Cours sur les plans d'expériences : les plans fractionnaires

Je vais vous présenter aujourd'hui un cours sur la planification expérimentale. Donc c'est un cours un petit peu différent de ce que vous avez l'habitude de voir pour l'instant, dans le sens où il n'y a pas d'inférence. Donc on n'est pas en train de faire des— prendre des données et d'essayer d'extrapoler les résultats qu'on a observés sur nos données sur une population plus large. Là, l'objectif du cours, c'est au contraire d'essayer de voir Quelles observations est-ce qu'on va pouvoir utiliser? Donc quelles expériences est-ce qu'on va pouvoir faire pour récupérer des données? Donc ce cours en fait arrive après les cours de régression, après les cours d'analyse de variance, mais en fait ils sont utiles avant d'avoir fait les expériences. Donc on se pose la question, quelle expérience réaliser? Quand on veut répondre à une problématique, quelle expérience réaliser? Ensuite on va réaliser les expériences et ensuite on va traiter les résultats. Donc vous avez déjà vu comment traiter les résultats avec la régression, avec des analyses de variance. Alors pourquoi ce cours arrive après les autres cours? Bien parce qu'en fait on a besoin de savoir comment utiliser les résultats des expériences, dans quelles conditions est-ce que les résultats sont intéressant, dans quelles conditions est-ce que les estimateurs sont bons pour pouvoir choisir correctement les expériences. Alors maintenant, pourquoi on a un cours de plan d'expérience alors que dans beaucoup d'écoles en statistiques qui forment des ingénieurs statisticiens, il n'y a pas forcément de cours de planification expérimentale? Eh bien parce qu'en fait, la planification expérimentale est très utilisée en agronomie. Alors, 2 petits exemples. Je sais pas si vous connaissez ce genre d'animal, c'est ce qu'on appelle des vaches à hublots en sciences animales, où ils s'intéressent par exemple à la digestion des vaches, et pour pouvoir voir ce qui se passe dans l'intestin de la vache, eh bien il y a un hublot dans la vache. Alors vous vous doutez bien qu'on va pas pouvoir faire des millions d'expériences, parce qu'on va pas pouvoir avoir énormément de vaches, donc les expériences seront coûteuses, il va bien falloir choisir les expériences. Autre situation en sciences du végétal, on voit ici des parcelles et on voit bien qu'on va pas pouvoir faire des expérimentations sur des milliers de parcelles parce que, eh bien, ça va coûter cher et ça va être difficile. Donc ces expériences sont très utiles en agronomie et d'ailleurs le père des plans d'expériences est quelqu'un que vous connaissez déjà qui est Ronald Fisher. Vous avez bien entendu parler de sa loi. Et de l'analyse de variance. Donc il avait mis ça au point dans les années 1920 environ, et il s'était intéressé également aux plans d'expérience. Donc c'était quelqu'un qui travaillait en statistiques et en agronomie, en génétique aussi, enfin il a fait beaucoup de choses, mais il a beaucoup contribué à l'amélioration des statistiques en agronomie. Donc nous on va s'intéresser à quelle expérience réaliser pour pouvoir mieux comprendre un phénomène. En général, les phénomènes qu'on cherche à comprendre sont de plus en plus complexes, on cherche à comprendre de plus en plus de choses et donc on a besoin de faire beaucoup d'expériences. Alors je vais prendre un autre exemple d'utilisation des plans d'expériences, donc ça c'est un exemple qui vient d'un stage d'une étudiante il y a quelques années, qui était en recherche et développement, donc en agroalimentaire, il y a également beaucoup de plans d'expérience en agroalimentaire, et l'objectif de son stage c'était d'essayer de comprendre pourquoi les galettes de sarrasin, vous savez qui sont sous cellophane là, qu'on achète en supermarché, eh bien quand on les déplie souvent elles se déchirent. Et l'objectif de son stage c'était d'essayer de comprendre pourquoi elles se déchiraient pour améliorer le process et avoir moins de galettes qui se déchirent. Donc l'objectif, c'est de réduire la proportion de galettes qui se déchirent lorsqu'on les déplie. Et donc avec les maîtres de stage, eh bien, ils ont regardé quels étaient les facteurs qui pouvaient influencer le nombre de galettes qui se déchirent quand on les déplie. Alors, ils ont déterminé comme ça plusieurs variables, donc par exemple la quantité d'eau la température de la plaque, l'étalement de la pâte, etc. Et pour chacune de ces variables, chacun de ces facteurs, eh bien ils se sont dit qu'ils allaient tester 2 niveaux, 2 modalités. Pour la quantité d'eau, eh bien une quantité d'eau à 45% ou une quantité d'eau à 55%. Pour la température de la plaque, la température de la plaque à 180° ou à 220°. L'étalement de la pâte automatique ou à la main, la quantité de pâte pour chaque galette 55 g ou 65 g, une farine bio ou non bio, le pliage de la galette à chaud ou à froid et la température de stockage une fois que les galettes étaient cuites à 6 degrés ou 15 degrés. Donc il y a en tout 7 facteurs qui potentiellement peuvent influencer le nombre de galettes qui se déchirent, et pour chacune de ces variables, eh bien, ils se sont intéressés à 2 modalités. D'accord? Donc quelle expérience réaliser? Pour déterminer les facteurs influents, la première solution c'est de se dire, eh bien, on va faire toutes les expériences possibles et comme ça on verra bien quels sont les facteurs qui influent le plus sur les le résultat. Donc, première solution qui est la plus intuitive: faire toutes les expériences. Le problème, c'est que, eh bien, on a 7 facteurs à 2 niveaux, et donc en tout, on a 2 puissance 7 expériences qui sont possibles. 2 puissance 7, ça fait 128, donc il y a en tout 128 expériences à réaliser, donc 128 recettes en fait à réaliser. Le problème, c'est que chaque expérience est coûteuse en temps, parce qu'il faut mettre au point la recette, faire les galettes, et ensuite déplier les galettes pour voir combien il y en a qui se déchirent. Donc c'est un processus qui est assez long, et ça coûte en temps environ une demi-journée par expérience. Donc le calcul est simple: 128 expériences, une demi-journée, 64 jours de travail, ça fait en gros 3 mois rien que pour récupérer les expériences. Je dis 3 mois parce qu'en général on travaille que 20 jours par mois, donc il faut 3 mois environ pour récupérer les expériences et pour l'instant on n'a rien fait, on a juste fait les expériences. Donc ça c'était impossible, le maître de stage ne va pas payer un stagiaire ingénieur pendant un stage de 6 mois pour faire pendant 3 mois des galettes. Ça, c'est impossible. Et le responsable du stage lui dit, en fait, il faudrait réussir à avoir des choses avec 16 expériences. Eh bien, les plans d'expériences sont un peu résumés là, c'est avec 128 expériences, on sait bien faire, mais souvent on veut beaucoup moins d'expériences et on veut faire des choses, on veut avoir des résultats qui soient utiles, même si on se doute qu'avec 16 expériences, on ne va pas réussir à avoir autant d'informations qu'avec 128. Donc le problème c'est, si on a ces expériences, quelle expérience est-ce qu'on va choisir? Alors une deuxième idée assez intuitive c'est de se dire, on va prendre les facteurs un par un et puis on va les faire varier en prenant les deux modalités. Donc je vais prendre le facteur quantité d'eau et je vais le prendre à 45% puis ensuite à 55% et je vais voir quel est le niveau qui est le plus intéressant. Le problème, c'est que si je m'intéresse à 45%, quelles sont les modalités que j'utilise pour les autres facteurs? Est-ce que j'utilise l'étalement à la main ou automatique? Est-ce que j'utilise farine bio ou non bio? C'est pas facile à déterminer ça. Et puis l'autre aspect, c'est que si je prends les facteurs et que je les fais varier un par un, il me sera impossible d'estimer les interactions entre facteurs. Je pourrais pas tester toutes les combinaisons entre 2 facteurs. Donc ça, c'est ennuyeux parce que très souvent les facteurs influent sur la réponse, mais il y a aussi des interactions qui peuvent influer sur la réponse. Dans quasiment tous les exercices que vous avez pu faire en analyse de variance, vous vous êtes intéressés à des interactions. Donc là, cette idée est intéressante, mais finalement on ne va pas l'utiliser parce qu'on ne pourra pas estimer les interactions. Et donc une troisième idée, c'est de se dire, eh bien, on va tout faire varier en même temps. Alors ça, c'est bien, par contre, c'est assez difficile, c'est de prendre des expériences qui soient intéressantes. Il ne faut pas faire varier, par exemple, 2 facteurs en même temps exactement à chaque fois. Quand je prends la modalité 45% pour la quantité d'eau, si je fais à chaque fois que j'utilise 45%, je prends de la farine bio, et à chaque fois que j'utilise la modalité 55%, j'utilise de la farine non bio, ça va pas aller. Il me sera impossible de différencier ce qui est dû à la quantité d'eau et ce qui est dû à la farine. D'accord? Donc j'ai besoin de ne pas confondre, on parle de confusion entre facteurs, j'ai besoin de ne pas confondre les facteurs pour pouvoir estimer séparément chacun des facteurs. Donc C'est une idée intéressante, mais on voit que ça va être difficile de faire varier simultanément tous les facteurs. Et donc l'objectif du cours, c'est de vous montrer comment faire varier simultanément sans qu'il y ait trop de confusion, sans qu'il y ait de confusion du tout, même si c'est possible. Et donc finalement, on cherche à construire des plans d'expériences avec de bonnes propriétés. On sait qu'on n'arrivera pas à faire aussi bien qu'avec beaucoup plus d'expériences, qu'avec un plan complet, Mais on veut avoir des choses qui soient utiles, qu'on puisse interpréter avec peu d'expérience, moins d'expérience. Alors, toujours en introduction, quand on a une expérimentation, quand on a un problème, qu'on veut faire une expérimentation, bien souvent on a envie d'étudier beaucoup, beaucoup de facteurs et d'étudier simultanément plein de facteurs. Comme ça, on peut s'intéresser à un phénomène global plus général, ce qui est intéressant. Donc on veut étudier beaucoup de facteurs, on veut pour chacun des facteurs éventuellement tester beaucoup de modalités. Éventuellement, la quantité d'eau, je veux tester 45%, mais aussi 47, 49, 51, 54, 55, etc. Tester plein de modalités. Donc ça, c'est ça permet de connaître plus de choses. Le problème, c'est que, bien, à chaque fois que j'augmente le nombre de facteurs, ça va m'augmenter le nombre potentiel d'expériences, le nombre d'expériences à réaliser. Et même chose si je prends des facteurs avec beaucoup de modalités, eh bien, je vais augmenter le nombre d'expériences. Donc une remarque quand même, C'est intéressant d'étudier des facteurs avec beaucoup de modalités, mais avec 2 modalités, on arrive quand même à étudier le facteur souvent. Et donc s'intéresser à des facteurs à 2 niveaux, c'est des plans qui sont un peu plus simples, mais qui sont très utiles au moins dans une première approche qui est de savoir est-ce que ce facteur a un effet ou pas. Donc avec plus de modalités, on va être plus précis, mais c'est beaucoup plus coûteux en expérience. Donc là, c'est encore ce compromis entre être précis et avoir assez peu d'expériences. Alors, je vais commencer par un rappel un petit peu sur les plans complets, donc les plans où on effectue toutes les expériences possibles. Donc si je considère un plan avec p facteurs, chaque facteur a 2 niveaux, quand je teste toutes les combinaisons, j'ai un plan que je vais noter 2 puissance p. C'est une puissance ici, 2 puissance p, ça correspond en fait au nombre d'expériences que contient le plan, 2 à la puissance p, le nombre de facteurs. Donc si je fais un plan à 2 facteurs à 2 niveaux, eh bien c'est un plan que je vais noter 2 puissance 2. Le 2, le premier 2 ici correspond au nombre de niveaux, et puis la puissance correspond au nombre de facteurs. Et donc pour un plan complet de puissance 2, donc vous avez vu en TD dernièrement qu'on pouvait écrire une matrice des essais qui s'écrivait avec le facteur A et le facteur B par exemple. Le facteur A prend la modalité 1 et la modalité -1. Alors on verra juste après quel est l'intérêt de ce codage avec des 1 et des -1, codage qui est très utile pour les interactions. Et donc pour le facteur A, la première expérience prend la modalité 1, la deuxième expérience la modalité 1, et puis ensuite -1 et -1. Et pour le facteur B, j'ai 1, -1, 1, -1. Et donc cette matrice s'appelle la matrice des essais parce qu'elle détermine exactement quel essai réaliser. La première ligne me dit pour le premier essai il faut faire le facteur A à la modalité 1, le facteur B à la modalité 1, le deuxième essai, etc. Donc on peut donner cette matrice des essais à un expérimentateur qui pourra faire les essais. Sur cette matrice, avec cette matrice des essais, avec ces expériences, eh bien je peux construire un modèle. Évidemment, puisque j'ai des facteurs, des variables qualitatives, je vais m'intéresser à un modèle d'analyse de variance. Et donc je peux prendre le modèle additif, Le modèle additif, c'est-à-dire le modèle sans interaction. Et donc là, je l'écris comme vous avez l'habitude de le voir: Yij, la réponse pour la modalité i du facteur A et la modalité j du facteur B, c'est un effet moyen mu plus un effet du facteur A quand il prend la modalité i plus un effet du facteur B quand il prend la modalité j plus quelque chose que j'arrive pas à expliquer, donc un résidu epsilonij. À partir de ce modèle, ce qu'on va utiliser, c'est une matrice X pour pouvoir déterminer les coefficients mu, alpha i et bêta j. On utilise une matrice X qui correspond à, en fait, bien la matrice des essais ici avec les a et b, et puis une matrice, une colonne qui correspond à la constante, une colonne de 1 qui permet d'estimer la constante du modèle, la constante mu du modèle. Donc vous avez vu en analyse de variance que, eh bien, on utilisait cette matrice-là pour estimer les effets bêta chapeau. Et on écrit bêta chapeau égal x prime x moins 1, x prime y, à partir de cette matrice X ici. Et cette matrice X, on l'appelle la matrice des effets. Donc il y a une matrice des essais qui détermine les essais à réaliser, et matrice des effets qui, associée aux expériences ici, bien, à partir des expériences et du modèle, nous fournit une matrice des effets. Donc ça, c'est le premier modèle possible qu'on peut utiliser avec ces expériences, mais on peut aussi utiliser un modèle avec une interaction. Et donc on va écrire Yij égale un effet moyen, un effet du facteur A, un effet du facteur B, plus un effet de l'interaction. Alors vous voyez qu'ici il n'y a pas de résidu parce qu'en fait on a utilisé, on a 4 données et on a 4 paramètres à estimer à partir des données et donc on n'a plus de degré de liberté pour la résiduelle. Tous les degrés de liberté ont été utilisés pour estimer des effets. Alors en fait il y a une particularité des plans dans lesquels les facteurs ont 2 modalités, C'est que à chaque effet ou à chaque interaction est associé un degré de liberté. Le nombre de degrés de liberté d'un effet, c'est le nombre de modalités moins un. Donc ici deux moins un. On a un degré de liberté pour le coefficient alpha i, un degré de liberté pour le coefficient beta j, et puis pour l'interaction, c'est le produit des degrés de liberté de chaque facteur. Donc deux moins un fois deux moins un. Donne bien 1 degré de liberté. Donc ici, j'ai besoin d'estimer uniquement 4 paramètres et j'ai 4 données, donc j'ai suffisamment de degrés de liberté pour estimer ces paramètres, mais j'en ai plus pour la résiduelle. Et donc associé à ce modèle, eh bien, on va avoir une matrice des effets avec toujours A et B qui sont les mêmes que la matrice des essais, une colonne I pour la constante. Et puis, bien, ce que vous avez vu en TD la dernière fois, c'est que pour l'interaction, il suffit de faire le produit de A et de B. Quand je fais le produit A par B, 1 par 1, ça donne 1, 1 par -1, -1, -1 par 1, -1, -1 par -1, 1. Et ce codage-là avec des 1 et des -1 permet de déterminer les niveaux de l'interaction en faisant simplement le produit des colonnes A et B. Donc ça, c'est très intéressant d'utiliser ce codage-là. Alors toujours avec le modèle additif, j'ai ma matrice des effets ici, et donc à partir de cette matrice des effets, eh bien je vais calculer X'X, donc X' c'est la matrice X mais les colonnes sont prises cette fois en ligne, et donc X'X va être égal à 4 fois la matrice identité. Alors cette matrice X'X est intéressante parce qu'elle donne en fait, pour la colonne des i ici, la colonne qui correspond à i, elle donne la somme des la somme des coefficients. Donc ça permet de voir quand il y a un 0 ici qu'on a testé autant de fois la modalité 1 que la modalité -1. D'accord, donc ici je vois que j'ai testé pour le facteur A autant de fois la modalité 1 que la modalité -1, et ici je vois que j'ai testé autant de fois la modalité pour le facteur B, la modalité 1 que la modalité -1. Et puis quand on s'intéresse aux autres facteurs, eh bien cette matrice correspond à la corrélation. Alors pas tout à fait la corrélation puisqu'on a une valeur de 4, mais c'est la corrélation si on divise par le nombre d'expériences. Donc ici j'ai 4 expériences, j'aurais besoin de diviser par 4. Si je divise par 4, je vais trouver des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Ça veut dire qu'il y a une indépendance entre le facteur A, ce 0 ici, et montre une indépendance entre le facteur A et le facteur B. Montre une indépendance où on parle aussi d'orthogonalité entre effets. Ces deux effets sont orthogonaux. Pour le modèle avec interaction, eh bien, là encore, on va calculer la matrice X'X. Eh bien, on voit toujours que sur la première colonne, il y a des zéros ici. Donc on a testé autant de fois la modalité 1 que la modalité -1. Et puis partout ailleurs, on voit qu'on a des zéros partout en dehors de la diagonale, et donc il y a orthogonalité ou il y a indépendance entre les facteurs A et B, ou entre le facteur A et l'interaction, ou entre B et l'interaction. D'accord? Et ces matrices X'X, quand elles sont égales à n fois l'identité, donc n c'est le nombre d'expériences, quand on a le nombre d'expériences fois une matrice identité, c'est ce qu'on appelle une matrice d'Adamard. Donc ça, c'est des matrices qui sont intéressantes pour estimer après les effets et qui sont intéressantes au niveau de la précision des estimateurs. On a l'estimation la plus précise possible pour chaque estimateur. Donc voilà pour les plans complets et maintenant on va passer aux plans fractionnaires. Et donc qu'est-ce qu'un bon plan? Ça, c'est évidemment un bon plan d'aller en vacances un petit peu au bord de l'eau, mais c'est pas ce qui va nous intéresser aujourd'hui. Ce qui nous intéresse aujourd'hui, c'est qu'un bon plan, c'est un plan qui permet d'estimer au mieux les effets des facteurs. Et donc on va voir comment estimer au mieux les effets des facteurs. Donc je vais choisir les effets qui permettent d'avoir la précision la plus importante possible sur chaque estimation des effets. Donc comment on mesure la précision d'un facteur, la précision d'un estimateur? À partir de sa variance. Donc on peut calculer la variance de bêta chapeau, et donc en analyse de variance comme en régression, la variance de bêta chapeau c'est égal à x prime x moins 1 multiplié par sigma carré. Et donc moi, ce qui m'intéresse, c'est de trouver des expériences telles que cette variance soit la plus petite possible. Alors on peut voir, c'est qu'il y a deux choses dans la variance de bêta chapeau. Il y a deux termes: sigma carré et x prime x moins un. Alors sigma carré, c'est quoi? Bien, c'est la variabilité résiduelle. Alors cette variabilité résiduelle, on peut pas vraiment jouer dessus. La variabilité résiduelle, c'est Je fais une expérience dans certaines conditions, je répète cette expérience dans les mêmes conditions, eh bien, j'obtiens pas exactement les mêmes résultats, et il y a un écart, et cet écart-là, eh bien, c'est mesuré par la variabilité résiduelle. Et donc, ça, ça dépend uniquement des expériences qu'on réalise, et on peut pas jouer dessus. Aucun moyen de jouer sur cette expérience, sur cette variance résiduelle. Peut jouer dessus éventuellement si on utilisait d'autres facteurs, des facteurs qu'on n'avait pas pris en compte dans l'analyse, et on les prend en compte finalement dans l'analyse, et donc ça va diminuer la résiduelle. Mais à facteur constant, on peut pas jouer sur la variance résiduelle. Et l'autre terme, X'X- 1, mais X'X- 1, ça dépend de quoi? Ça dépend uniquement des X. Il n'y a que les X là-dedans, et les X, c'est moi qui les gère. Puisque c'est moi qui choisis les expériences à réaliser. Et donc mon objectif en plan d'expérience, ça va être de minimiser la variance de bêta chapeau en choisissant les bons X. Je vais choisir les X tels que la variance soit la plus petite possible. Et donc l'objectif des plans, c'est de trouver les expérimentations à réaliser, la matrice X telle que x'x- 1 soit minimale, soit la plus petite possible. Alors je vais prendre un exemple où je vais m'intéresser à un plan fractionnaire qui contient 3 facteurs. Donc 3 facteurs, a priori, si je prends le plan complet, j'ai besoin de 8 essais. Et moi ce que je veux, c'est étudier ces 3 facteurs mais avec seulement 4 essais. D'accord, donc je veux diviser par deux le coût expérimental. Alors pour le plan complet avec huit essais, bien je calcule x prime x et pour x prime x j'ai n fois une matrice identité. Donc n c'est le nombre d'expériences, c'est huit. Donc j'ai huit fois la matrice identité et donc ça c'est facile à inverser. La matrice identité c'est ça. Ça reste la matrice identité quand on l'inverse, et puis donc j'ai juste 8, et donc quand je l'inverse j'ai 1/8, et donc j'ai une matrice X'X-1 qui est égale à 1/8 sur la diagonale et des zéros partout ailleurs. Donc ça c'est la matrice quand je fais toutes les expérimentations possibles. Alors maintenant, ce que j'ai fait c'est que j'ai pris parmi les 8 essais, j'ai pris au hasard 4 essais. Première idée, on prend au hasard 4 essais. Et je vous donne ici la matrice X'X-1. Alors qu'est-ce qu'on voit sur cette matrice X'X-1? On voit d'abord que sur la diagonale, les chiffres sont plus importants qu'ici. Donc la diagonale, ça représente quoi? Ça représente la valeur par laquelle on doit multiplier sigma carré pour obtenir la variance. Donc là, si les valeurs sont plus grandes sur la diagonale, ça veut dire que la variance de mes estimateurs sera plus grande, ça veut dire que je suis beaucoup moins précis. Alors c'est normal d'être moins précis puisque j'ai moins d'expérience, mais là je suis vraiment moins précis que pour le modèle complet. Et puis autre aspect, en dehors de la diagonale, donc ici ce qui est en rouge, vous avez une valeur -0,5, et ici qu'est-ce que je mesure? Mais je mesure la covariance entre le facteur, alors cette ligne-là correspond au facteur B, avec la colonne C, donc c'est la covariance entre le facteur B et le facteur C. Donc là, quand la covariance n'est pas nulle, ça signifie qu'il n'y a plus indépendance entre ce qui se passe sur le facteur B et sur le facteur C. Et donc quand j'estime un facteur, eh bien ça dépend un petit peu des modalités de l'autre facteur. Donc ça, c'est embêtant parce que j'ai pas réussi à différencier exactement l'estimation du facteur B et l'estimation du facteur C. Ces deux estimations sont liées, il y a ce qu'on appelle une confusion. Alors maintenant, si je construis un plan fractionnaire qui est un bon plan d'expérience, eh bien, je peux obtenir des résultats qui sont beaucoup plus satisfaisants. Donc vous voyez ici la matrice X prime X moins 1 lorsqu'on a bien construit les plans. Donc ce qu'il y a sur la diagonale, on a la variance des estimateurs, on a la variance des estimateurs qui vaut 0,25 fois sigma carré. Donc c'est plus grand que ce qu'on avait au départ, mais c'est normal, on a fait moins d'expériences. Et en dehors de la diagonale, on a des zéros partout, ce qui signifie que quand on estime un facteur, c'est indépendant de tout ce qui s'est passé sur les autres facteurs. Donc ça, c'est une propriété qui est très importante. Et puis dernière remarque, ah oui, alors non, avant de finir ma remarque, c'est vous voyez la différence entre quand je fais des choses au hasard et quand j'essaye de maîtriser le plan d'expérience. Bien, quand je fais des choses au hasard, j'ai un plan d'expérience qui n'a pas de bonnes propriétés puisqu'on a des variances qui ont fortement augmenté, 0,5 fois sigma carré, on a des covariances qui sont également assez importantes, et on peut avec le même nombre d'essais avoir des plans qui sont beaucoup plus intéressants. Et dernière remarque, la variance de bêta chapeau ici que je peux visualiser sur la diagonale, c'est égal à sigma carré sur n. Ici j'ai 0,25 qui correspond à un quart, c'est-à-dire à 1 sur le nombre d'expériences que j'ai réalisées. Et sigma carré sur n, c'est quoi? Bien, c'est la variance quand je calcule une moyenne. Si je calcule une moyenne, la variance de x barre, c'est sigma carré sur n. Bien là, le fait d'avoir Sigma carré sur n, ça signifie quoi? Ça signifie que j'ai une estimation de l'effet de mon facteur A, une estimation de l'effet de mon facteur B, de l'effet de mon facteur C qui est optimale. Avec 4 expériences, de toute façon, je peux pas faire mieux que ça. Donc là, ce que j'ai fait, c'est que j'ai estimé 4 choses, et même si j'ai estimé 4 choses, pour chaque estimation, j'ai l'estimation optimale. Même si j'avais mis toute mon énergie pour estimer le facteur A, j'aurais pas pu faire mieux que ce sigma carré sur n. Et là, avec les plans, non seulement j'ai bien estimé A, mais j'ai bien estimé B et C aussi. D'accord? Donc là, c'est une propriété qui est très intéressante, une propriété d'optimalité. On peut pas faire mieux que ça. Alors, le plan où j'étudie 3 facteurs en 4 essais, c'est un plan qui qui s'écrit 2 puissance 3 moins 1. Alors 2 ici signifie qu'on s'intéresse à 2 modalités, le 3 signifie qu'on s'intéresse à 3 facteurs, le moins 1 signifie qu'on prend un plan fractionnaire, et 2 puissance 3 moins 1 c'est égal à 4. Et 4, c'est le nombre d'essais. Donc en fait, dans la définition du plan, il y a beaucoup d'informations: le nombre de facteurs qu'on étudie, le nombre de modalités par facteur et le nombre total d'essais qu'on a quand on veut construire ce plan. Donc parmi les 8 facteurs, parmi les 8 expériences, quand je m'intéresse à 3 facteurs, j'ai besoin de choisir parmi ces 8 expériences, 4 essais uniquement pour le plan 2 puissance 3 moins 1. Alors comment faire? Il y a une première idée, c'est de se dire pour chaque facteur je vais prendre autant de fois la modalité 1 que la modalité moins 1, parce que sinon on se dit que si on prend plus souvent la modalité 1 que la modalité moins 1, on aura une estimation plus précise de ce qui se passe pour la valeur, pour la modalité 1 que pour la modalité moins 1. Donc pour avoir un plan qui permet d'estimer aussi bien la modalité 1 que la modalité -1, on la prend un même nombre de fois. Donc là c'est une première idée, pour chaque facteur je prends autant de fois la modalité 1 que la modalité -1. Deuxième idée, eh bien je vais m'intéresser aux couples de facteurs, et je vais avoir envie de tester tous les couples de facteurs possibles, et donc le couple le couple 1, -1, le couple -1, 1 et le couple -1, -1. Et ces couples-là, j'ai envie de les tester un même nombre de fois. Alors ici, dans les plans 2 puissance 3- 1, eh bien, j'ai envie de les tester une fois chacun. Et donc, en regardant sur le plan, on peut utiliser les essais qui sont montrés par les flèches. Et donc vous allez voir que vous avez pour le facteur A 2 fois la modalité 1, 2 fois la modalité -1. Pour le vecteur B, c'est la même chose. Pour le facteur C, c'est la même chose. Alors un petit peu plus difficile pour voir sur les différentes combinaisons, mais si vous prenez les combinaisons AB, les combinaisons AC, les combinaisons BC, vous verrez que vous avez à chaque fois le couple 1, 1, 1, -1, -1, 1 et -1, -1. Donc ce plan avec les 4 essais est intéressant à utiliser. Alors c'est assez facile avec cette idée-là quand on a un plan relativement simple avec 8 essais en tout et choisir 4 essais. Maintenant si je vous dis avec le plan 2 puissance 7 du début où j'ai les 128 expériences et puis tous les couples Quand il y a 7 facteurs, ça fait 7 fois 6 divisé par 2, ça fait 21 couples. Voir si tous les couples sont bien testés un même nombre de fois, ça va commencer à être très compliqué. Donc dans des cas très simples, on peut éventuellement le faire comme ça. Dans des cas plus compliqués, ça va être difficile. Alors plus généralement, pour les plans d'expérience, bien, les idées, ça va être de tester un même nombre de fois chaque niveau de chaque facteur, tester toutes les combinaisons de 2 facteurs, et puis éventuellement tester tous les triplets. Si je m'intéresse à 3 facteurs, je teste tous les triplets, et puis éventuellement tous les quadruplés, etc. Et ça, si je construis un plan qui a ces propriétés, eh bien ce sera un plan d'expérience dans lequel j'arriverai à bien estimer les effets principaux, à bien estimer les interactions. Mais on voit bien que cette stratégie est beaucoup trop compliquée et ça va être très difficile de construire un plan d'expériences de cette façon. Avec 7 facteurs, encore une fois, imaginez la matrice avec 128 essais et puis là, aller choisir les 16 essais qui conviennent, ce serait vraiment très compliqué. Et donc, Puisque c'est trop compliqué comme ça, on a besoin d'un principe de construction qui soit relativement simple. Un principe de construction qui est finalement une technique qui permet de construire les plans et d'avoir ces propriétés-là. Mais il faut bien avoir à l'esprit les idées qu'il y a dans la construction des plans, et puis après, il y a une technique qui permet d'obtenir des plans avec de bonnes propriétés. Alors, avant de vous montrer la technique qui permet de construire les plans, un constat d'abord, c'est que quand on a un plan complet, eh bien, le plan complet permet d'estimer tous les effets possibles, c'est-à-dire les effets principaux, les interactions d'ordre 2, les interactions d'ordre 3, les interactions d'ordre 4, d'ordre 5, d'ordre 6 et d'ordre 7. Quand on a un plan à 7 facteurs. Et finalement, combien de fois est-ce qu'on va interpréter des interactions d'ordre supérieur ou égal à 3? Eh bien, très peu souvent. Les interactions d'ordre 7, ça c'est sûr, on n'interprétera jamais des interactions d'ordre 7, c'est beaucoup trop compliqué à interpréter. Des interactions d'ordre 2 déjà, c'est quoi? C'est quand je m'intéresse à l'effet d'un facteur l'effet de facteur, de ce facteur, dépend des modalités de l'autre facteur. Je prends par exemple les variables farine bio et non bio et puis quantité d'eau, ça veut dire que quand je prends la quantité d'eau de 45%, ça marche bien avec la farine bio, et puis quand je prends 55%, ça marche mieux avec la farine non bio. Donc ça, c'est une interaction de 2 facteurs. Maintenant, si je m'intéresse à une interaction à 3 facteurs, donc j'ai la quantité d'eau, la farine bio et non bio, et puis je prends l'étalement de la pâte. Donc vous vous rappelez ce que j'ai dit pour l'interaction d'ordre 2? Ça, ça marche en fait pour l'étalement de la pâte à la main. La quantité d'eau marche mieux, la quantité d'eau de 45% marche bien avec la farine bio, et puis 55% marche bien avec la farine non bio. Ça, c'est avec l'étalement la pâte à la main, mais avec l'automatique c'est exactement l'inverse. C'est compliqué, c'est compliqué, et effectivement on voit assez peu souvent ce genre d'interaction triple. Alors est-ce qu'on les voit pas parce qu'on va pas trop les chercher? Ça c'est possible aussi, mais nous dans notre pratique on a assez peu souvent observé des interactions d'ordre triple qui soit interprétable, qu'on arrive vraiment à interpréter. Ça arrive de temps en temps, mais c'est assez rare. Et de toute façon, au-delà de 3, on n'a jamais trouvé d'interaction qui soit vraiment interprétable. Et donc le constat, c'est de se dire, finalement, quand j'ai des interactions d'ordre élevé, elles peuvent être souvent négligeables, il n'y a pas d'effet. Et donc, quand on construit un plan complet, si je prends un plan 2 puissance 5, je peux utiliser un degré de liberté pour estimer la constante du modèle, le mu. Plan 2 puissance 5, je m'intéresse à 5 facteurs, donc j'ai 5 effets principaux à estimer, et puis après pour les interactions j'ai 5 fois 4 divisé par 2, donc 10 interactions. Et j'ai finalement 10+ 5+ 1= 16 paramètres qui sont a priori intéressants à estimer. Et puis les autres sont pas forcément intéressants à estimer. Et ce qu'on se dit, c'est que dans les plans 2 puissance 5, le plan complet, 2 puissance 5 c'est égal à 32, donc ça nécessite 32 expériences. Et c'est un peu dommage finalement de faire 32 expériences si je n'ai besoin d'estimer que 16 paramètres. Si j'ai l'argent ou le temps, et le temps pour faire les 32 expériences, il faut les faire. Mais si ces expériences sont coûteuses, eh bien, j'ai intérêt à me restreindre à uniquement 16 expériences et à estimer uniquement les paramètres qui m'intéressent. Donc l'objectif des plans d'expériences, ça va être ça, c'est de se dire, bien, je vais focaliser mon attention sur les effets qui sont intéressants à estimer, et puis je vais négliger les interactions qui n'ont pas d'effet, les interactions d'ordre élevé. Alors, je vais donner maintenant le principe de construction des plans fractionnaires, donc des plans fractionnaires de puissance p moins k. Donc le p, c'est le nombre de facteurs, et 2 à la puissance p moins k, c'est le nombre total d'essais. Donc il y a 4 étapes dans la construction de ces plans. La première étape, c'est de choisir un plan de base. Donc le plan de base, c'est le plan complet qui contient 2 puissance p moins k essais. Donc j'ai un plan complet qui contient 2 puissance p moins k essais, c'est ce que je vais appeler le plan de base. Ensuite, à partir de ce modèle-là, à partir de ces essais, je vais construire la matrice des effets du modèle complet du modèle saturé qui correspond à ce plan de base. Une fois que j'ai fait ça, j'aurai des interactions d'ordre élevé et je vais choisir des confusions, je vais choisir d'affecter les facteurs supplémentaires. Alors si je m'intéresse à un plan de puissance p- k, je peux dans un premier temps n'estimer que p- k facteurs. Donc il me reste des facteurs à estimer, il m'en reste k. Eh bien ces k-là, je vais les confondre avec des choses qui sont a priori négligeables, avec des interactions d'ordre élevé. Et puis le fait de confondre ces effets principaux avec des interactions d'ordre élevé, eh bien ça va déterminer d'autres confusions. Eh bien on déterminera toutes les confusions qui résultent de cette de cette affectation des effets principaux à des interactions d'ordre n. Donc je reviens sur le plan 2 puissance 3- 1. Première étape, je choisis le plan de base, donc c'est le plan 2 puissance p- k, donc ici 2 puissance 3- 1. Le plan de base, c'est donc un plan en 4 essais, donc le plan de base en 4 essais, c'est le plan 2 puissance 2 dans lequel j'ai le facteur A et le facteur B. D'accord? Donc là, j'ai déterminé le nombre d'essais et le plan de base qui est associé. C'est le plan 2 puissance 2 qui est associé. Ensuite, à partir de ce plan de base, je construis la matrice des effets du modèle saturé, c'est-à-dire du modèle avec la constante, tous les effets principaux et toutes les interactions possibles. Alors ici, il n'y a finalement que l'interaction d'ordre 2, j'ai que 2 facteurs, donc il n'y a que l'interaction d'ordre 2 qu'il est possible de rajouter. Donc je construis cette matrice associée au modèle saturé, au modèle avec les effets principaux et toutes les interactions. Et maintenant, je vais avoir besoin de confondre le facteur C avec quelque chose. Alors le facteur C, je peux pas le confondre avec le facteur A, puisque j'ai envie de bien différencier ce qui est dû au facteur A et ce qui est dû au facteur C. Donc je peux pas confondre le facteur C avec le facteur A. Je peux pas confondre le facteur C avec le facteur B, parce que même chose, j'ai pas envie que ces effets soient confondus. Par contre, je peux confondre le facteur C avec l'interaction AB. Donc ça, pourquoi je fais ça? Bien, parce que je me dis l'interaction AB, c'est ce qui est le plus facilement négligeable. Le facteur A m'intéresse, le facteur B m'intéresse, et puis bien l'interaction AB n'a peut-être pas d'effet, et donc c'est intéressant de confondre le facteur C avec l'interaction AB. Maintenant, si j'ai confondu le facteur C avec l'interaction AB, eh bien il va y avoir d'autres confusions qui vont être générées, et on va voir maintenant toutes les confusions qui que cela va générer. Donc j'ai repris la matrice des effets du modèle saturé, I= I, A, B, et AB correspondent aux effets du modèle dans le plan à 2 facteurs, du modèle saturé dans le plan à 2 facteurs. Et ce que j'ai dit, c'est que le facteur C est confondu. Le égal ici signifie confondu avec. Confondu avec le facteur AB, avec l'interaction AB. Alors, une propriété maintenant du codage qui est utilisé, c'est que quand je multiplie C par C, qu'est-ce qui se passe? Eh bien, j'ai que des 1 et des -1, donc C multiplié par C, vous voyez que ça donne 1 par 1, c'est égal à 1, -1 par -1, ça donne 1, -1 par -1 égale 1, 1 par 1 ça donne 1. Et donc on se retrouve avec uniquement des 1, et ça, ça correspond en fait à la constante, l'effet de la constante. Donc ici, C multiplié par C, c'est égal à la constante. Donc finalement, à partir de la confusion C et AB, je multiplie les deux termes de l'égalité à gauche et à droite par C, et j'obtiens C multiplié par C égale ABC. Donc C multiplié par C est confondu avec ABC. C multiplié par C, c'est égal à la constante. Donc finalement, j'en déduis que la constante est confondue avec l'interaction triple ABC. Donc je suis parti de la confusion C confondu avec AB, et ici j'arrive jusqu'à la constante est confondue avec l'interaction triple. Donc ça me génère la confusion de C avec AB, ça me génère une autre confusion de la constante avec l'interaction triple. Et puis bien là encore il y a d'autres confusions. Si je multiplie maintenant cette équation i égale abc par a, j'ai a multiplié par i. Alors a multiplié par i, i c'est l'élément neutre. Si je multiplie par une colonne, je vais retomber sur la colonne. Je multiplie n'importe quoi par i, je retombe sur le n'importe quoi. Donc A multiplié par I, je retombe sur A. Donc ici, A multiplié par I, c'est égal à A. Et maintenant, si je fais A multiplié par l'interaction triple ABC, A multiplié par ABC, c'est égal à A multiplié par A multiplié par B multiplié par C. A multiplié par A, c'est le même principe que pour C multiplié par C, on va retomber sur le I, la constante, et donc les deux A vont s'éliminer et il reste juste BC. Et donc j'ai A multiplié par I qui est égal à A, et ça, ce sera confondu avec l'interaction BC. Et donc une deuxième confusion, une troisième confusion, c'est que le facteur A est confondu avec l'interaction BC. Et puis dernière confusion possible, le facteur b, avec quoi est-ce qu'il est confondu? Bien, je multiplie toujours à partir de cette équation-là, i= abc, je multiplie par b à gauche et à droite, donc b multiplié par i, c'est égal à i, et b multiplié par abc, les deux b vont s'éliminer, il reste juste ac, Et donc on a le facteur B qui va être confondu avec l'interaction AC. Donc on part de la confusion C confondu avec AB. De cette confusion, on en déduit une confusion avec la constante. Et cette confusion avec la constante, c'est ce qu'on appelle le générateur d'alias. On l'appelle le générateur d'alias parce que c'est à partir de ça qu'on va déterminer ensuite toutes les confusions qui résultent de la confusion initiale. Donc c'est le générateur, alors alias ça veut dire confusion, donc c'est le générateur de l'ensemble des confusions possibles. Donc on était à la construction d'un plan 2 puissance 3 moins 1, et donc on avait déterminé comment confondre le facteur C, avec quoi confondre le facteur C avec l'interaction AB et toutes les confusions qui résultaient. Mais vous voyez ici là que j'ai déterminé, en déterminant une confusion, j'ai déterminé quelles étaient les modalités que devait prendre le facteur C. Le facteur C pour le premier excès, il doit prendre la modalité 1. Pour le deuxième essai, il prend la modalité -1. Pour le troisième essai, la modalité -1. Et pour le quatrième essai, la modalité 1. Donc finalement, avec cette matrice, j'ai la matrice des essais. Quels essais réaliser pour les 3 facteurs A, B et C? Pour le facteur A, je prends Enfin, pour la première expérience, j'en prends facteur A modalité 1, facteur B modalité 1, facteur C modalité 1. Pour la deuxième expérience, facteur A modalité 1, facteur B modalité -1, facteur C modalité -1. Troisième expérience, facteur A modalité -1, facteur B modalité 1, facteur C modalité 1. Et la dernière expérience, facteurs A et B à la modalité -1 et le facteur C à la modalité 1. Donc, cette façon de faire, le fait de confondre le facteur C avec l'interaction AB, me détermine les expériences à réaliser exactement. Alors revenons un petit peu sur ce que signifie une confusion. Donc ici j'ai la confusion, la constante est confondue avec ABC. J'ai marqué ici la matrice X qui est associée au modèle complet Y= ABC. AB, AC, BC et ABC. Donc c'est tous les effets principaux, toutes les interactions d'ordre 2, et puis l'interaction d'ordre 3 que je pourrais construire avec un modèle avec 3 facteurs. Alors je l'écris ici même si je sais que je vais pas pouvoir estimer tous les effets, mais justement on va voir pourquoi on peut pas estimer tous les effets. Bien, ce qu'on voit, c'est les confusions entre C et AB Ça signifie qu'en fait, quand C varie, AB varie exactement pareil. Donc à chaque fois que je bouge C, je bouge AB, l'interaction AB, exactement dans le même sens. Donc pour moi, il sera impossible de distinguer ce qui est dû à C et ce qui est dû à AB. Ces deux, cet effet principal C et cette interaction AB, sont en fait complètement communes. À chaque fois qu'il y en a un qui bouge, l'autre bouge exactement dans le même sens. Donc c'est impossible pour moi de savoir ce qui est dû au facteur C, ce qui est dû au facteur AB. Ça, c'est ça la confusion totale entre deux facteurs. Et puis bien, on voit aussi que la colonne du facteur B correspond à la colonne de l'interaction AC. On a dit qu'il y avait une confusion entre le facteur B et l'interaction AC. De même, il y a une confusion entre la colonne du facteur A et la colonne BC. Et il y a une confusion entre la constante et l'interaction triple. Donc la confusion signifie les colonnes sont exactement les mêmes. Alors sur X'X, qu'est-ce qui se passe? Eh bien, on a dit X'X, ça correspond à là où il y a la colonne I, à savoir si le nombre de fois où la modalité 1 et la modalité -1 sont prises. Enfin, quand on a 0 ici, pardon, ça signifie que la modalité 1 est prise un même nombre de fois que la modalité -1 pour le facteur en question. Pour le facteur A, on a autant de fois la modalité 1 que la modalité -1. Et puis après, pour les autres valeurs, mais ça correspond à la corrélation si je divise par le nombre d'expériences. Donc c'est une matrice des corrélations si je divise par le nombre d'expériences. Et donc ce qu'on voit, c'est qu'il y a des corrélations entre le facteur A et puis BC. La corrélation est de 1. Donc quand il y en a un qui bouge, l'autre bouge. Donc on avait vu qu'on pouvait pas estimer à la fois les effets principaux et puis les interactions d'ordre 2. Ça, c'est dû au fait qu'il y a des confusions. Pourquoi on peut pas estimer tous les effets, eh bien on voit ici un X, les colonnes de X sont pas linéairement indépendantes. Vous aviez vu en analyse de variance et en régression, il faut que les colonnes de X soient linéairement indépendantes. Là, elles sont pas linéairement indépendantes puisqu'il y en a qui correspondent exactement aux mêmes colonnes. Et puis on voit aussi ici dans cette matrice que cette matrice n'est pas inversible. Maintenant, ça c'est le cas si je m'intéresse à tous les effets principaux et toutes les interactions, mais si je m'intéresse uniquement aux effets principaux, qu'est-ce qui se passe? Finalement, ça s'est caché et il me reste juste les effets principaux avec cette matrice X ici dont toutes les colonnes sont linéairement indépendantes et la matrice X'X ici qui est la matrice 4 fois la matrice identité, c'est-à-dire le nombre d'expériences multiplié par la matrice identité. Et donc cette matrice-là, 4 fois l'identité, identité, c'est très facile à inverser, c'est 1/4 multiplié par la matrice identité. Donc j'ai aucune difficulté à inverser cette matrice X'X maintenant si je me restreins aux effets principaux. Mais pour ça, il faut que je me dise que je ne considère pas du tout les interactions d'ordre 2 et l'interaction d'ordre 3. Donc si je m'intéresse qu'aux effets principaux, X'X s'écrit simplement et est inversible Ça correspond à x prime x égale n fois l'identité. Donc ça signifie qu'après j'aurai x prime x moins 1 égale 1 sur n fois l'identité, et donc la variance de mes estimateurs qui serait égale à sigma carré sur n, et donc à la précision optimale par rapport au nombre d'expériences. Alors je vais passer à un plan 2 puissance 4 moins 1 maintenant. Donc 2 puissance 4 moins 1, je m'intéresse à 4 facteurs à 2 modalités, et pour ça, j'ai 2 puissance 4 moins 1, c'est égal à 8, donc j'ai 8 essais. Donc je vais prendre, première étape, le plan de base, donc c'est le plan de base qui a 8 essais, donc le plan à 8 essais, c'est le plan 2 puissance 3, donc j'écris le plan 2 puissance 3 avec les facteurs A, B, C. Alors pour construire ce plan 2 puissance 3, Bien, on met une moitié de 1 pour le premier facteur, puis une moitié de -1. Pour le deuxième facteur, là où il y a des 1, on met une moitié de 1, une moitié de -1. D'accord? Pour le facteur B, une moitié de 1, une moitié de -1 quand le facteur A a la modalité 1. Et puis même chose quand le facteur A prend la modalité -1, une moitié de 1, une moitié de -1. Et puis pour le facteur C, quand le facteur B prend des 1 ici, là, bien je prends une moitié de 1, une moitié de -1, une moitié de 1. Donc ça, c'est pour construire le plan de base. Ensuite, je construis la matrice des effets du modèle saturé avec ce plan. Donc le modèle saturé avec ce plan, c'est le modèle avec les effets principaux, les interactions d'ordre 2 et l'interaction d'ordre 3. Donc j'écris le modèle avec la constante a, b, c et les interactions ab, ac, bc, et puis l'interaction triple abc. Et donc très facile d'avoir les valeurs dans chacune des cases puisqu'il suffit de faire le produit des colonnes. Et donc j'ai cette matrice associée au modèle saturé dans le plan de puissance 3. Et puis maintenant, ce que je me dis, c'est que l'interaction triple ABC est certainement négligeable. En tout cas, s'il y a quelque chose à négliger, c'est plutôt celle-là. Et donc je vais confondre le facteur d avec l'interaction triple abc. Donc d sera égal à abc. Et ensuite, bien, si j'écris d égal abc, ça va me générer d'autres confusions. Et donc on va lister maintenant les autres confusions. Donc là, c'est la matrice précédente. Je dis que d est égal à abc. Et bien, je multiplie d par d. Je multiplie à gauche et à droite par D, donc D par D c'est égal à l'identité. On a vu D multiplié par D c'est l'identité. Donc j'ai la constante qui est égale à l'interaction triple ABCD, l'interaction quadruple pardon ABCD. Donc j'ai I égal ABCD. Et ensuite, à partir de ce générateur d'alias, je vais multiplier I par A pour avoir avec quoi est confondu le facteur A. Je multiplie I ici par A pour voir dans cette case avec quoi est confondu le facteur A. Donc I par A, c'est égal à A. A multiplié par ABCD, les 2 A, quand je fais leur produit, c'est égal à la colonne de 1, donc ils s'éliminent et il reste juste BCD. Et donc le facteur a sera confondu avec bcd. Et puis même chose si je multiplie la constante par b, ensuite je multiplie abcd par b, les deux b vont s'éliminer et je vais avoir b qui est confondu avec acd. c, si je multiplie par abcd, ça va être égal à abd. Si maintenant je multiplie i la constante par AB, et ici je vais multiplier AB par ABCD, donc les 2 A vont s'éliminer, les 2 B vont s'éliminer, il reste juste CD. Donc je vais avoir l'interaction AB qui sera confondue avec l'interaction CD. Et puis même chose, AC confondu avec BD, BC confondu avec AD. Donc vous pourrez faire ça vous-même, c'est très facile, et vous en referez en TD. Alors, un dernier plan qu'on va construire, c'est le plan 2 puissance 5 moins 2. Donc 2 puissance 5 moins 2, là encore, 5 moins 2 ça fait 3, donc c'est le plan 2 puissance 3, c'est-à-dire un plan à 8 essais. Donc je choisis le plan de base, c'est le plan à 8 essais, donc c'est le même que tout à l'heure, le plan avec les effets A, B et C, les facteurs A, B et C. Je construis la matrice du modèle saturé associé à ce plan de base. Donc là, c'est la même que tout à l'heure. Et maintenant, il faut que j'affecte les effets supplémentaires, c'est-à-dire le facteur D et le facteur E, le 4e facteur et le 5e facteur. Avec quoi les confondre? Alors, quand on a un seul facteur à rajouter, ce qui était le cas dans l'exemple précédent, on va le confondre avec l'interaction d'ordre le plus élevé possible. Quand maintenant on a plus qu'un facteur, quand on a 2 facteurs à rajouter, on va pas les confondre avec les interactions d'ordre le plus élevé, mais avec l'interaction d'ordre le plus élevé moins 1. Alors vous verrez en TD pourquoi est-ce qu'il faut toujours confondre avec l'interaction d'ordre le plus élevé moins 1, parce que dans certains cas on n'a pas les plans les plus intéressants. Vous verrez ça en TD. Que confondre avec l'interaction d'ordre le plus élevé ne conduit pas nécessairement vers le plan le plus intéressant. Dans certains cas ça marche, mais dans d'autres cas ça marche pas. Par contre, ce qui marche toujours, c'est de confondre avec l'interaction d'ordre le plus élevé moins 1. Donc ici, l'interaction d'ordre le plus élevé, c'est une interaction d'ordre 3. Donc je vais confondre D et E avec des interactions d'ordre 3 moins 1, donc des interactions d'ordre 2. Alors, avec quoi confondre D? Avec quoi confondre E? Finalement, je choisis un petit peu au hasard, donc de façon arbitraire ici j'ai pris D confondu avec AB et E confondu avec AC. Alors maintenant, le fait de confondre D avec AB et E avec AC, ça va me générer beaucoup de confusions, donc on va déterminer ces confusions. Donc je détermine d'abord le générateur d'alias, donc D confondu avec AB, il y a j'ai donc I qui est confondu avec ABD, je multiplie à gauche et à droite par D. Et puis si j'ai I qui est confondu avec ABD, eh bien pour A, je vais avoir A multiplié par ABD qui sera égal à ABD, les A s'éliminent. B sera confondu avec AD, C multiplié par ABD ça donne ABCD, etc. Donc là, j'ai toutes les confusions qui résultent de la confusion de D avec l'interaction AB. J'ai également confondu le facteur E avec l'interaction AC. Donc, bien, ça me détermine de nouvelles confusions. E multiplié par E égale ACE. Et donc I, la constante, est confondue avec l'interaction triple ACE. Et donc je multiplie par A, ça me donne CE qui est confondu avec A. B multiplié par ACE, ça donne ABCE. C multiplié par ACE, ça donne AE, etc. Et puis on a toutes les confusions qui sont listées. Alors maintenant, une remarque, c'est quand je dis que je confonds E ici avec l'interaction AC, Mais en fait, j'ai également confondu E avec l'interaction triple BCD. On le voit ici, BCD était confondu avec AC, donc quand je confonds E avec AC, je confonds également E avec BCD. Donc ça, ça me donne un nouveau générateur d'alias, une nouvelle confusion, E qui est confondu avec BCD, et donc j'ai E multiplié par E qui est égal à BCDE, et donc le nouveau générateur d'alias, c'est la constante confondue avec l'interaction quadruple BCDE. Et donc après, une fois qu'on a la constante confondue avec BCDE, j'ai, si je multiplie par A, A confondu avec ABCDE, B confondu avec CDE, etc. Et dans ce tableau ici, j'ai tous les effets, toutes les interactions d'ordre 2, d'ordre 3, d'ordre 4 et d'ordre 5 qui pourrait être analysée avec un modèle à 5 facteurs. D'accord? Donc tous ces effets-là se retrouvent dans le tableau. Et maintenant, moi, ce que je dis, c'est qu'il y a des confusions entre ces différents effets. Le facteur A est confondu à la fois avec BD, CE et ABCDE. Donc j'ai des confusions de 4 effets en même temps. Alors comment déterminer ici les différents générateurs d'alias? Donc on a vu, on a D qui est confondu avec AB, ça me fournit le premier générateur d'alias, la constante confondue avec ABD. On a E confondu avec AC, ça me donne le deuxième générateur d'alias. Et puis après, eh bien, ce qu'on peut faire, c'est également le produit des générateurs d'alias. Donc quand j'ai I qui est égal à ABD et I qui est confondu avec ACE, eh bien je peux faire le produit des deux générateurs d'alias ABD et ACE. Donc j'ai ABD multiplié par ACE qui est égal à I, et donc la constante qui est égale, alors si je fais le produit des deux ici, j'ai les A qui s'éliminent, il reste BCDE. Donc en fait, en raisonnant de cette façon-là, je détermine d'abord les générateurs d'alias liés aux confusions des facteurs que j'ajoute, et puis après il me suffit de faire les produits des générateurs d'alias 2 à 2 pour avoir l'ensemble des générateurs d'alias. Le nombre total de générateurs d'alias, c'est 2 à la puissance le nombre de facteurs à rajouter, ici j'ai 2 facteurs à rajouter, D et E, moins 1. Donc 2 puissance 2, 4, moins 1, 3 générateurs d'alias. Si j'avais eu besoin de rajouter 3 facteurs, j'aurais 7 générateurs d'alias, 2 puissance 3, 8, moins 1, 7 générateurs d'alias. Et quand je rajoute un seul facteur, j'ai 2 à la puissance 1, c'est égal à 2, moins 1, 1 générateur d'alias. Quand je rajoute qu'un facteur, j'ai un générateur d'alias. Donc vous pouvez calculer comme ça le nombre de générateurs d'alias pour être sûr de ne pas en avoir oublié. Alors maintenant, un petit peu de couleur pour montrer ce qui se passe quand on a des confusions. Donc quand on a des confusions, ici je dis que le facteur A est confondu avec BD, est confondu avec CE, est confondu avec ABCDE. Ça signifie que je ne suis capable de n'estimer qu'un paquet. Je peux estimer le paquet bleu ici, là. Mais quand j'estime ce paquet bleu, j'estime le tout. Et à l'intérieur de ce tout, impossible pour moi de différencier ce qui est dû au facteur A ce qui est dû à l'interaction BD, ce qui est dû à CE, ou ce qui est dû à l'interaction ABCDE. C'est impossible. À chaque fois qu'il y en a un qui varie, l'autre varie exactement dans le même sens. Donc on peut pas différencier ces effets-là. Et donc je ne suis capable de n'estimer que chacun de ces 8 paquets finalement. Donc j'estime les paquets, mais à l'intérieur de chaque paquet, il est impossible de différencier ce qui est dû à un facteur ou à un effet ou à un autre effet. D'accord? Donc ça, c'est ce que signifie la confusion. Et donc ça, ça n'est intéressant que si dans ces paquets-là, il y a des choses qui sont a priori négligeables. Parce que si toutes les choses qui sont à l'intérieur du paquet sont intéressantes à étudier, si je suis intéressé par le facteur A, mais je suis aussi intéressé, très intéressé par l'interaction BD, Mon plan là, il n'est pas intéressant parce que je n'arriverai pas à différencier ce qui est dû à A et ce qui est dû à BD. Par contre, mon plan est intéressant si je peux considérer que l'interaction BD est négligeable parce que je connais bien le phénomène et je sais que cette interaction est négligeable. Je sais aussi que l'interaction CE est négligeable parce qu'on connaît bien le phénomène. Et puis l'interaction d'ordre 5, ABCDE, je sais aussi qu'elle est négligeable. Donc finalement, dans ce paquet bleu ici, j'ai le facteur A, j'ai BD qui est négligeable, j'ai CE qui est négligeable, j'ai ABCDE qui est négligeable. Donc quand j'estime le paquet B, j'estime A. Donc les plans d'expérience sont intéressants pour ça, c'est qu'on a estimé tout un paquet, mais derrière on a des idées sur le fait qu'il y a plein de choses qui sont négligeables. Et du coup, quand on estime le paquet, on estime les facteurs qui nous intéressent. Alors, quelle est la qualité maintenant? Comment on mesure la qualité des plans d'expérience qu'on a construits? Eh bien, en utilisant ce qu'on appelle la résolution d'un plan. Alors, la résolution d'un plan d'expérience, c'est très simple, c'est la longueur du plus petit générateur d'alias. Donc en fait, vous récupérez tous les générateurs d'alias du plan que vous êtes en train de construire. Donc des fois, il n'y a qu'un générateur d'alias, c'était le cas pour le plan 2 puissance 4 moins 1, donc c'est très simple, j'ai juste le générateur d'alias i égal à bcd. Et puis quelle est la longueur de ce générateur d'alias? C'est une interaction d'ordre 4 ici, donc on va dire que c'est un plan de résolution 4. D'accord, ça c'est très simple. Maintenant, si j'ai plusieurs générateurs d'alias, ce qui est le cas pour le plan 2^5-2, je liste tous les générateurs d'alias. Donc j'ai I, la constante qui est confondue avec l'interaction triple ABD, l'interaction triple BCE et l'interaction d'ordre 4 BCDE. L'interaction d'ordre le plus petit, c'est une interaction d'ordre 3, donc on va dire que c'est un plan de résolution 3. Alors pourquoi c'est intéressant de connaître la résolution du plan? Parce que quand on connaît la résolution du plan, on connaît sa qualité, on sait avec quoi sont confondues les choses. Un plan de résolution 3, ça signifie que la constante est confondue avec une interaction d'ordre 3, mais ça signifie également qu'un effet principal, un facteur, sera confondu avec une interaction d'ordre 2. Dans un plan de résolution 4, un effet principal sera confondu avec une interaction d'ordre 3. Une interaction d'ordre 2, 2 facteurs, sera confondue avec une autre interaction d'ordre 2, d'autres interactions d'ordre 2. Et puis un plan de résolution 5, c'est la meilleure qualité aujourd'hui, un effet principal sera confondu avec une interaction d'ordre 4. Une interaction d'ordre 2 sera confondue avec une interaction d'ordre 3. Donc ça signifie qu'à partir du moment où je peux considérer que des interactions d'ordre 3 sont négligeables, je peux estimer tous les effets principaux et toutes les interactions d'ordre 2 quand j'ai des plans de résolution 5. Quand j'ai des plans de résolution 4, si je peux considérer que les interactions d'ordre 3 sont négligeables, ça veut dire que je peux estimer les effets principaux. Par contre, les interactions d'ordre 2 sont confondues entre elles et donc je peux pas toutes les estimer. Mais ça, c'est le prix à payer par rapport au nombre d'expériences qu'on réalise. Si je veux connaître peu de choses, uniquement ce qui se passe sur les effets principaux, eh bien je peux me contenter d'un plan de résolution 3. Les effets principaux seront confondus avec des interactions d'ordre 2. Si toutes les interactions d'ordre 2, on peut les considérer comme négligeables, alors on peut estimer les effets principaux. Maintenant, si je peux pas considérer les interactions d'ordre 2 comme négligeables, il vaut mieux aller en résolution 4. On aura les effets principaux confondus avec des interactions d'ordre 3, ce qu'il est plus facilement possible de considérer comme négligeable. Par contre, avec ce type de plan, je pourrais pas savoir si estimer toutes les interactions d'ordre 2. Éventuellement, vous verrez en TD, on peut en estimer quelques-unes, mais on peut pas toutes les estimer. Et les plans les plus intéressants, d'ordre 5, ils sont plus intéressants, on peut estimer plus de choses, mais le prix à payer c'est qu'il faut plus d'expériences. Donc là justement il y a un petit tableau qui vous dit combien d'expériences réaliser en fonction de la résolution du plan que vous voulez, ou bien combien de facteurs est-ce qu'on peut étudier en fonction du nombre d'essais réalisés. Donc vous avez ici le nombre d'essais, Donc des plans à 8, 16, 32, 64, etc., essais. Et puis vous avez ici le nombre de facteurs que vous pouvez étudier en résolution 3, 4 ou 5. Donc en résolution 3, avec 8 essais, on peut étudier jusqu'à 7 facteurs. Avec 32 essais, on peut étudier jusqu'à 31 facteurs. Donc là, si on est en résolution 3, on peut s'intéresser à énormément de facteurs. Faire varier énormément de facteurs simultanément. 31 facteurs, c'est énorme, d'accord? Et ça en faisant que 32 expériences. Alors pour les gens qui connaissent pas les plans d'expériences, ça leur paraîtra impossible d'étudier simultanément 31 facteurs avec une précision, une très bonne précision sachant qu'on a 32 essais, ça paraîtra complètement infaisable. Mais c'est possible si on peut considérer que les interactions d'ordre 2 sont négligeables. Donc dans une première approche, c'est quelque chose d'intéressant. Donc ça, c'est pour les plans de résolution 3. Pour les plans de résolution 4, on va pouvoir estimer les effets principaux dès que les interactions d'ordre 3 sont considérées comme négligeables. Donc c'est des plans qui permettent presque à coup sûr de bien estimer les effets principaux. Par contre, les interactions, on ne peut pas forcément toutes bien les estimer. Mais dans une première étude, ça peut être intéressant de prendre beaucoup de facteurs et puis de voir quels sont les facteurs qui influent, qui ont un effet sur la variable réponse. Et puis les plans de résolution simple, de résolution simple sont très intéressants, mais on peut pas étudier énormément de facteurs. Si je veux étudier 7 facteurs par exemple, il me faut 64 essais, puisqu'avec 64 essais je peux étudier jusqu'à 8 facteurs, donc je peux en étudier 7. Mais là, le nombre d'essais augmente sensiblement quand on est en résolution 5. Il faut très vite aller chercher, on a beaucoup de choses à estimer, il y a beaucoup d'interactions d'ordre 2. Alors je vais passer maintenant à l'étape du dépouillement des plans d'expériences. Donc là, on est dans le, ce qu'on a fait, ce qu'on a vu, c'est comment construire, comment choisir les expériences à réaliser. Donc on choisit les expériences à réaliser, on réalise les expériences, et puis maintenant comment est-ce qu'on peut analyser les résultats obtenus à partir de ces expériences? Donc comment dépouiller les résultats? Alors pour les plans d'expériences ici qui sont construits, eh bien on a des règles qui sont plus ou moins fortes, de plus en plus contraignantes. Alors la règle la plus simple, c'est de considérer que tous les termes quand on estime un paquet d'effets confondus, tous les termes d'un paquet sont négligeables si le paquet est négligeable. Alors, en réalité, c'est pas forcément le cas. Il peut y avoir des compensations, il peut y avoir un facteur qui influe dans un sens et puis une interaction qui influe dans l'autre sens, et ces deux choses-là se compensent et le paquet est égal à zéro. On pourrait avoir ça, mais on fait l'hypothèse que si un paquet est négligeable, alors tout est négligeable. C'est une hypothèse. Si on veut pas faire cette hypothèse-là, le prix à payer, c'est de faire plus d'essais pour pouvoir tout distinguer. Mais avec peu d'essais, eh bien, on va considérer qu'un paquet est négligeable dès que tous les termes d'un paquet sont négligeables, dès qu'un paquet est négligeable. Ensuite, deuxième règle, c'est de considérer que les interactions d'ordre supérieur ou égal à 3 sont négligeables. Donc ça, c'est relativement raisonnable également. Et puis règle plus contraignante, les interactions entre deux effets négligeables sont négligeables. Donc j'ai le facteur A et le facteur B qui sont négligeables, eh bien je considère que l'interaction AB est elle aussi négligeable. Ensuite, les interactions qui comprennent un des deux effets négligeables, je les considère comme négligeables. Donc ça c'est encore plus contraignant. Et puis la règle la plus contraignante, c'est de considérer que toutes les interactions d'ordre 2 et plus sont négligeables. Donc quand on va dépouiller les plans d'expérience, on va essayer d'utiliser les règles du début et puis après on va aller vers les règles de plus en plus contraignantes. Alors on va le voir sur un petit exemple. Donc c'est toujours le plan 2 puissance 5- 2 et puis j'ai estimé chacun des paquets. Donc vous avez les valeurs sous les sous la matrice de chacun des paquets. Donc l'estimation du premier paquet, c'est égal à 2,25. Deuxième paquet, -3,15. Troisième paquet, 0,35, etc. Et puis, bien, en fait, j'ai mis une étoile devant les paquets qui ont une valeur qui est importante. Alors vous remarquez ici que j'ai pas employé le terme significativement différent de 0 parce que j'ai pas de test. Mais je considère une valeur comme grande, ou en tout cas suffisamment importante pour que je m'intéresse à ce problème. Et par rapport au problème que j'étudie, c'était quand les valeurs étaient inférieures à 1. Et donc ici, bien, tout ce qui était supérieur à 1 en valeur absolue, je considérais comme un effet intéressant à étudier. Et puis quand c'était inférieur à 1, je le considère comme pas suffisamment grand pour pour que j'aie besoin de l'étudier. Et donc, la première règle, c'est de considérer qu'un paquet est négligeable. Non, pardon, les paquets 3, 4, 7 et 8 sont donc négligeables. Donc ces paquets-là, ici, les valeurs que j'ai mises en plus petit maintenant, sont négligeables. Et la première règle, c'est de considérer que quand un paquet est négligeable, tous les termes du paquet sont négligeables. Donc ici, je vais considérer que tous les termes des paquets 3, 4, 7 et 8 sont négligeables. Et donc on les considère comme négligeables, ça signifie que le facteur B est négligeable, AD est négligeable, ABCE est négligeable, CDE est négligeable. Ça c'est pour le premier paquet. Deuxième paquet, le paquet C, C est négligeable, ABCD est négligeable, AE négligeable, BDE négligeable. D'accord? J'ai dit qu'un effet, alors la question c'est pourquoi est-ce qu'on les considère comme négligeables. Donc je disais que je considérais ici comme négligeable quand la valeur du coefficient était peu importante. Et peu importante, c'est moi qui détermine le seuil. Je considère qu'en dessous de 1, c'est pas important. Et je disais que je m'intéresse pas à la significativité parce que j'ai pas de test. Donc je considère que c'est négligeable quand c'est inférieur à 1. Donc là, c'est plusieurs choses qui sont négligeables, mais on voit qu'on n'arrive toujours pas à estimer tous les effets. Et donc il faut que j'utilise les règles suivantes. Donc la deuxième règle, c'est de considérer que les interactions d'ordre supérieur à 2, strictement supérieur ou égal à 3, sont négligeables. Donc toutes les interactions supérieures ou égales à 3 deviennent négligeables. Et donc ce que j'ai gagné ici, c'est que dans le premier paquet qui vaut 2,5, j'ai la constante et uniquement des choses négligeables. Donc finalement, j'ai la constante plus des choses négligeables, donc la constante vaut 2,25. J'estime la constante en tout cas par 2,25. D'accord? En faisant l'hypothèse que les autres termes sont négligeables. Supérieur strictement à 2, oui. Alors la troisième règle, c'est de considérer que les interactions entre deux événements négligeables sont négligeables. Donc là, ça voudrait dire par exemple l'interaction BC, B est négligeable, C est négligeable, l'interaction BC est négligeable. Mais l'interaction BC, elle apparaissait mais dans un paquet qui était déjà négligeable. Donc je gagne rien ici. Et puis j'ai pas d'autres effets, donc j'ai pas d'autres utilités de cette règle. Donc je vais passer à la règle suivante, la règle 4: les interactions qui comprennent un effet négligeable sont négligeables. Donc les interactions qui comprennent le facteur B sont négligeables. Donc ça signifie que je vais considérer que BD est négligeable. Je vais considérer que CE est négligeable puisque C est négligeable. Je vais considérer que AB est négligeable. Je vais considérer que AC est négligeable. Donc tout ça, c'est négligeable. Et là maintenant, il me reste quoi? Il me reste le premier paquet avec la constante, le deuxième paquet dans lequel j'ai uniquement le facteur A. Donc j'estime que le facteur A est égal à -3,15. Son effet est égal à -3,15. B, son effet est nul. C, son effet est nul. D a un effet de 2,58 et E a un effet de 4,15. Voilà. Et donc le dépouillement du plan d'expérience s'est fait de cette façon-là. On peut pas le faire autrement parce que si on le fait autrement, eh bien, on Si je rentre un modèle par exemple dans un logiciel, si je rentre un modèle avec le facteur A et l'interaction BD, le logiciel va vous insulter en vous disant la matrice n'est pas inversible. Effectivement, les colonnes de la matrice seront linéairement dépendantes puisque A et BD c'est exactement les deux mêmes colonnes et donc le logiciel ne peut pas inverser exprimix. D'accord? Donc c'est à vous de lui dire quels sont les facteurs que vous allez vouloir estimer, les effets que vous allez vouloir estimer. Alors il restait une cinquième règle qui était de considérer que toutes les interactions sont négligeables, les interactions d'ordre 2 et plus sont négligeables, mais j'ai pas eu besoin d'utiliser cette règle-là. Alors on va voir maintenant un dernier point qui est le passage de la résolution 3 à la résolution 4. Alors ça, ça peut être intéressant dans une optique où on construit le plan d'expériences de façon séquentielle. Donc on construit d'abord une partie des expériences, ça permet d'avoir une idée des résultats, et puis après on améliore la résolution du plan en mettant des plans, des essais complémentaires. Donc c'est des plans en 2 étapes, un plan de résolution 3, Alors je vais prendre l'exemple du plan 2 puissance 5 moins 2. Donc le plan initial, c'est le plan qu'on avait construit avec les facteurs A, B, C, D, E. Donc D est confondu avec l'interaction AB et E est confondu avec, je crois qu'on avait confondu avec AC. Je l'ai mis là d'ailleurs. Donc D est confondu avec AB et E est confondu avec AC. Et j'ai les générateurs d'alias qui sont la constante confondue avec ABD, la constante confondue avec ACE et confondue avec BCDE. Donc ça, j'étudie ce plan-là et par exemple j'estime le facteur A, enfin j'estime tous les facteurs et je me rends compte finalement que peut-être que l'interaction, le facteur A est très important, le facteur B est très important et peut-être qu'il peut y avoir une interaction AB Et je l'avais considérée comme négligeable dans un premier temps, quand j'étais en plan de résolution 3, mais là finalement, je me pose la question, est-ce qu'elle est vraiment négligeable? Donc j'aimerais bien finalement, alors pourquoi je veux aller plus loin? Parce que l'interaction AB, je l'ai considérée comme négligeable et elle est confondue avec le facteur D. Donc finalement, quand j'estime D, est-ce que c'est dû à D ou est-ce que c'est dû à AB? J'arrive pas à savoir. Donc ce que je me dis, c'est que je vais passer à un plan de résolution 4, et donc dans la résolution 4, eh bien, j'ai le facteur principal D qui sera confondu avec des interactions d'ordre 3 ou plus, et donc j'arriverai vraiment bien à estimer le facteur D. Donc ça vaut le coup pour moi de passer dans un plan de résolution 4. Et pourquoi j'avais pas fait directement un plan de résolution 4? Eh bien, parce que j'avais pas vraiment d'idée au départ sur l'expérience, sur le phénomène, les expériences coûtaient cher et je veux avoir une première approche. Donc là, c'est vraiment l'idée d'un plan séquentiel en 2 étapes. D'abord la résolution 3 qui nous permet d'avoir des choses, et puis après éventuellement pousser un petit peu l'analyse pour passer dans une résolution supérieure qui permet de mieux estimer chacun des facteurs. Donc le plan initial est celui-là et on va prendre le plan complémentaire de façon, alors qui se construit de façon très simple. Je reprends le plan initial et je multiplie tout par -1. Donc quand je multiplie le plan initial par -1, bien tous les 1 deviennent -1, tous les -1 deviennent 1, d'accord? Donc si vous voyez la première ligne du plan complémentaire, il n'y a que des -1, ce qui correspond à la première ligne multipliée par -1, d'accord? Puis pour la deuxième ligne, J'ai bien moins un moins un un moins un un. Alors ce plan-là, il a deux fois plus d'essais puisque j'ai multiplié, j'ai repris le plan, je l'ai dupliqué en multipliant par moins un et on va voir que bien ça permet de passer en résolution quatre. Alors comment on va le voir dans le plan complémentaire? J'ai moins d Puisque j'ai multiplié par moins un, j'ai moins d qui est égal à moins ab multiplié par moins b, moins a multiplié par moins b, pardon. Et donc si j'ai moins a multiplié par moins b, ça me donne ab. Donc j'ai d qui est égal à moins ab. Pour le deuxième facteur, j'ai moins e qui serait égal à moins a multiplié par moins c. Et donc si je fais le produit de moins a par moins c, ça me donne ac. Donc j'ai e qui est égal à moins ac. Alors finalement, dans ce plan complet où j'ai à la fois le plan initial et le plan complémentaire, bien, je peux considérer un facteur virtuel en fait que je vais pas analyser, mais un facteur virtuel qui correspondrait au facteur S. Alors je l'appelle S pour facteur signe, prend la modalité 1 pour le plan initial, la modalité -1 pour le plan suivant, pour le plan complémentaire. Et avec ce facteur s, bien, je vais avoir finalement d ici qui est égal à moins d ici dans le plan initial qui est égal à ab, d qui est égal à moins ab dans le plan complémentaire. Donc finalement, je peux écrire d qui est égal à ab multiplié par s. Ça prend la modalité 1 pour le plan initial et -1 pour le plan complémentaire. Donc j'ai D égal ABS, E même chose qui est égal à AC pour le plan initial, moins AC pour le plan complémentaire, ça correspond à E qui est égal à ACS. Et donc finalement j'ai un plan complet dans lequel j'ai D égal ABS, E qui est égal à ACS, et donc les générateurs d'alias sont la constante qui est égale à ABDS, La constante qui est toujours égale avec le deuxième générateur à A E A C E S. Et puis si je fais le produit de ces deux générateurs, j'ai A B C D, enfin j'ai B C D E. Les A s'éliminent, les S s'éliminent, il me reste B C D E. Et donc finalement, dans ce plan complet, c'est un plan complet à deux résolutions quatre. Puisque j'ai 3 générateurs d'alias, mais l'interaction d'ordre le plus petit, c'est une interaction d'ordre 4, et donc c'est un plan de résolution 4. Et donc, en passant de la résolution 3 à la résolution 4, maintenant je peux garantir l'estimation des effets principaux dès que je peux considérer que les interactions d'ordre 3 ou plus sont négligeables. Et encore une fois, je me répète, mais les interactions d'ordre 3 sont généralement facilement négligeables parce qu'on connaît assez peu de phénomènes dans lesquels on a des interactions triples qui ont une vraie interprétation pratique. Donc en tout cas, là, on peut estimer tous les effets principaux et les différencier des interactions d'ordre 2. Par contre, je reste en résolution 4, donc je ne peux pas estimer toutes les interactions d'ordre 2. Là, si je voulais estimer toutes les interactions d'ordre 2, il il faut vraiment aller vers la résolution 5, et ça il faut le faire éventuellement dès le départ parce qu'il faudra avoir beaucoup plus d'expérience. Alors pour récapituler un petit peu le cours, je vais récapituler le cours par rapport à la démarche statistique en général. Donc quand vous avez un problème et que vous voulez répondre à ce problème, La première étape, c'est de bien définir la problématique à laquelle vous vous attachez. Donc bien définir la problématique. Ensuite, choisir les expériences à réaliser. Donc combien d'expériences réaliser, quels sont les facteurs qui entrent en jeu, quelles expériences effectivement je vais réaliser. Donc ça, c'est la planification expérimentale qui va nous dire quelle expérience faire à chaque fois. Et puis après, vous faites les expériences, vous obtenez donc des résultats, et dernière étape, vous allez analyser ces résultats. Et donc ici, quand on a des plans avec des variables qualitatives, ce sont des analyses de variance qui vont permettre de dépouiller les résultats. Alors, les extensions par rapport à ce cours, On s'est intéressé ici à des variables uniquement qualitatives, à 2 modalités. Alors vous verrez en TD, je pense, un exercice dans lequel c'est finalement assez facile d'étudier des variables à 4 modalités. 4 modalités, c'est 2 fois 2, et en fait ça revient à prendre en compte 2 facteurs à 2 niveaux. Vous verrez ça en TD. Donc ce qu'on a vu sur les plans d'expérience aujourd'hui, toute la démarche est intéressante dans un cas beaucoup plus général Et on peut même l'appliquer assez facilement à des variables avec 4 modalités. Donc après, on peut aussi construire des plans avec un nombre de modalités quelconque. Le principe est un peu toujours le même: essayer de minimiser la matrice X'X⁻¹. Et puis on peut aussi s'intéresser à des plans dans lesquels les variables sont quantitatives et non plus qualitatives. Donc ça, c'est le cas quand on a des Quand on s'intéresse à essayer d'optimiser une réponse, on veut dans un process faire varier la température et la pression et voir quelle est la valeur optimale. On fait varier température et pression et on prend plusieurs mesures à différents instants. Et on va essayer de construire une surface de réponse qui permet d'avoir l'optimum. Donc ça, vous verrez ça éventuellement plus tard. Les plans d'expériences en avec des variables qualitatives à 2 facteurs sont des plans très utiles dans la pratique parce que bien souvent, même les variables quantitatives, on peut dans un premier temps prendre 2 niveaux. C'était le cas dans l'exemple que j'avais pris où je prenais le pourcentage d'eau qui était de 45% ou 55%. Dans un premier temps, c'est une étude intéressante, même si après ça peut être intéressant d'optimiser cette quantité d'eau et d'aller sur des plans un peu plus loin. Voilà, donc on va arrêter là pour aujourd'hui. Merci de votre attention.