envie de les regrouper. Quand on regroupe celles-ci, on n'a donc plus qu'une seule ligne. On a remplacé les 2 lignes par une seule en additionnant les effectifs. On peut alors se poser la question: quel tableau faut-il analyser? L'analyse des correspondances du 1er tableau ou du 2ème tableau? L'équivalence distributionnelle nous dit que ces 2 analyses conduisent exactement au même résultat. Ceci est très important lors de l'analyse de tableaux lexicaux. Et cela dépassionne tout à fait le débat faut-il ou non regrouper les mots au singulier ou au pluriel, les conjugaisons de verbes, certains mots synonymes, etc. Grâce à l'équivalence distributionnelle, on sait que si ces mots ont le même profil, il revient au même de les regrouper ou non. Et bien entendu, s'ils n'ont pas le même profil, il ne faut pas les regrouper car ils véhiculent des notions différentes. Terminons cet exposé par quelques considérations sur le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls. En analyse des correspondances. Prenons le point de vue du nuage des lignes comportant I points dans un espace à J dimensions. Comme il y a J dimensions, on peut penser dans un premier temps que l'on peut extraire J axes d'inertie non nuls. En fait, il n'en est rien car ce que nous analysons ce sont des profils. Les profils ont une particularité, c'est que la somme des coordonnées vaut 1. Le nuage est donc inclus dans un sous-espace de dimension J-1. Ainsi, le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls est inférieur ou égal à J-1. Si on adopte maintenant le point de vue du nombre de points, il nous faut représenter I points. Si on a 2 points, on peut les représenter par un seul axe. De façon plus générale, on saura parfaitement représenter à coup sûr I points avec au plus I-1 dimensions. Finalement, le nombre maximum d'axes d'inertie non nuls en analyse des correspondances est inférieur au minimum des 2 nombres suivants: le nombre de lignes- 1 et le nombre de colonnes- 1. Ainsi, dans l'exemple sur le travail féminin, comme nous avions un tableau avec 3 lignes et 3 colonnes, on était sûr, avec 2 axes, d'avoir un pourcentage d'inertie de 100%. Quelles conséquences pour le Phi² qui est égal à la somme des valeurs propres sachant que ces valeurs propres sont toutes inférieures ou égales à 1? Le Phi² est nécessairement inférieur ou égal au nombre maximum d'axes d'inertie non nuls, c'est-à-dire le minimum des 2 nombres suivants i-1 et j-1. D'où l'idée de rapporter ce phi² à sa valeur maximum. On obtient ainsi un indicateur qu'on appelle le V de Cramer qui est un indicateur compris entre 0 et 1 et qui mesure l'intensité de la liaison entre les 2 variables qualitatives. On a donc 2 indicateurs d'intensité de liaison: le phi² et le V de Cramer. Ils sont très proches, le V de Cramer a l'avantage de varier entre 0 et 1. Alors calculons ce V de Cramer pour le travail féminin. On trouve 0,06, c'est une valeur faible qui nous indique que l'on est très très loin d'une association exclusive entre modalités. Si l'on calcule maintenant ce même indicateur, le V de Cramer, sur les tableaux des 3 saveurs, on trouve des valeurs de 0,69 et 0,52, considérablement plus élevées, ce qui signifie qu'on a une liaison assez étroite entre les 2 variables. Quel bilan pouvons-nous tirer de l'exemple sur le travail féminin? Même sur des données de petite taille, l'analyse des correspondances apporte une visualisation synthétique de l'écart à l'indépendance qui aide la compréhension du tableau. Ceci sera vrai a fortiori avec de grands tableaux. Alors dans ces données, 2 points: l'essentiel de l'écart à l'indépendance est structuré par l'attitude à l'égard du travail féminin. 2ème point, la position des modalités le long de l'échelle d'attitude éclaire leur signification. Alors on a parlé des modalités extrêmes, on peut aussi parler des modalités moyennes. La proximité de travailler à mi-temps avec le profil moyen suggère que cette modalité est neutre, à la différence de l'autre modalité moyenne qui elle est plutôt favorable à l'égard du travail féminin. Ceci explique sans doute le très grand effectif de travailler à mi-temps. Il s'agit d'une modalité neutre que les enquêtés ont souvent tendance à choisir pour ne pas finalement émettre une opinion trop marquée. Conclusion sur cet exposé. Pour étudier la liaison entre 2 variables qualitatives, on construit un tableau de contingence. Ça c'est la base. La liaison réside dans l'écart entre le tableau de contingence et le modèle d'indépendance. L'analyse des correspondances construit un nuage des lignes et un nuage des colonnes dont l'inertie totale mesure l'intensité de l'écart à l'indépendance. Elle décompose cette inertie totale sur une suite de directions d'importance décroissante représentant chacune un aspect synthétique de la liaison entre les 2 variables. Enfin, l'AFC fournit une représentation simultanée des lignes et des colonnes dans laquelle la position d'un point reflète sa participation à l'écart à l'indépendance. Pour aller plus loin, on consultera 2 livres présentant l'analyse des correspondances dans le même esprit que cette vidéo.