Cours sur les plans fractionnaires

Bonjour, je vais vous présenter un cours sur la planification expérimentale. L'objectif global de ce cours est de savoir quelle expérience choisir quand on veut étudier l'effet de plusieurs facteurs sur une variable d'intérêt, statistiquement on l'appelle Y en général. Donc la variable d'intérêt Y, c'est une variable réponse qui le plus généralement est quantitative et puis là l'enjeu c'est de savoir s'il y a des variables explicatives qui influent sur cette variable Y. Et de se dire, je vais essayer d'étudier plusieurs variables simultanément, de savoir quelles sont les variables qui permettent d'expliquer au mieux Y, qui ont le plus d'effet sur Y. Et donc l'idée, c'est d'étudier plusieurs facteurs sans pour autant faire trop d'essais. Donc vous voyez ici une photo avec une vue aérienne d'un champ où on a fait des essais, on a testé plusieurs variétés, plusieurs apports d'azote, plusieurs— est-ce qu'on avait de l'irrigation, pas d'irrigation, de l'insecticide, pas d'insecticide, du fongicide, pas de fongicide. Donc on s'intéresse à plusieurs facteurs: facteur variété, engrais, irrigation, fongicide, insecticide, etc. Et donc on veut étudier beaucoup de facteurs mais ne pas faire trop d'essais parce que les essais coûtent cher ou parce que les essais prennent du temps. Donc tout l'enjeu c'est d'étudier beaucoup de facteurs, d'avoir une estimation assez précise de l'effet de ces facteurs sur la variable Y tout en faisant un nombre relativement limité d'essais. Et donc là l'enjeu de la planification c'est de savoir quels essais choisir pour pouvoir justement étudier beaucoup de facteurs et avoir pour autant une estimation précise de chacun de ces facteurs. Et puis sur la droite vous voyez une surface en 3 dimensions, c'est ce qu'on appelle une surface de réponse. Où là on s'intéresse à une variable Y mais on veut voir l'effet de, ici, 2 variables quantitatives sur Y. Et donc on a construit ici une surface de réponse mais pour construire cette surface de réponse, eh bien on a fait des expérimentations sur quelques points et après on a construit un modèle qui permet de construire cette surface de réponse. Et puis l'objectif ici ça va être de trouver l'optimum par exemple, donc la combinaison optimale optimale qui permet de maximiser Y. Mais pour trouver cette surface de réponse, eh bien, j'ai pas le droit de faire une infinité d'expériences. Il faut que j'en fasse uniquement quelques-unes, mais que j'arrive quand même à construire cette surface et la construire en étant le plus précis possible. Donc l'enjeu des plans, c'est de choisir les expériences à réaliser. Donc on est en amont de l'acquisition de données. C'est comment est-ce qu'on va acquérir les données ou faire des essais. Donc le plan du cours va être le suivant: le premier cours sera sur les plans fractionnaires. Donc dans les plans fractionnaires, on s'intéresse à des variables qualitatives qui ont 2 modalités. Donc ce sont des plans relativement simples puisqu'on a uniquement 2 modalités pour chaque variable qualitative, mais ça permet de poser les bases de toutes les notions qu'on va retrouver sur les plans d'expériences. Ensuite, on va avoir un cours sur les plans continus ou plans à surface de réponse. Donc là, on s'intéresse à des variables quantitatives qui influent sur une variable Y et donc comment trouver les expériences à réaliser toujours quand les variables sont quantitatives. Le troisième cours sera sur des plans qualitatifs mais qui ont cette fois plus que 2 modalités. Donc on étudie des variables qualitatives à 3, 4, 5 modalités, un nombre de modalités qui est différent d'une variable à l'autre et et aussi des plans où on a à la fois des variables qualitatives et des variables quantitatives. Et puis enfin un dernier cours sur les plans optimaux qui sont les plans qu'on va utiliser quand on est dans des configurations très compliquées et qu'il n'y a pas de plan standard pour pouvoir répondre à ces questions. Donc pour tout ce cours de plans, eh bien je vais utiliser quelques notions de modèles linéaires, donc de régression et d'analyse de variance, notamment la définition du modèle, En modèle linéaire, que ce soit en régression ou en analyse de variance, si j'ai des notations matricielles, je vais écrire que la réponse Y c'est égal à X, donc une matrice X qui contient les variables explicatives, fois un vecteur bêta plus des résidus epsilon. Donc ce modèle Y= X bêta+ E me permet de savoir quelles sont les variables explicatives qui entrent en jeu et puis tous les paramètres du modèle sont dans le vecteur bêta. Et les paramètres du modèle, les bêtas, je vais les estimer par le paramètre bêta chapeau égal X prime X moins 1, X prime Y. Alors X prime, c'est la transposée de X, c'est-à-dire qu'on écrit les lignes de X en colonnes. Et puis X prime X moins 1 signifie qu'on calcule l'inverse de X prime X. Ça, c'est l'estimateur des paramètres du modèle. Et après, bien, les propriétés des paramètres, ce sont des estimateurs qui sont sans biais et la variance de ces estimateurs. La variance de bêta chapeau, c'est X prime X moins 1 que multiplie sigma carré. Donc sigma carré, c'est la variance résiduelle, c'est-à-dire on a répété les expériences et il y a une certaine incertitude sur la mesure et donc ça, c'est sigma carré. Alors incertitude sur la mesure ou incertitude sur le fait qu'on n'a pas pris en compte tous les X très précisément dans le modèle. Par exemple, dans un champ, il y a une certaine variabilité du sol cette variabilité du sol n'est pas prise en compte dans le modèle et donc elle va se retrouver dans la résiduelle. Donc c'est pour cette raison que si on fait les expériences plusieurs fois, on n'a pas exactement les mêmes résultats. Donc cette variabilité résiduelle, on ne peut pas tellement jouer dessus. Par contre, on voit que dans la variance de bêta chapeau, on a aussi X prime X moins 1 et ça, ça dépend uniquement de X et donc ça dépend uniquement des expériences qu'on va réaliser puisque X c'est les expériences qu'on réalise. Et donc tout l'enjeu des plans d'expériences, ça va être de trouver les essais, les expériences telles que ce X' soit le plus petit possible. Donc on va commencer par le cours sur les plans fractionnaires. Alors j'ai mis une photo de Monsieur Fisher que vous connaissez puisque vous connaissez tous la loi de Fisher. Et c'est quelqu'un qui était statisticien, qui a fait beaucoup pour les statistiques, mais au départ il était agronome et il s'est posé de nombreuses questions agronomiques et il a dû répondre à ces questions agronomiques en faisant des statistiques, en proposant des méthodes statistiques, notamment des notions de plans d'expériences, d'analyses de variance et des lois de Fisher également. Donc pour ce cours, eh bien je vais prendre un exemple relativement simple qui est un exemple d'un étudiant qui était en stage il y a quelques années. L'objectif de son stage, c'était de trouver une recette qui permettait que les galettes de sarrasin ne se déchirent pas trop lorsqu'on les déplie. Donc les galettes de sarrasin, souvent quand on les déplie, elles se déchirent. Et l'objectif, c'était de trouver une recette qui permette de limiter le nombre de galettes qui se déchirent. Et donc pour ce faire, il avait listé quelques variables qui pouvaient influer sur le fait que les galettes se déchirent. Donc les variables qui pouvaient entrer en jeu selon lui étaient la quantité d'eau, la température de la plaque, l'étalement de la pâte, la quantité de pâte par galette, le type de farine, le pliage ou la température de stockage. Donc ça, c'était une liste des différentes variables. Et puis pour chacune de ces variables, eh bien, il avait défini 2 niveaux, 2 modalités pour chaque variable. Donc par exemple, la quantité d'eau, il s'est dit qu'il allait tester 45% ou 55%. La température de la plaque, 180°, 220°. L'étalement de la pâte, automatique ou à la main. La quantité de pâte, 55 g ou 65 g, le type de farine bio ou non bio, le pliage à chaud ou à froid et la température de stockage à 6 ou 15 degrés. Donc voilà, à partir de tout ça, il voulait trouver la meilleure combinaison de facteurs, la meilleure recette. Alors, première idée pour déterminer la meilleure recette, je vais faire toutes les recettes et puis je vais prendre celle qui est la meilleure. Ça, c'est une idée qui est Intéressante, sauf qu'ici il y a 2 puissance 7, parce que tous les facteurs ont 2 modalités, donc au total on a 2 puissance 7 combinaisons de facteurs, c'est-à-dire 128 expériences à réaliser. En gros, une expérience, le temps de faire la pâte, de faire cuire les galettes et de voir si elles se déchirent, ça prend une demi-journée. Et donc évidemment, 128 demi-journées, ça fait beaucoup trop, c'est impossible de faire autant d'expériences. Et donc son maître de stage lui a dit qu'il s'autorisait en gros 16 expériences à réaliser. Et bien voilà, la question c'est quelle expérience réaliser? J'ai droit d'en faire 16, si j'en ai 128 c'est idéal parce que je peux tout tester, mais là j'ai droit d'en faire que 16, comment faire? Une première, une deuxième idée c'est de se dire je vais faire varier les facteurs un par un. Donc par exemple le pourcentage d'eau, eh bien je vais prendre une fois 45, une fois 55%. Là il y a quand même un problème, c'est que quand je vais tester 45% et 55%, qu'est-ce que j'utilise sur les autres variables? Est-ce que je prends de la farine bio ou non bio par exemple? Ça, ça peut jouer. On voit à travers cette question qu'on va pas pouvoir estimer les interactions, s'il y en a, entre les facteurs. Donc cette idée de faire varier les facteurs un par un, elle n'est pas très bonne parce qu'on peut pas étudier les interactions. Donc une idée qui est bien meilleure, c'est de faire varier tous les facteurs simultanément. Et donc en faisant varier tous les facteurs simultanément, on va pouvoir estimer les interactions. Le problème en faisant ça, si on le fait un petit peu au hasard, c'est qu'on risque de confondre l'effet de différents facteurs. Donc par exemple de tester la farine bio systématiquement avec 45% d'eau. Si on fait ça, on va jamais savoir si les galettes se déchirent moins, est-ce que c'est parce qu'il y a moins d'eau, 45% d'eau, ou est-ce que c'est parce que c'est de la farine bio? Donc voilà, je peux pas faire varier ces deux variables de la même façon. Donc il faut que je les fasse varier tous ensemble, les facteurs, mais il faut pas qu'ils varient dans le même sens. Donc il y a une difficulté ici. Et la question qu'on se pose, c'est est-ce qu'il est possible de construire des plans d'expériences avec peu d'expériences, 16 expériences uniquement, mais des plants qui ont de bonnes propriétés. En général, quand on fait des plans d'expériences, eh bien ce qu'on veut étudier c'est beaucoup de facteurs, donc s'intéresser ici à 7 facteurs mais des fois on veut s'intéresser à beaucoup plus de facteurs. Et puis souvent on veut aussi étudier beaucoup de niveaux, beaucoup de modalités par facteur et pas seulement 2 modalités. Par exemple pour le pourcentage d'eau, on pourrait étudier avec 45, 47, 49, 50, etc. Évidemment, si on multiplie le nombre de facteurs et si on multiplie le nombre de modalités, ça augmente très sensiblement le nombre d'expériences. Et puis les facteurs à 2 niveaux, à 2 modalités seulement, c'est des plans relativement simples mais qui sont très utiles dans de très nombreuses applications, au moins dans une première approche. Par exemple, pour le pourcentage d'eau, eh bien on peut tester déjà avec 45 et 55% d'eau. Et puis s'il y a un effet très important du pourcentage d'eau, se dire, eh bien, on va tester plus finement en faisant varier 45, 48, 50% d'eau. Donc dans une première approche en tout cas, les facteurs à 2 niveaux sont très intéressants. Alors je vais donner quelques définitions en partant des plants complets. Donc les plants complets, c'est-à-dire les plants où on fait toutes les expériences possibles. Donc si je prends, m'intéresse à p facteurs, je prends p facteurs tous à 2 niveaux. Si je veux tester toutes les combinaisons, il faut un plan qu'on appelle 2 puissance p, c'est-à-dire c'est un plan où j'étudie p facteurs à 2 niveaux et en tout j'ai 2 puissance p essais. Et donc si je prends le plan 2 puissance 2, c'est-à-dire un plan en 4 essais où j'étudie 2 facteurs à 2 niveaux, eh bien la matrice des essais je la définis de la façon suivante. Donc là, j'ai 2 facteurs, le facteur A et le facteur B, et chacun de ces facteurs prend 2 niveaux, le niveau +1 et le niveau -1. Donc par exemple, le facteur A va prendre le niveau +1 pour les 2 premiers essais et le niveau -1 pour les 2 derniers essais. +1, ça va correspondre par exemple à 45% d'eau et -1 à 55% d'eau. Donc c'est un codage avec des +1 et des -1 pour chacun des facteurs. On verra l'intérêt du codage juste après. Et donc comment je définis ma matrice des essais? Eh bien en fait c'est assez simple, je vais prendre d'abord une première moitié avec des +1 et une deuxième moitié avec des -1 pour le premier facteur. Et puis pour le facteur suivant, pour le facteur B, là où il y a des +1 pour le facteur A, je mets une moitié de +1, une moitié de -1. Alors ici une moitié de +1 ça fait juste un +1 et un -1. Quand le facteur A a la modalité +1 et quand le facteur A a la modalité -1, j'ai encore 1+ 1, 1- 1. Cette règle-là par contre marche aussi quand on a plus que 2 facteurs. Donc ça c'est la matrice des essais, ça définit parfaitement quels essais réaliser. Donc chaque ligne correspond à un essai et donc la première ligne par exemple ça va être prendre le facteur A avec la modalité +1 et le facteur B avec la modalité +1. Pour analyser ensuite les résultats, une fois qu'on aura fait les essais, qu'on aura mesuré Y, eh bien on va construire un modèle d'analyse de variance. Si on construit un modèle additif, on va écrire le modèle Yij= mu, une constante,+ l'effet alpha_i+ l'effet bêta_j. Donc là je vous renvoie à un cours d'analyse de variance pour comprendre ce modèle. Et dans le modèle d'analyse de variance, eh bien pour estimer les paramètres mu, alpha_i et bêta_j, on va construire une matrice X. La matrice Y égale X bêta plus E. Et la matrice X, c'est ce qu'on appelle la matrice des effets. Donc cette matrice des effets, il y a une colonne pour chacun des effets. Donc les effets, il y a la constante mu, et donc c'est la colonne que j'appelle grand I avec uniquement des 1. Cette colonne-là sert uniquement à calculer, à estimer la constante mu. Ensuite, on a une colonne pour le facteur A, donc c'est la même colonne que celle qui est dans la matrice des essais, et une colonne pour le facteur B, là encore c'est la même colonne que pour la matrice des essais. Si maintenant on s'intéresse à un modèle avec interaction, donc on va écrire Yij= mu+ alpha_i+ beta_j plus l'interaction qu'on note gamma_ij ou alpha_beta_ij. Donc si je la note alpha_beta_ij, eh bien la matrice X associée, ça va être une colonne avec que des 1 pour l'estimée de la constante, ensuite une colonne pour le facteur A, une colonne pour le facteur B, et puis une colonne pour l'interaction avec donc les valeurs +1 et -1. Alors comment on trouve les valeurs pour cette colonne interaction? Eh bien en fait, il suffit de multiplier la colonne A par la colonne B. Et pour trouver les valeurs dans cette colonne, il suffit de multiplier les colonnes des facteurs qui interagissent. Donc ici, pour l'interaction AB, il me suffit de multiplier la colonne A par la colonne B. Donc 1 par 1, ça fait +1, +1 par -1, ça fait -1, -1 par +1, ça fait -1, et -1 par -1, ça fait +1. Donc là, c'est tout l'intérêt en fait du codage avec les 1 et -1, c'est qu'en faisant le produit terme à terme du facteur A et du facteur B, on trouve les valeurs du codage pour l'interaction. Et donc là on a notre matrice des effets, c'est-à-dire la matrice X du modèle Y= X bêta+ E. Donc la matrice des essais, ça définit quels essais on réalise, et la matrice des effets c'est la matrice X qui dépend donc des essais qu'on réalise mais également du modèle qu'on est en train d'étudier. Est-ce qu'on prend un modèle additif ou un modèle avec interaction? Et donc, bien, notre matrice des effets, notre X dans le modèle additif, je l'ai repris ici. Et si je fais le calcul matriciel X prime X, donc je prends cette matrice X, je la transpose, donc j'écris en ligne ce qui est en colonne, et je multiplie par X, eh bien j'ai une matrice avec des 4 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Donc ça, je peux l'écrire n fois une matrice identité. Donc n c'est le nombre d'essais, 4, fois une matrice identité. Alors j'ai mis I indice 3, le 3 signifie que c'est une matrice identité avec 3 lignes et 3 colonnes. Et puis dans le modèle avec interaction, la matrice X est la suivante et quand on calcule X'X, eh bien on va avoir une matrice diagonale encore avec n fois une matrice identité sauf qu'ici la matrice identité a 4 lignes et 4 colonnes. Et donc ces matrices X, on les appelle des matrices d'Adamard puisque le produit X'X c'est égal à n fois l'identité. Donc ça c'est des matrices qui sont particulières et qui ont de bonnes propriétés et qu'on utilise en plan d'expériences. Alors maintenant qu'est-ce qu'un bon plan d'expériences? C'est un plan qui va permettre d'avoir une estimation de chacun des effets de chaque variable qui sera la plus précise possible. Donc quand je parle d'estimation précise, traduit mathématiquement, statistiquement, c'est d'avoir une variance la plus petite possible. Donc il faut que la variance des paramètres soit la plus petite possible, que variance des bêtas chapeaux soit le plus petit possible. Et donc dans variance de bêta chapeau, j'ai 2 termes: X prime X moins 1 et sigma carré. Donc sigma carré, on l'a dit tout à l'heure, c'est la variabilité résiduelle. Ça dépend uniquement des résultats qu'on a, du fait qu'il y a de la variabilité quand on répète une expériences et ça on peut pas jouer dessus. Mais par contre, X prime X, ça dépend uniquement de X, ça dépend uniquement donc du choix des expériences qu'on va réaliser. Et donc l'objectif des plans, c'est de trouver les bonnes expériences telles que cette matrice X prime X moins 1 soit minimale. Donc comment trouver les expériences telles que cette matrice soit minimale? Alors je vais partir d'un plan à trois facteurs et je vais partir du plan complet à trois facteurs. Donc le plan complet à trois facteurs, c'est le plan deux à la puissance trois. Et donc c'est un plan huit essais. Deux puissance trois, c'est égal à huit. Et donc d'après ce que je viens de dire précédemment, x prime x sera égal à n fois une matrice identité et n c'est égal à huit. Donc c'est huit. Huit c'est le nombre d'essais. Donc huit fois la matrice identité est égale à x prime x. Donc X prime X moins un inverser cette matrice-là, c'est facile, ça va faire un huitième fois la matrice identité. Donc j'ai des un huitième partout sur la diagonale et des zéros partout ailleurs. Donc ça, ça, si je multiplie ça par sigma carré, ça va me donner la variance des de mes paramètres. La variance de mes paramètres, en gros, c'est 0,125 fois la variance des résidus. Si maintenant parmi ces huit essais je prends quatre essais choisis au hasard, alors j'ai pris quatre essais au hasard et j'ai calculé x prime x moins un. Donc voilà la matrice x prime x moins un avec les essais que j'ai choisis. Évidemment si j'en avais choisi d'autres j'aurais une matrice un peu différente, mais là j'ai pris le premier choix de quatre de quatre essais. Qu'est-ce qu'on voit là-dedans? Mais on voit déjà que sur la diagonale les variances ont augmenté. La variance du facteur a c'est 0,5 fois sigma carré alors que précédemment c'était 0,125 fois sigma carré. Alors c'est pas étonnant que la variance ait augmenté puisque précédemment on avait 8 essais, là on en a plus que 4. Donc évidemment avec 4 essais on va être un peu moins précis, c'est normal que la variance augmente. Mais elle a été augmentée par 4. Et ce qu'on voit aussi c'est que la covariance entre 2 facteurs, alors ici la 2e ligne ça correspond au facteur A, et la 4ème colonne au facteur C. Donc là le 0.25 qui est entouré correspond à la covariance entre le facteur A et le facteur C. Ici la covariance est non nulle, ça veut dire qu'il n'y a pas indépendance entre l'estimation du facteur A et celle du facteur C. Et donc quand j'estime le facteur A, eh bien ça dépend plus ou moins aussi du facteur C. Et donc j'arrive pas à dissocier exactement ce qui est dû au facteur A de ce qui est dû au facteur C. Il n'y a pas indépendance. Et c'est beaucoup plus confortable si on arrive à construire un modèle où on a l'indépendance entre chacun des facteurs. Donc l'objectif des plans, si on peut en construire, ça va être de trouver des plans tels que ces facteurs soient orthogonaux ou indépendants. Et donc si je prends des plans qui sont bien construits, construits avec des plans d'expérience, eh bien voici la matrice que j'obtiens. Donc c'est une matrice avec des 0 partout en dehors de la diagonale, c'est-à-dire que tous les effets sont estimés indépendants les uns des autres, tous les effets sont orthogonaux. Et puis sur la diagonale, on a des valeurs qui sont de 0.25, ça veut dire que la variance de chaque facteur c'est 0.25 fois sigma carré. Alors c'est plus important que pour le plan complet où j'avais 0.125, mais c'est normal puisque j'ai 4 essais seulement au lieu de 8. Donc c'est normal que je sois un peu moins précis. Par contre, c'est bien, c'est meilleur que le plan où j'ai choisi les essais au hasard. Donc tout ça pour dire quoi? Tout ça pour dire que si vous prenez un plan complet et que vous choisissez au hasard 4 essais, eh bien vous avez de grandes chances d'avoir un plan qui ne soit pas de bonne qualité et de tomber sur le plan plutôt de gauche et pas le plan de droite. Et là, c'est vraiment dommage parce que je paye le même prix. J'ai fait dans les 2 situations le même nombre d'essais et il y a un plan qui est de très bonne qualité et l'autre qui n'est pas de bonne qualité. Donc ce qu'il faut retenir d'ici, c'est qu'il ne faut surtout pas choisir des essais au hasard, il faut construire des plans d'expériences. Alors un petit exercice pour vous montrer que, eh bien, c'est pas forcément si simple de construire des plans d'expériences. Donc là, l'exercice, on se contente d'étudier 4 facteurs à 2 niveaux et au lieu de faire 16 essais, qui est le plan complet, on n'en fait que 8. Donc comment choisir les 8 essais? Il y a un fichier Excel que vous pouvez télécharger. Vous le téléchargez et puis vous pouvez modifier les recettes à réaliser. Votre objectif, c'est de trouver les 8 recettes qui vont permettre d'estimer au mieux chacun des 4 facteurs qu'on cherche à étudier. Il y a une petite vidéo que vous pouvez voir qui vous explique comment utiliser ce fichier Excel. C'est très rapide. Après, essayez de construire le plan qui se rapproche du plan optimal, essayer de construire le plan optimal. Vous verrez qu'avec, même avec 4 facteurs, ce qui n'est pas beaucoup, c'est pas si simple. Et puis si vous n'y arrivez pas, eh bien c'est pas grave, vous suivez le cours, la fin du cours ici, et normalement vous arriverez à construire le plan facilement. Donc je vais construire le plan 2 puissance 3 moins 1. Alors le plan 2 puissance 3 moins 1, dans l'écriture du plan, 2 puissance 3 moins 1, on a toute l'information en fait. On a l'information du nombre de facteurs qu'on étudie, 3. Donc le 3 correspond au nombre de facteurs. 2, ça correspond au nombre de modalités pour chacun de ces facteurs. Donc 3 facteurs à 2 modalités sont étudiés. Et puis au total, on a 2 puissance 3 moins 1. 2 puissance 3 moins 1, ça fait 2 puissance 2, c'est égal à 4. Ça, ça nous donne le nombre d'essais. Donc avec l'écriture 2 puissance 3 moins 1, je sais combien j'étudie de facteurs, à combien de modalités chacun et en combien d'essais. Donc ici, bien, je construis le plan complet 2 puissance 3 et puis à moi de trouver les 4 essais qui permettront d'étudier les 3 facteurs. Première idée, bien, pour chaque facteur, je vais avoir envie de tester les niveaux 1 et -1 un même nombre de fois. Alors ça, c'est une idée qui est assez intuitive. On se dit, si le facteur A, je teste 3 fois à la modalité 1 et une seule fois à la modalité -1, je vais avoir plus d'informations sur ce qui se passe à la modalité 1 que ce qui se passe à la modalité -1. Donc tant qu'à faire, autant équilibrer et prendre 2 fois le facteur A à la modalité 1 et 2 fois à la modalité -1. Et puis même chose pour le facteur C et même chose pour le facteur B. Deuxième idée, eh bien je peux me dire je vais tester tous les couples, toutes les combinaisons un même nombre de fois. Donc les combinaisons 1, 1, -1, 1, 1, -1 et -1, -1. Donc les 2 facteurs A et B, je vais prendre une fois la combinaison 1, 1, une fois 1, -1, une fois -1, 1 et une fois -1, -1. Mais même chose pour la combinaison AC et pour la combinaison BC. Et on voit que déjà là, ça commence à être assez compliqué de pouvoir choisir les 4 essais qui vont permettre de répondre à ces 2 idées. Et puis on pourrait imaginer continuer et prendre toutes les combinaisons de 3 facteurs un même nombre de fois, etc. Si je prends les 4 essais qui sont montrés avec des flèches, j'ai un plan qui permet de prendre en compte les 2 idées que j'ai définies ici. Alors c'est pas le seul plan possible, mais c'est un plan qui marche. Par exemple, le facteur A, eh bien tester 2 fois la modalité 1, 2 fois la modalité -1. Les combinaisons AC, j'ai 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1. J'ai bien testé toutes les combinaisons du couple AC. Mais vous voyez que c'est pas si simple et là j'étais dans un plan avec uniquement 4 essais à choisir sur 8 essais au total et 3 facteurs à étudier. On voit bien que si on veut faire ça avec notre plan de départ où on étudie 7 facteurs en 16 essais alors qu'il y en a 128 dans le plan complet, ça va être très difficile. De construire un plan. Donc là, c'est même impossible. Et donc c'est beaucoup trop compliqué de construire un plan de cette façon. Il faut qu'on ait un principe de construction simple. Et donc là, eh bien, ce que je vais faire, c'est que je vais vous présenter un principe de construction simple des plans fractionnaires. Donc ce principe, je le définis, c'est pas forcément simple quand je le définis, mais on va le mettre en place ensuite sur plusieurs plans et vous verrez que c'est relativement facile à comprendre. Donc d'abord, ce qu'on fait, c'est qu'on choisit ce qu'on appelle un plan de base, qui est un plan complet en 2 puissance p moins k essais. Donc dans mon plan 2 puissance 3 moins 1, j'ai dit qu'il y avait 4 essais et donc je vais choisir un plan de base à 4 essais. Donc le plan de base à 4 essais, c'est le plan complet 2 puissance 2. Donc je vais construire le plan 2 puissance 2. Ensuite, je vais construire la matrice des effets, donc la matrice X du modèle saturé, c'est-à-dire du modèle qui a tous les effets principaux, toutes les interactions d'ordre 2, toutes les interactions d'ordre 3, etc., etc., qui sont associés à ce plan de base. Donc je construis cette matrice des effets du modèle saturé et ensuite tous les facteurs que j'ai pas pu mettre dans mon modèle pour l'instant, eh bien je vais les confondre avec des choses qui peuvent facilement être considérées comme négligeables, des interactions d'ordre élevé. Et donc je vais chercher à confondre les facteurs restants les k facteurs restants, les confondre avec des interactions d'ordre élevé. Et puis une fois que j'aurai fait ça, je vais avoir besoin de déterminer toutes les confusions qui résultent de ces confusions que je viens de construire. On va mettre en application cette démarche sur plusieurs plans. Donc d'abord sur le plan 2 puissance 3- 1. Donc je choisis un plan de base, le plan 2 puissance 2, c'est-à-dire le plan en 4 essais. Le plan 4 essais, c'est ce plan-là avec le facteur A et le facteur B et les essais que j'ai donnés. Ensuite, je vais construire la matrice des effets du modèle saturé avec ce plan de base. Donc le modèle saturé, c'est le modèle avec la constante, les 2 facteurs A et B et l'interaction AB. Ça, c'est le modèle saturé. Ensuite, je vais chercher à confondre le facteur C avec quelque chose. Alors je peux pas le confondre avec le facteur A ni le facteur B parce que sinon j'arriverai plus à dissocier ce qui est dû à A et ce qui est dû à C. Donc ce que je vais faire, c'est que je vais confondre le facteur C avec l'interaction AB. Et je vais dire que C est confondu avec l'interaction AB. Et après, une fois que j'ai dit que C est confondu avec l'interaction AB, eh bien ça va me générer d'autres confusions et on va voir comment trouver les autres confusions. Donc là, C, alors on écrit égal à AB, mais en fait il faut lire C est confondu avec l'interaction AB. Si C est confondu avec l'interaction AB, alors je peux multiplier à gauche et à droite par C. Donc je vais avoir C multiplié par C est confondu avec ABC. Donc C multiplié par C, C c'est une colonne avec que des 1 et des -1. Donc quand je multiplie C par lui-même, 1 par 1 ça fait 1, -1 par -1 ça fait 1, -1 par -1 ça fait 1, par 1, ça fait 1. Donc là, on se doute bien que quand on multiplie un facteur par lui-même, on va avoir que des 1 puisqu'on a des carrés de 1 ou de -1. Donc que des 1, ça correspond à quoi? Bien, ça c'est la colonne I. Donc là, je vais dire qu'en fait que la colonne I est confondue avec l'interaction ABC. Et donc je vais noter que l'interaction ABC, c'est prend les mêmes valeurs que la colonne I. Et puis si la colonne I est confondue avec ABC, eh bien si je multiplie par A, je vais avoir A multiplié par I qui est confondu avec A multiplié par ABC. Alors A multiplié par I, la colonne A, si je la multiplie par une colonne avec que des 1, je retombe sur la colonne A. Je vais avoir A est confondu avec A multiplié par A C'est une colonne de 1 et après multiplié par BC et donc A multiplié par A va être égal à la colonne constante multipliée par BC et multiplier BC par la constante ça revient à BC et donc j'ai A qui est confondu avec BC. Et puis même chose si j'ai fait B multiplié par la constante ça fait B multiplié par ABC. B multiplié par la constante, c'est égal à b, puisque multiplier par que des 1, ça donne toujours b. Et puis b multiplié par b s'élimine, il reste juste ac. Donc b est confondu avec ac. Et donc là, je suis en train de dire que, bien, le facteur a sera confondu avec l'interaction bc, le facteur b confondu avec l'interaction ac, le facteur c confondu avec l'interaction ab, et la constante est confondue avec l'interaction abc. Alors qu'est-ce que ça veut dire exactement est confondu avec? Eh bien voilà, si je m'intéresse uniquement aux 3 facteurs A, B, C et à la constante, quand je calcule X'X, j'ai cette matrice-là avec la matrice identité multipliée par le nombre d'essais, par 4, donc 4 fois la matrice identité. Donc si je mets les colonnes d'interaction, eh bien pour la colonne AB, si je multiplie A par B, Vous voyez que A multiplié par B, ça fait 1. 1 par -1, ça fait -1. -1 par 1, ça fait -1. Et -1 par -1, ça fait 1. Et vous voyez que je retrouve exactement la colonne C et confondue, c'est ça que ça veut dire. Ça veut dire que quand C bouge, l'interaction AB bouge exactement au même moment. Et donc je vais pas pouvoir dissocier ce qui est dû à C de ce qui est dû à AB. Si je calcule X'X, avec cette matrice X ici complète, je me retrouve avec une matrice X'X qui pose problème. Pourquoi elle pose problème? Parce qu'en fait elle n'est plus inversible. Il y a des colonnes qui sont exactement les mêmes. Et donc comme les colonnes sont les mêmes, X'X n'est pas inversible et donc il est impossible d'estimer les paramètres du modèle. Ça paraît aussi assez intuitif, c'est qu'on a fait 4 essais, Et on voudrait estimer 8 paramètres. C'est pas possible d'estimer 8 paramètres en ayant uniquement 4 essais. Il y a forcément des liaisons entre ces paramètres. Donc ce qu'on va faire quand on fait ça, eh bien c'est qu'on va restreindre notre analyse uniquement à l'étude des effets principaux, donc de la constante et des effets principaux. Donc on élimine ce qui est en bleu ici et donc restreint aux effets principaux, on a une colonne, une matrice X'X qui est bien diagonale, qui sera facilement inversible. Voilà, donc les confusions, c'est ça que ça veut dire. Ça veut dire que les colonnes bougent exactement ensemble et on va pas pouvoir étudier tous les facteurs et toutes les interactions. Alors si je construis le plan 2 puissance 4- 1, donc là je vais construire un autre plan. Donc j'étudie 4 facteurs à 2 modalités en 2 puissance 4- 1, 2 puissance 3, en 8 essais. Donc en 8 essais, le plan de base c'est le plan 2 puissance 3, donc c'est le plan avec bien A, B et C, 3 facteurs. Donc pour A, une moitié de 1, une moitié de -1. Pour B, là où A a des 1, je mets une moitié de 1, une moitié de -1. Puis là où A a des -1, je mets une moitié de 1, une moitié de -1. Et puis pour C, même chose, là où il y a des 1 pour B, je mets une moitié de 1, une moitié de -1. Là où il y a des -1, une moitié de 1, une moitié de -1, etc. Donc là, j'ai construit ma matrice des essais pour le plan à 3 facteurs. Maintenant je vais construire la matrice des effets du modèle saturé. Le modèle saturé, c'est le modèle avec la constante, les interactions d'ordre 2 et l'interaction d'ordre 3. Donc pour calculer les valeurs, eh bien j'ai juste à faire le produit des colonnes. Pour AB par exemple, je multiplie la colonne A par la colonne B. Ensuite, eh bien j'ai un 4e facteur qui m'intéresse à étudier, c'est le facteur D. Donc avec quoi est-ce que je peux confondre le facteur D? Eh bien avec l'interaction ABC qui est certainement négligeable. Je dis certainement, j'en sais rien en fait. Si je veux savoir si elle est négligeable, je suis obligé de faire beaucoup d'essais. Mais comme je veux pas faire trop d'essais, eh bien je vais considérer que cette interaction est négligeable et je vais confondre le facteur D avec cette interaction ABC. Puisque D est confondu avec l'interaction ABC, eh bien ça va me générer d'autres confusions. Donc on va voir les confusions. Donc là j'ai repris ma matrice des effets du modèle du plan complet et puis je dis que D est confondu avec l'interaction ABC. Donc D multiplié par D c'est égal à ABCD. D par D ça fait une colonne de 1 et donc c'est égal à la constante. Donc la constante sera égale à ABCD. Ce I est confondu avec ABCD, c'est ce qu'on appelle le générateur d'alias. C'est ça qui permet de calculer ce qu'on appelle tous les alias. Et donc notamment, bien là, je vais voir avec quoi est confondu le facteur A. Donc je vais faire A multiplié par I, c'est égal à A multiplié par A multiplié par BCD. Donc A multiplié par A s'élimine, il reste juste BCD. Donc A est confondu avec BCD. Et puis même chose quand je fais B multiplié par ABCD, B par B ça fait une colonne de 1, donc ça s'élimine, il reste juste ACD. C multiplié par ABCD, C par C ça fait I, c'est donc l'élément neutre ici, et donc c'est égal à ABD. Et puis si je fais AB multiplié par ABCD, les A s'éliminent, les B s'éliminent, il reste juste CD. Et je peux construire comme ça et voir toutes les confusions. Donc ce que je vois, c'est que la constante est confondue avec une interaction d'ordre 4, tous les effets principaux sont confondus avec des interactions d'ordre 3. A avec BCD, B avec ACD, C avec ABD et D avec ABC. Et donc là, je ne peux pas savoir si les valeurs varient parce que A bouge ou parce que l'interaction BCD bouge. Mais ce que je vais faire comme hypothèse, c'est que BCD, je le considère comme négligeable et donc si La valeur de Y bouge, c'est que c'est A qui fait bouger cette valeur parce que B, C, D, on va dire que son effet est négligeable. On suppose qu'il est négligeable. Alors si je construis le plan 2, 5, -2, 2, 5, -2 c'est un plan en 8 essais donc c'est le plan 2 puissance 3 toujours. Donc c'est le même plan que tout à l'heure et je vais construire le modèle saturé de ce plan-là. Ensuite, puisque je m'intéresse à 5 facteurs, il faut que je rajoute le facteur D et le facteur E. Donc faut savoir avec quoi est-ce que je vais confondre le facteur D et le facteur A. Donc en fait, quand on rajoute un seul facteur, quand on a un seul facteur à rajouter, ce qui était le cas précédemment, on confond avec l'interaction d'ordre le plus élevé. Donc c'est ce que j'ai fait tout à l'heure, j'ai confondu avec ABC. Maintenant si je veux rajouter 2 facteurs ou plus que 2 facteurs, je vais confondre avec des interactions d'ordre le plus élevé- 1. Parce que si je confonds avec l'interaction d'ordre le plus élevé, on aura un plan qui ne sera pas le meilleur plan possible. Donc la règle c'est confondre avec des interactions d'ordre le plus élevé moins 1. Donc je vais confondre le facteur D avec l'interaction AB et le facteur E avec l'interaction AC. Je pourrais confondre D avec AC et E avec BC, peu importe, ça te donnera un plan de même qualité. Mais il faut que je confonde avec des interactions d'ordre 2. Et puis je vais devoir chercher les confusions résultantes. Donc D est confondu avec AB, E est confondu avec AC. Donc puisque D est confondu avec AB, je peux trouver toutes les confusions. Puisque E est confondu avec AC, là aussi je peux voir toutes les confusions que ça génère. Mais en fait, comme E est confondu avec AC, il est aussi confondu avec BCD, ce qu'on voit juste au-dessus. Donc si je dis E est confondu avec BCD, eh bien ça me génère d'autres confusions. E par E égale BCDE et donc I est confondu avec BCDE. Et donc ça génère après toute confusion. Quand on rajoute 2 facteurs ou plus, eh bien on va devoir lister toutes les confusions de cette façon-là. Donc il n'y a pas uniquement 2 lignes, mais il y a plus que 2 lignes puisqu'on va devoir multiplier les lignes entre elles. Alors en fait, la stratégie c'est de trouver avec quoi est confondue la constante, donc avec quoi est confondu I. Donc puisque j'ai confondu D avec AB, E avec AC, j'ai I est confondu avec ABD et I est confondu avec ACE. Et ensuite je vais multiplier ABD par ACE pour trouver la dernière confusion. Donc I multiplié par I c'est égal à ABD multiplié par ACE et donc en simplifiant ça fait I est confondu avec BCDE. Donc vous voyez, on trouve les 2 premières confusions, avec quoi est confondu I, et ensuite on multiplie ces 2 confusions pour trouver la dernière confusion. Et en faisant ça, eh bien on a tous les effets principaux et toutes les interactions d'ordre 2, d'ordre 3, d'ordre 4 et d'ordre 5 qui sont dans le tableau. Et on sait que le facteur A est confondu à la fois avec l'interaction BD mais aussi l'interaction CE et aussi l'interaction ABCDE. Et donc quand j'estime, j'estime en fait tout ce paquet-là et je vais être obligé de considérer que l'interaction ABCDE est négligeable. Ce qui est raisonnable puisque c'est une interaction d'ordre 5, mais je suis aussi obligé de considérer que CE et BD sont négligeables. Et si je considère ça, eh bien je peux dire que l'effet de ce paquet-là, c'est dû à A. Mais j'ai quand même des hypothèses qui sont assez fortes. Si je ne peux pas supposer que BD est négligeable, je n'ai pas le choix, je suis obligé de faire plus d'essais et donc de pouvoir estimer l'interaction BD également. Mais si je veux étudier uniquement 8 essais, eh bien je vais pouvoir étudier juste les 5 facteurs A, B, C, D, E et rien de plus. Je vais pas pouvoir étudier toutes les interactions. Alors on pourrait éventuellement, ce qu'on voit dans ce tableau c'est que les 2 dernières colonnes, il n'y a pas de facteurs principaux qui sont confondus avec ces 2 dernières colonnes. Donc on pourrait éventuellement s'intéresser à l'interaction BC. Ou l'interaction DE dans cette colonne-là. S'il y a une des deux, on ne sait pas si elle est négligeable, eh bien on pourrait voir, vérifier que ce paquet-là est négligeable ou pas. Et si le paquet n'est pas négligeable, eh bien on dira que c'est dû à l'interaction BC ou à l'interaction DE. Voilà, donc ça c'est quand on estime, on estime tout un paquet, on estime tout ce qui est en en bleu foncé et ça correspond à C, ABCD, AE et BDE. Et ça, c'est ce paquet bleu, voilà, c'est ce qui est dû à C si je peux considérer que tout le reste est négligeable. Alors on peut s'intéresser à ce qu'on appelle la résolution d'un plan. La résolution d'un plan, ça va nous donner la qualité du plan. Donc la résolution d'un plan, c'est quoi? Eh bien, il suffit de savoir avec quoi est confondue la constante. Donc le grand I. Donc dans le plan 2^4-1, I est confondu avec ABCD. C'est une interaction d'ordre 4, donc on va dire que c'est un plan de résolution 4. Dans le plan 2^5-2, I est confondu avec ABD, BCE et BCDE. Donc on regarde l'interaction d'ordre le moins élevé. Donc I est confondu avec des interactions d'ordre 3 et des interactions d'ordre 4, donc on prend le moins élevé, c'est des interactions d'ordre 3, et donc on va dire que c'est un plan de résolution 3. Alors attention pour le nombre de générateurs. Ce que j'ai dit tout à l'heure, quand on a un seul facteur à rajouter, on a uniquement i confondu avec une interaction. Quand on a 2 facteurs à rajouter, je vous ai dit qu'il fallait prendre les 2 générateurs plus le produit des 2. Après, quand on a 3 facteurs à rajouter, eh bien on va avoir les 3 générateurs plus le produit 2 à 2 de ces générateurs plus le produit des 3. Donc ça, ça nous donne un nombre de générateurs qui est égal à 2 fois le nombre de facteurs qu'on rajoute et puis moins 1. Donc quand je rajoute 2 facteurs, j'ai 2 puissance 2 égale 4 moins 1, 3 facteurs. Si maintenant je rajoute 3 facteurs, je vais avoir 2 puissance 3, 8 moins 1, j'ai 7 générateurs. Et si je rajoute 4 facteurs, j'ai 2 puissance 4, ça fait 16, moins 1, j'ai 15 générateurs d'alias. Et donc parmi les 15, il faudra que je trouve le plus petit pour trouver la résolution du plan. Alors la résolution du plan, ça nous donne la qualité du plan. Pourquoi? Parce qu'un plan de résolution 3, en résolution 3, ça signifie qu'un effet principal sera confondu avec des interactions d'ordre 2. En résolution 4, Un effet principal est confondu avec des interactions d'ordre 3 ou plus que 3. Des interactions d'ordre 2 sont confondues avec d'autres interactions d'ordre 2. Donc ça veut dire quoi? Ça veut dire qu'on va pouvoir estimer sans problème les effets principaux en résolution 4, mais on ne va pas pouvoir estimer toutes les interactions d'ordre 2 puisqu'il y en a qui sont confondues entre elles. Maintenant si je suis en résolution 5, les effets principaux sont confondus avec des interactions d'ordre 4 ou plus. Donc je peux les estimer sans problème. Et puis les interactions d'ordre 2 sont confondues avec des interactions d'ordre 3 ou plus. Donc là je vais pouvoir les estimer aussi. Donc plus la résolution d'un plan est élevée, plus on va pouvoir estimer facilement les effets principaux et aussi les interactions. Le souci c'est que plus la résolution est élevée, plus on a besoin d'essais. Donc voilà, pour avoir des plans de meilleure qualité, il faut qu'on fasse plus d'essais. Alors un petit tableau qui vous donne le nombre de facteurs qu'on peut étudier avec un nombre d'essais donné. Donc la première ligne, c'est juste pour les calculs qui sont derrière. Ensuite, la deuxième ligne, ça vous donne le nombre d'expériences. Donc c'est juste 2 à la puissance la valeur qui est dans la première ligne. Donc 2 puissance 3, par exemple, c'est égal à 8. Eh bien, en résolution 3, on va pouvoir estimer jusqu'à 7 facteurs en 8 essais. Donc si je veux étudier 7 facteurs en 8 essais, je serai en résolution 3. Donc ça voudra dire que j'ai mes effets principaux qui sont confondus avec des interactions d'ordre 2. Si maintenant j'ai certaines interactions d'ordre 2 que je peux pas considérer comme négligeables et donc je veux passer à un plan de résolution 4 pour pouvoir estimer sans problème mes effets principaux, si je veux étudier 7 facteurs, eh bien je vais vouloir aller sur 16 essais. Vous voyez qu'avec 16 essais, je peux étudier jusqu'à 8 facteurs en résolution 4. Et maintenant si je veux être en résolution 5 et pouvoir estimer tous les effets principaux et toutes les interactions d'ordre 2, eh bien il faut que j'aille jusqu'à 64 essais. Donc ce tableau vous permet de voir combien vous pouvez étudier de facteurs avec un nombre d'essais donné et une résolution donnée. Ou bien ça vous permet aussi de voir quelle est la résolution maximum pour un nombre d'essais et un nombre de facteurs étudiés donné. Alors, comment mettre en œuvre les plans d'expérience sur R? Donc il y a plusieurs packages qui permettent de construire des plans d'expérience. Pour les plans fractionnaires, bien le package frf2 permet de construire facilement des plans fractionnaires. Donc les F sont majuscules et le r est en minuscule. Donc ici la première ligne, on charge le package frf2 et puis ensuite, bien on peut construire le plan de deux façons différentes. Donc ici le plan 1. Eh bien, on utilise la fonction frf2, c'est le même nom de fonction que de package, et pour cette fonction, eh bien, je peux préciser le nombre de facteurs que je veux étudier et la résolution du plan. Donc je lui demande un nombre de facteurs, une résolution du plan, et il va me donner un plan avec le nombre d'essais minimum pour étudier ces 5 facteurs en résolution 5, parce que j'ai spécifié ici une résolution 5. Voilà, donc ça c'est une façon de construire les plans. Une autre façon de construire les plans, c'est de lui dire combien on veut d'essais. Donc nruns, c'est le nombre d'essais qu'on veut, donc ici 8 essais, et puis le nombre de facteurs. Donc là j'ai 4 facteurs et j'ai listé le nom des facteurs. Donc j'ai mis factor_names égale liste de, et donc je mets le nom du facteur, temp, et les 2 niveaux de chacun de ces facteurs. Donc temp= c . Donc ça, c'est pour chacun des facteurs. Je précise le nom puis ensuite les 2 modalités. Et si je fais summary de plan, j'ai le résultat de ce plan d'expérience. Donc dans ces résultats, j'ai une ligne qui me reprécise la commande que j'ai lancée et puis ensuite le nombre d'essais qui ont été réalisés. J'ai aussi la définition, j'ai aussi les noms des variables et les noms des niveaux pour chacune de ces variables. Et puis ensuite, j'ai le générateur d'alias qui a été utilisé pour construire le plan. Donc là, on nous dit que le facteur D a été confondu avec une interaction ABC. Et donc je vois que c'est un plan de résolution 4. Et puis bien sûr, là sur la droite ici, vous voyez les essais qu'il faut réaliser. Donc on vous dit le premier essai, il faut prendre la température maximum, une pression faible, la machine B et l'état neuf. Et puis vous avez comme ça la liste des 8 essais à réaliser. Voilà, donc c'est des packages qui sont assez simples d'utilisation pour construire ces plans. Alors pour terminer, si on replace ce cours de plans d'expériences dans une démarche statistique, la première étape c'est de définir la problématique. Qu'est-ce qu'on veut étudier en fonction de quelles variables, quelles sont les variables qui entrent en jeu sur la variable Y qui nous intéresse. Ensuite, on va choisir les expériences à réaliser. Donc ça, c'est grâce au cours de plan d'expériences. On définit les expériences à réaliser, puis ensuite on va faire ces expériences, et puis enfin on va analyser les résultats de ces expériences. Donc une fois qu'on aura les Y, on va pouvoir étudier Y en fonction des variables X explicatives. Donc si on a un plan d'expérience avec peu d'essais, une résolution faible de notre plan d'expérience, eh bien on pourra pas mettre d'interaction dans notre modèle. Si maintenant on est avec une résolution assez élevée, résolution d'ordre 5, eh bien on pourra mettre des interactions d'ordre 2. Si on est en résolution 4, eh bien on pourra mettre les effets principaux et éventuellement quelques interactions. Donc on verra ça en TD que des fois il est possible de rajouter quelques interactions mais évidemment pas toutes. Voilà pour ce cours sur les plans fractionnaires. Alors, vous pouvez retrouver ce cours sur une vidéo YouTube.