Cours sur les plans orthogonaux et plans optimaux

Bonjour, donc je vais vous faire un cours sur les plans avancés. Donc c'est la suite des cours sur les plans fractionnaires et sur les plans à surface de réponse. Donc là on va aborder des plans qui sont un peu moins standards. Donc dans un premier temps des plans pour variables qualitatives à plus que 2 modalités. Ensuite des plans qui mixtent variables quantitatives et variables qualitatives. Et enfin des plans optimaux qui vont permettre de mettre en œuvre des analyses dans des situations qui sont assez complexes où il n'y a pas de plans standards. Et donc essayer de trouver les essais qui vont permettre d'être optimaux en fonction du nombre d'essais et en fonction du modèle qu'on souhaite étudier par la suite. Je vais commencer par ce qu'on appelle des plans symétriques. Alors qu'est-ce qu'un plan symétrique? C'est un plan où tous les facteurs ont le même nombre de modalités. Donc tous les facteurs qualitatifs ont le même nombre de modalités. Parmi ces plans, on trouve le carré latin, carré gréco-latin ou les MOLS. Et les plans asymétriques, ce sont des plans où le nombre de modalités n'est pas le même pour tous les facteurs. Commençons par le plus simple: les carrés latins. Les carrés latins s'intéressent à 3 facteurs qui ont le même nombre de modalités que je vais noter J. Comment on va construire le carré latin? Eh bien on va mettre un premier facteur F1 avec en ligne les modalités qu'on va noter 0, 1, 2 jusqu'à J-1. Et puis en colonne on va mettre les modalités 0, 1, 2 jusqu'à J-1 également. Et puis à l'intérieur d'une case du tableau, on va mettre le 3ème facteur et pour ce 3ème facteur on va commencer par écrire une ligne avec 0, 1, 2 jusqu'à J-1. Et puis ensuite pour aller d'une ligne à l'autre, on va ajouter +1 modulo J. Prenons l'exemple du modèle à 3 facteurs et 3 modalités. Donc je mets F1 en ligne. Avec donc les modalités 0, 1, 2 que je code 0, 1, 2, F2 en colonne avec les modalités que je code 0, 1, 2, et puis je commence par écrire pour le facteur 3 la première ligne du tableau avec 0, 1, 2 puisque j'ai j= 3 donc je vais jusqu'à j- 1. Et puis pour écrire la ligne d'en dessous, eh bien j'ajoute 1 à la première ligne, donc 0+ 1 ça fait 1, 1+ 1 ça fait 2, 2+ 1, ça fait 3, modulo 3, ça fait 0, donc je mets 0. Et puis pour passer à la ligne suivante, même chose, 1+ 1, ça fait 2, 2+ 1, ça fait 3, modulo 3, ça fait 0, et 0+ 1, ça fait 1. Et donc ainsi, j'ai mes 3 facteurs, le facteur 1 qui correspond à la ligne, le facteur 2 qui correspond à la colonne, et le facteur 3 qui correspond à ce qui est écrit dans la cellule. Et donc si je déplie ce tableau, eh bien je vais avoir par exemple pour le 0 qui est en haut à gauche l'essai avec F1 à 0, F2 à 0 et F3 à 0. Et si je prends cette valeur ici de 2, eh bien ça correspond à F1= 1, F2= 1 et le facteur 3 est égal à 2. Voilà pour le carré latin avec 3 modalités. Si maintenant j'ai 5 modalités, je vais mettre F1 toujours en ligne avec 0 jusqu'à 4 pour les modalités, F2 de 0 jusqu'à 4 également. Et puis pour F3, je vais mettre la première ligne 0, 1, 2, 3, 4 et ensuite j'ajoute 1 modulo 5. La première ligne, ça va me donner 0+ 1= 1, 1+ 1= 2, etc. jusqu'à 4+ 1= 5 modulo 5, ça fait 0. Et puis après, j'ai plus qu'à déplier en récupérant pour chaque case la ligne la colonne et la valeur qui est dans la case. Donc les carrés latins sont très très simples à construire, on peut les construire pour un nombre quelconque de modalités mais à chaque fois on étudie 3 facteurs. Alors quelles sont les propriétés des carrés latins? Eh bien en fait les effets principaux sont orthogonaux. On peut le vérifier très facilement en calculant le tableau croisé, c'est-à-dire on va compter le nombre de fois où on a chaque combinaison entre une modalité de F1 avec une modalité de F2 par exemple. Pour la modalité 0 de F1 avec la modalité 0 de F2, j'ai une fois cette combinaison. On voit que dans ce tableau, on a à chaque fois une fois et une seule chaque combinaison qui est testée. Donc toutes les combinaisons sont testées un même nombre de fois, donc les effets sont orthogonaux. Et même chose si je calcule le tableau croisé F1× F3, toutes les combinaisons sont testées une seule fois. Et F2× F3, même chose, toutes les combinaisons sont testées une seule fois. Donc tous les effets principaux sont orthogonaux. Ils sont également orthogonaux avec leurs interactions, ça veut dire que F1 est orthogonal à F1 F2 et F1 est orthogonal à F1 F3. Mais par contre il n'est pas orthogonal avec les interactions qu'il ne concerne pas. Par exemple F1 n'est pas parfaitement orthogonal à F2 F3. Une fois qu'on aura fait les expériences pour étudier ces plans, on va construire un modèle d'analyse de variance. À 3 facteurs sans interaction. On ne va pas pouvoir tester les interactions parce qu'on n'a pas assez de données pour tester les effets principaux et les interactions. Pour les effets principaux, ils sont estimés de façon assez précise. On peut avoir confiance dans l'estimation de ces paramètres. Par contre, il y a assez peu de degrés de liberté et donc les tests ne sont pas très puissants. Et puis après, quand on dépouille ces carrés latins, Si jamais on cherche à optimiser par exemple une variable Y et si l'optimum est atteint pour une combinaison qui n'a pas été testée, eh bien on va tester la combinaison et vérifier que la prédiction de notre modèle est proche de la nouvelle observation. Et si c'est le cas, on va pouvoir dire que notre modèle est validé. Alors à partir de ces carrés latins, on peut construire ce qu'on appelle des carrés latins mutuellement orthogonaux ou MOLS pour mutually orthogonal Latin squares. Donc c'est en fait une juxtaposition de carrés latins qui vont permettre d'étudier plus de facteurs, plus que 3 facteurs. Alors pour cela, il faut qu'on s'intéresse à des facteurs qui ont J modalités et que J soit premier ou bien que J soit la puissance d'un nombre premier. Dans ce cas-là, il existera J-1 modes. Si J n'est pas premier, ou n'est pas la puissance d'un nombre premier, eh bien il n'existe pas de MOLS. Ou alors il peut en exister, mais on ne sait pas combien. Alors pour construire des carrés latins orthogonaux, eh bien on va faire comme suit. Donc si J est un nombre premier, on va d'abord construire un premier carré latin. Donc là, je me suis intéressé au cas où on a 3 modalités. Donc j'ai construit le carré latin, j'ai repris le carré latin qu'on a construit dans la diapositive précédente, Et puis après, pour construire un second carré latin qui sera orthogonal au premier, on va procéder de la façon suivante: on va prendre un coefficient alpha qui sera compris entre 2 et J- 1. Donc J c'est le nombre de modalités. Alors ici J- 1 ça fait 3- 1= 2, donc ici je suis obligé de prendre alpha= 2. Et donc je prends alpha= 2 et pour remplir le tableau, ce que je fais c'est que je prends la valeur alpha multipliée par i+ j modulo J. Alors i c'est le numéro de ligne, petit j c'est le numéro de colonne et J c'est le nombre de modalités. Donc par exemple ici, si je m'intéresse à la valeur qui est ici en bleu, je suis pour i= 1 et j= 2 donc je vais faire alpha multiplié par i, 2× 1= 2, j qui est égal à 2, 2+ 2= 4 modulo 3, c'est égal à 1. Donc la valeur que je vais prendre ici, ça va être 1. Et puis pour la valeur en rouge ici, je vais prendre alpha= 2 fois i= 2, ça fait 4+ 1= 5 modulo 3, ça fait 2. Et donc de cette façon, j'ai construit un carré latin qui est orthogonal au premier. Et donc ça va me permettre d'étudier 4 facteurs, les 3 facteurs que je peux étudier avec le carré latin plus le 4e facteur que je viens de remplir à l'intérieur de ce second carré latin. Donc ça c'est facile à construire quand on a j qui est un nombre premier. Si maintenant j est la puissance d'un nombre premier, eh bien en fait on va utiliser des tables. Et encore une fois, si j n'est ni premier ni la puissance d'un nombre premier, on n'a pas de MOLS qui existe. Alors Si je recode les valeurs 0, 1, 2 du premier carré latin avec des lettres A, B, C et si je recode les 0, 1, 2 du deuxième carré latin avec des lettres grecques alpha, bêta, gamma, eh bien je vais avoir un tableau où j'ai un premier facteur en ligne, un deuxième facteur en colonne et puis le troisième et le quatrième facteur à l'intérieur de la cellule. Et donc on a des lettres latines et des lettres grecques, d'où le nom de ces plans qui s'appellent les plans gréco-latins. Et donc après, eh bien, on va déplier ces plans exactement comme on a déplié les carrés latins précédemment. Donc on va dire par exemple, pour la première expérience, je prends le facteur 1 à 0, le facteur 2 à 0, le facteur 3 à la modalité petit a et le facteur 4 à la modalité alpha. Et donc ainsi on a construit un plan gréco-latin qui permet d'étudier 4 facteurs. Et ces 4 facteurs sont orthogonaux les uns les autres. Alors si je prends J= 5, donc 5 modalités, eh bien là cette fois je vais pouvoir faire varier alpha entre les valeurs 2 jusqu'à J- 1, jusqu'à 4. Et donc je vais pouvoir construire le premier carré latin qui est ici en haut à gauche, et puis après un 2ème carré latin où je vais prendre alpha multiplié par le numéro de ligne plus le numéro de colonne modulo 5. Je peux construire un troisième carré latin en prenant alpha= 3. Donc je prendrai 3 multiplié par le numéro de ligne plus le numéro de colonne modulo 5. Et puis un quatrième carré latin orthogonal à tous les précédents, et donc j'aurai 4 multiplié par le numéro de ligne plus le numéro de colonne modulo 5. Et donc ainsi je vais pouvoir étudier un premier facteur qui correspond aux lignes, un deuxième facteur qui correspond aux colonnes et puis ensuite un 3e facteur qui correspond au 1er carré latin, 4e, 5e et 6e facteur. Donc 4 facteurs puisque 4 carrés latins plus un facteur pour les numéros de colonnes et un facteur pour les numéros de lignes. Donc avec 5 modalités, je vais pouvoir étudier jusqu'à 6 facteurs qui ont 5 modalités. Alors si on veut travailler avec 7 qui est un nombre premier, on fait de même pour construire d'abord un carré latin puis ensuite des MOLS, donc des carrés latins orthogonaux au premier. Maintenant pour des puissances de nombres premiers, donc pour J= 4, quand on a des facteurs à 4 modalités, je vous donne les MOLS et pour J= 8 je vous donne les MOLS également. La façon de construire ces MOLS est un peu plus complexe. Et pour J= 6, avec 6 modalités, eh bien il n'existe pas de MOLS. Donc les carrés latins mutuellement orthogonaux, on peut avoir le nombre de facteurs qu'il est possible d'étudier en fonction de la résolution du plan et du nombre de facteurs qu'on souhaite étudier. Alors la résolution du plan, les plans de résolution 3, ça permet de considérer que les effets principaux sont confondus avec des interactions d'ordre 2 ou plus et donc pour pouvoir analyser ces plans, il faudra considérer que les interactions d'ordre 2 ou plus sont négligeables. Plan de résolution 4, on va considérer que les interactions d'ordre 3 ou plus sont négligeables parce qu'elles seront confondues avec des effets principaux là encore. Et en résolution 5, eh bien les effets principaux et les interactions d'ordre 2 peuvent être estimés parce qu'elles seront confondues avec les effets principaux avec des interactions d'ordre 4 et les interactions avec des interactions d'ordre 3. Et donc vous avez un petit tableau qui vous donne le nombre de facteurs que vous pouvez étudier quand les facteurs ont 3 modalités ou quand les facteurs ont 4 modalités. Les molles sont intéressants parce qu'on peut en utiliser plusieurs pour construire ce qu'on appelle des plans en blocs incomplets équilibrés, des BIE. Alors ça, c'est assez utilisé en analyse sensorielle. Donc je vous donne ici un exemple où on va s'intéresser à 5 produits dégustés par 20 juges et on veut construire un plan d'expériences pour donner l'ordre de dégustation des produits aux juges. Et donc on va construire des carrés latins, donc un premier carré latin avec 5 juges. Et puis un deuxième carré latin orthogonal au premier, un troisième et un quatrième. Et donc en construisant ces carrés latins, eh bien tous les juges dégustent tous les produits un même nombre de fois dans des ordres de dégustation qui sont différents. Et l'intérêt, donc là c'est si tous les juges dégustent les 5 produits, on a un plan qui est parfaitement équilibré, chaque produit arrive un même nombre de fois au rang 1, au rang 2, etc. Mais si tous les juges ne peuvent pas déguster 5 produits mais peuvent déguster seulement 3 produits, eh bien on peut s'arrêter aux 3 premières colonnes. On aura des effets produit et rang qui seront orthogonaux. Ça veut dire que chaque produit sera dégusté un même nombre de fois à chaque rang. Alors l'effet juge et l'effet produit n'est pas parfaitement orthogonal puisque tous les juges ne dégustent pas tous les produits. Donc il y aura certaines combinaisons qui seront testées 0 fois et d'autres 1 fois. Mais ce sont des plans qui sont incomplets et équilibrés. Alors si on veut construire des plans avec à la fois des facteurs à 2 niveaux et des facteurs à 4 niveaux, comment est-ce qu'on peut faire? Eh bien ce qu'on va faire, c'est qu'on va construire pour chaque facteur à 4 niveaux, on va d'abord considérer comme si c'était 2 facteurs à 2 niveaux. Donc on va construire un plan fractionnaire 2^p-k, donc là je vous renvoie au cours sur les plans fractionnaires, et puis après on va utiliser 2 facteurs à 2 niveaux pour les utiliser conjointement et recoder comme un facteur à 4 niveaux. Alors comment on fait? En fait, 2 facteurs à 2 niveaux, si on combine ces 2 facteurs, on a 4 combinaisons possibles: les combinaisons 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1. Et donc ces 4 combinaisons, je vais les utiliser comme 4 modalités d'un facteur à 4 modalités. Donc je vais recoder par 1, 2, 3, 4 considérer plus qu'un facteur à 4 modalités plutôt que ces 2 facteurs à 2 modalités. Et donc c'est relativement simple puisqu'on sait construire les plans fractionnaires, il suffira de prendre 2 facteurs et de les combiner pour construire un facteur à 4 niveaux. Alors si on a 4 à la puissance r essais, on peut étudier N indice 4 facteurs à 4 modalités et n indice 4 va être compris entre 0 et 4 à la puissance r- 1 divisé par 3. Et dans ce cas-là, eh bien on aura pour le nombre de facteurs à 2 modalités qu'on pourra étudier en plus des facteurs à 4 modalités, eh bien ce sera n, le nombre d'essais, moins 3 fois n indice 4 plus 1. Alors 2 exemples. Si je travaille avec 16 essais, donc là je prends petit r= 2, donc Donc N= 4 puissance 2= 16. Et donc si je prends N indice 4 égal à 5, eh bien je peux puisque j'ai 4 puissance R, 16- 1= 15, divisé par 3, ça fait 5. Donc dans ce cas-là, je peux bien étudier 5 facteurs à 4 modalités. Et combien je peux étudier de facteurs à 2 modalités dans ce cas-là en plus? Eh bien c'est N, 16, moins 3 fois 5, 15, plus 1, 1= 16, 16- 16= 0. Donc si j'étudie 5 facteurs à 4 modalités, je ne peux pas rajouter de facteur à 2 modalités en plus. Si maintenant j'étudie 3 facteurs à 4 modalités, eh bien je vais avoir 16- 3× 3= 9+ 1= 10, 16- 10= 6, je vais pouvoir étudier 6 facteurs à 2 modalités. Donc je peux étudier 3 facteurs à 4 modalités et 6 facteurs à 2 modalités. Voilà, et puis évidemment, si on prend des facteurs à 8 modalités, à 8 niveaux, eh bien il suffit d'utiliser 3 facteurs à 2 niveaux pour pouvoir avoir les combinaisons de ces 3 facteurs et construire un facteur à 8 modalités puisqu'il y a 8 combinaisons possibles de 3 facteurs à 2 modalités. Si maintenant je veux étudier des plants avec des facteurs à 2, à 3 et à 4 niveaux. Alors pour les facteurs à 3 niveaux, on va faire comme si c'était des facteurs à 4 niveaux. Donc voir juste la diapositive précédente où on a construit des facteurs à 4 niveaux. On va construire le plan d'expériences avec des facteurs à 2 et à 4 niveaux. Donc c'est ce qu'on vient de faire dans la diapo précédente. Donc pour chaque facteur à 3 niveaux, on va prendre comme si c'était un facteur à 4 niveaux et on va compresser 2 niveaux. Par exemple, ici on compresse les niveaux 2 et 3 pour ne faire plus qu'un seul niveau. Vous voyez bien qu'avec cette stratégie, le niveau 2 est testé plus souvent que les niveaux 1 et 3. Donc on a des plans qui ne sont pas parfaitement équilibrés mais qui sont des plans d'assez bonne qualité quand même. Justement, quand je dis assez bonne qualité, le mieux c'est qu'une fois qu'on a construit ces plans-là, c'est de vérifier la qualité du plan en calculant la matrice X' et en s'assurant que la matrice est diagonale ou pas loin d'être diagonale et qu'il y a des variances qui sont faibles et des covariances qui sont proches de 0. Alors maintenant, comment on fait si on a vraiment des nombres de modalités différents et que c'est pas une puissance de 2 ou un facteur 3? Par exemple, si j'ai 2 facteurs à 2 modalités, un facteur à 3 modalités et un facteur à 5 modalités. Alors comment on va faire dans cette situation? Déjà, on peut se dire combien il faudrait faire d'essais si on avait le plan complet. Donc le plan complet, c'est 2 facteurs à 2 modalités, donc 2 puissance 2, multiplié par un facteur à 3, multiplié par 3, multiplié par 5 pour le facteur à 5. Donc ça fait 2 au carré 4 fois 3 12 fois 5 60. Donc le plan complet contient 60 essais. Maintenant, combien il faut d'essais au minimum? Au minimum, il faut autant d'essais que de degrés de liberté nécessaires pour estimer tous les effets. Donc dans le modèle, on va avoir d'abord un coefficient pour la constante, ensuite 2- 1 degrés de liberté pour les facteurs à 2 modalités, donc comme j'en ai 2, ça fait × 2, 3- 1 pour le facteur à 3 modalités et 5- 1 pour le facteur à 5 modalités. Donc il me faut au minimum 9 essais puisque j'ai au moins 9 coefficients à estimer. Donc je sais que si je construis un plan avec ces facteurs, il me faut entre 9 et 60 essais. Maintenant je peux aussi me dire si je veux l'orthogonalité des facteurs, eh bien si je veux l'orthogonalité des facteurs, il faut que toutes les combinaisons soient testées un même nombre de fois. Ça veut dire que pour l'orthogonalité entre le facteur 1 et le facteur 2, qui ont tous les deux 2 modalités, eh bien il me faut au minimum un multiple de 4 puisque j'ai 4 combinaisons. Si je veux que toutes les combinaisons soient testées un même nombre de fois, il me faut un multiple de 4. Pour le facteur 1 et le facteur 3, ou le facteur 2 et le facteur 3, il me faut au moins 6 essais et il me faut un multiple de 6 si je veux un plan parfaitement équilibré, orthogonal. Entre f/1 et f/4 et f/2 et f/4, c'est la même chose, il me faut 2 fois 5, 10 essais au minimum et un multiple de 10 si je veux un plan équilibré. Et entre f/3 et f/4, il me faut un minimum de 15 essais. Si je veux un plan orthogonal. Et donc si je veux un multiple de 4, de 6, de 10 et de 15, il faut que je trouve le plus petit commun multiple de ces 4 nombres: 4, 6, 10, 15. Et le PPCM de 4, 6, 10, 15, c'est 4× 3× 5, c'est-à-dire 60. Donc en fait, seul le plan complet permet d'estimer tous les facteurs et faire en sorte que tous ces facteurs soient orthogonaux. Il n'existe pas ici de plans orthogonaux qui ont moins que 60 essais. Donc ça, ça nous donne une idée des plans orthogonaux qu'on peut construire. Pourquoi réfléchir à ça? Parce que dans certains logiciels, on peut demander des plans orthogonaux, mais si les plans orthogonaux n'existent pas, ça mettra une erreur. Alors si je construis un plan avec cette fois je m'intéresse à 3 facteurs à 2 modalités et 3 facteurs à 3 modalités, Et le L36, ça signifie que je vais prendre 36 essais. Donc le nombre maximum d'essais, ou le nombre d'essais du plan complexe, c'est 2 puissance 3, donc 8 fois 3 puissance 3, 27, c'est-à-dire 216. Et le nombre minimum, c'est 1 pour la constante, plus 3 fois 2 moins 1, donc plus 3. 1 plus 3, ça fait 4, plus 3 fois 3 moins 1, plus 6, c'est-à-dire 10. J'ai 10 coefficients à estimer. Donc il me faut au minimum 10 essais. Ensuite, pour chaque paire de facteurs, eh bien je sais que je vais avoir 2 fois 2, 4, ou 2 fois 3, 6, ou 3 fois 3, 9 essais à réaliser. Et donc si je veux un plan orthogonal, il faudra que j'aie un multiple de 4, 6 et 9. Et le PPCM de 4, 6, 9, c'est 36. Donc il me faut au minimum 36 essais, et avec 36 essais, je peux espérer avoir un plan orthogonal. Alors comment est-ce qu'on va construire ce plan orthogonal? Eh bien on va construire, on va s'intéresser aux facteurs à trois niveaux, on va s'intéresser aux facteurs à deux niveaux et puis après on va mixer. Donc les facteurs à trois niveaux, eh bien on va construire un plan trois à la puissance trois moins un. Donc c'est un plan fractionnaire. Même chose pour les plans à les facteurs à deux niveaux. Je vais faire, je vais construire un plan deux puissance trois moins un et puis ensuite Je vais introduire le plan 2 puissance 3- 1 pour chaque ligne du plan 3 puissance 3- 1. Alors ici vous avez le plan 3 puissance 3- 1, c'est-à-dire que c'est un carré latin qui a été déplié. Donc j'ai déplié le carré latin où j'étudie 3 facteurs à 3 modalités et puis en dessous j'ai le plan 2 puissance 3- 1 où j'ai un plan fractionnaire qui a été déplié. Et puis ce que j'ai dit, c'est que pour chaque ligne du plan 3 puissance 3- 1, je vais construire le plan 2 puissance 3- 1. Donc je répète la première ligne du plan 3 puissance 3- 1 et je mets à côté le plan 2 puissance 3- 1. Donc je répète 4 fois la ligne du plan 3 puissance 3- 1 et je mets le carré 2 puissance 3- 1 à côté. Et puis pour la deuxième ligne, même chose, je répète le carré. Et 3e ligne, etc. Donc je vais avoir nombre de lignes qui sera 9× 4= 36. Par le mode de construction où je répète le plan pour chaque ligne du plan , eh bien je construis un effet orthogonal. Et donc si je prends 2 facteurs au hasard et que je construis la table de contingence pour savoir combien de fois chaque combinaison est testée, eh bien chaque combinaison sera testée un même nombre de fois. Donc voilà comment construire à la main des plans avec des nombres de modalités différents, ici quand on avait 3 facteurs à 2 et 3 facteurs à 3 modalités. Alors on a souvent, en agronomie notamment, ce qu'on appelle des effets blocs. Donc l'effet bloc c'est quoi? C'est l'effet animal, l'effet parcelle quand on s'intéresse à des données en végétal. Et donc comment est-ce qu'on prend en compte ces effets blocs? Au niveau des plans d'expériences, pour construire un plan avec un effet bloc, on considère l'effet bloc comme un autre effet. Et donc on construit notre plan en considérant cet effet bloc et on l'introduit dans la construction du plan comme les autres effets. Donc il n'y a rien de spécifique aux effets blocs, c'est un effet comme un autre. Et après, pour l'analyse des résultats, on va considérer l'effet bloc dans le modèle d'analyse de variance Donc on le considère comme effet mais on ne considère pas d'interaction avec l'effet bloc. Donc il n'y a vraiment rien de spécifique aux effets blocs. Alors si je veux construire des plans avec R, je vais utiliser le package frf2 et donc ici j'ai plan1 qui est la fonction frf2 et puis je précise le nombre de runs, donc le nombre d'essais et le nombre de facteurs que je veux étudier. Et puis je pourrais préciser aussi les noms des facteurs et de chacune des modalités. L'autre façon de faire, c'est de donner le nombre de facteurs et la résolution du plan. Donc ça c'est pour les plans fractionnaires. Si je veux construire des plans orthogonaux, on va utiliser le package doe.base et la fonction fac.design. Donc fac.design, je vais préciser les nlevels, c'est-à-dire le nombre de modalités pour chacun des facteurs. Donc là je veux construire un plan avec 4, 3, 3 et 2 facteurs. Pour la ligne suivante, je veux construire un plan avec 2, 2, 3, 3 et 6 facteurs et je dis que le facteur de bloc c'est le facteur 6. Alors seed= 12345, c'est juste pour initialiser le générateur de nombres au hasard, c'est pas du tout indispensable de mettre ça. Il y a une autre fonction qui est la fonction oa.design qui permet de construire des plans orthogonaux. Vous allez lui préciser le nombre de niveaux pour chaque facteur, puis ensuite le nombre d'essais que vous voulez faire, et il va vous construire le plan orthogonal, si le plan orthogonal existe. Et puis ce qui est important ensuite, c'est de vérifier la qualité du plan. Et donc pour vérifier la qualité du plan, on va construire la matrice X du modèle d'analyse de variance en utilisant la fonction model.matrix~, on met donc un tilde et puis on met les facteurs qu'on étudie, donc le facteur A+ B+ C+ D+ E, plus l'interaction AB plus AC plus BC, en lui précisant bien les data c'est le plan que je viens de construire. Donc là il va construire la matrice X et puis ensuite solve*** X), ça va calculer X'. On va vérifier que X' a des variances faibles et que les covariances sont faibles entre facteurs ou entre facteurs et interactions si on s'intéresse à certaines interactions. Alors un autre exemple ici, on va s'intéresser à comparer 6 variétés qu'on va mettre dans 4 blocs de 6 parcelles. On va utiliser la fonction oa.design et dire qu'on a un facteur à 6 niveaux et un facteur à 4 niveaux. Si on veut comparer 3 variétés A, B, C pour 2 doses d'engrais 1 et 2 et qu'on a un champ avec 6 lignes et 6 colonnes, 6 rangées, Eh bien on va prendre un plan avec 4 facteurs: un facteur ligne, un facteur colonne, un facteur engrais et un facteur variété. Et puis enfin un dernier exemple avec le package planor qui est un package qui permet de construire des plans très complexes. Je vous renvoie à la documentation de planor qui donne de nombreux exemples sur l'utilisation de ces plans. Comment faire maintenant si on veut étudier à la fois des variables quantitatives et qualitatives pour les variables X? Il y a 2 stratégies possibles. La première, c'est de transformer les variables quantitatives en variables qualitatives avec au moins 3 niveaux pour pouvoir prendre en compte des effets non linéaires, des effets quadratiques. Et puis une fois qu'on a transformé toutes les variables en variables qualitatives, revenir à la construction des plans pour variables qualitatives. L'autre stratégie, c'est de se dire on va construire un plan avec les variables quantitatives, donc typiquement un plan composite centré, Et puis on va construire un plan pour les variables qualitatives seules, donc un plan fractionnaire ou bien un des plans qu'on vient de voir. Et puis ce qu'on va faire, c'est qu'on va répéter le plan quantitatif pour chaque expérience du plan qualitatif. Donc on prend un essai du plan qualitatif et on le duplique autant de fois qu'il y a d'essais dans le plan composite centré. Et puis on met à côté le plan composite centré. Et on répète ça pour chaque essai du plan qualitatif. Alors évidemment, ça va multiplier le nombre d'essais, notamment si on a beaucoup de variables qualitatives et beaucoup de modalités pour les variables qualitatives puisqu'on va répéter le plan composite centré autant de fois qu'il y a de lignes sur le plan qualitatif. Ça, c'est une stratégie qui permet d'avoir des effets qui seront orthogonaux. Maintenant, on risque d'avoir des plans avec énormément d'essais. Et puis dans les 2 cas, y compris quand on a construit le plan en transformant les variables quantitatives en qualitatives, une fois qu'on va analyser les résultats, on va bien garder les variables quantitatives comme quantitatives en gardant les valeurs qui seront prises et en prenant des effets quadratiques par exemple. Et donc les modèles qui permettent d'étudier à la fois des variables quantitatives et qualitatives sont des modèles de covariance. Donc on va construire un modèle de covariance ici. On va passer maintenant aux plans optimaux. Donc les plans optimaux sont des plans qui sont utiles quand il n'y a pas des plans qui existent pour certaines configurations de facteurs ou de nombre de modalités par facteur, ou bien quand on est dans des situations pratiques qui permettent pas de faire tous les essais par exemple. Si on prend un exemple avec 1 facteur à 2 modalités, 2 facteurs à 3 et 2 facteurs à 4, eh bien le nombre maximum d'essais à réaliser c'est 288 et le PPCM de 6, 8, 9, 16, 12, ce PPCM c'est 144. Si on s'autorise uniquement 16 essais, on est sûr qu'avec 16 essais on n'aura pas l'orthogonalité. Mais ce qu'on va vouloir, c'est détériorer un petit peu la qualité du plan, ne plus avoir un plan orthogonal, mais malgré tout avoir un plan qui n'est pas trop loin de l'orthogonalité. Donc on aura beaucoup moins que 144 essais, mais on va perdre l'orthogonalité. Autre exemple, on s'intéresse à une variable Y qui est la viscosité, et puis on a 2 variables quantitatives qui sont le carraghénane et le xanthane qui sont des épaississants. Et puis on veut trouver la combinaison optimale qui permette d'optimiser la viscosité. Le problème, c'est qu'il y a certaines expériences qui vont pas être intéressantes. Si on met à la fois beaucoup de carraghénane et beaucoup de xanthane, on va avoir une crème qui sera beaucoup trop épaisse. Et au contraire, si on met peu de xanthane et peu de carraghénane, eh bien on va avoir des crèmes qui seront vraiment trop liquides. Donc il y a des essais ici dans les parties, dans les régions bleues, qui sont des essais impossibles, ou en tout cas qui n'ont aucun intérêt à être réalisés parce qu'on sait que ça va rien donner. Donc comment faire dans ces situations-là où le plan composite centré qui avait bien été construit, qui permettait d'avoir des effets qui étaient orthogonaux entre eux, des effets quadratiques qui étaient orthogonaux, comment faire pour détériorer un peu la qualité du plan mais avoir des essais qui puissent être utilisés dans l'analyse de nos résultats. Eh bien, les plans optimaux, l'idée c'est toujours de s'intéresser à la variance des paramètres, la variance de bêta chapeau, et cette variance de bêta chapeau, eh bien c'est sigma carré X prime X moins 1. Et donc sigma carré X prime X moins 1, eh bien cette quantité-là, on va vouloir qu'elle soit minimale. Alors le problème c'est que X prime X moins 1 c'est une matrice Et donc comment est-ce qu'on va faire? L'idéal, c'est d'avoir un seul critère. Alors X prime X, c'est ce qu'on appelle la matrice d'information, X prime X moins 1, c'est la matrice de dispersion. Ça, ce sont juste des problèmes de vocabulaire. Comment on fait pour avoir un seul critère? Il y a 3 critères qui sont envisageables et qui sont utilisés dans les plans. Le premier critère, c'est de minimiser le déterminant de la matrice X prime X moins 1. Ce qui revient à maximiser la matrice d'information. Un second critère revient à minimiser la moyenne des variances des coefficients de la matrice de dispersion, de la matrice X'X^-1. Donc la variance des coefficients, c'est les termes qui sont sur la diagonale, on va chercher à minimiser cette variance, c'est-à-dire à minimiser la variance des coefficients du modèle qu'on va estimer ensuite. Donc on s'intéresse uniquement aux variances et pas aux covariances, alors qu'avec le déterminant on avait à la fois les variances et les covariances. Et puis la G, optimalité, on va s'intéresser à trouver des plans tels que les expériences permettent de prédire avec la meilleure précision possible, donc minimiser la variance de précision. Donc c'est ces 3 critères qui sont utilisés pour construire des plans optimaux, donc un plan optimal dans le sens où il minimise un de ces 3 critères. Le critère de déoptimalité est le plus utilisé parce que d'un point de vue numérique, il est plus facile à minimiser facilement. Maintenant, avec les ordinateurs, on peut très bien utiliser les autres critères si on le souhaite. Et alors, comment fonctionnent les plans optimaux? Eh bien, en fait, on a un algorithme qui est un algorithme d'échanges qui a été proposé par Fedorov. C'est un algorithme qui est vraiment très, très simple. Alors l'idée, ça va être d'abord de proposer un grand nombre d'expériences possibles. Un grand nombre d'expériences que je vais noter N et puis on va choisir au hasard n essais parmi ces N. Donc je tire au hasard n essais parmi les N et je vais calculer le déterminant de la matrice X'X ou X'X-1, peu importe. Donc je vais calculer le déterminant de X'X parce que c'est un petit peu plus rapide. Donc je vais chercher à maximiser le déterminant de X'X, ce qui revient à minimiser le déterminant de X'X-1. Et puis, bien, une fois que j'ai calculé ce déterminant, ce que je vais faire, c'est que je vais enlever un des essais qui avait été choisi, un des, une des N expériences qui avait été choisie. Je l'enlève du plan et j'en ajoute une qui n'avait pas été choisie. Donc parmi les grands N moins petits n qui n'étaient pas choisis, j'en prends une au hasard et je remplace par une qui était choisie dans le plan initialement. Et je calcule le déterminant. Si le déterminant augmente, donc le déterminant de X prime X augmente, c'est-à-dire le déterminant de X prime X moins 1 diminue, eh bien dans ce cas-là, je vais garder cet échange. Et si le déterminant n'augmente pas, j'annule l'échange. Et je répète, j'itère cet algorithme un très grand nombre de fois. Et donc au bout d'un moment, l'algorithme va converger et va s'arrêter parce que tout échange n'améliorera pas le déterminant. Donc c'est vraiment un algorithme très très simple sur le principe: on choisit des essais au hasard, on calcule notre critère et on fait un échange et on regarde si on a amélioré le critère. Si on améliore le critère, on garde cet échange, si on n'a pas amélioré le critère, on annule l'échange. Et on répète ça jusqu'à ce qu'on s'arrête, jusqu'à ce qu'on converge. Donc l'avantage des plans optimaux, c'est que ce sont des plans qui sont très flexibles par rapport au nombre d'essais. Donc je peux lui donner un nombre d'essais quelconque, il va toujours trouver une solution. On peut aussi imposer certains essais, c'est-à-dire qu'on peut définir des essais qu'on veut absolument faire et on va donc chercher les meilleurs essais complémentaires des premiers essais qu'on a réalisés. On peut aussi donc rajouter des expériences au cours du plan. Donc on construit un premier plan qui est avec très très peu d'essais, on fait notre analyse et puis si on veut rajouter quelques essais parce que notre modèle ne convient pas et qu'il faut prendre des effets quadratiques par exemple, on va pouvoir rajouter des essais. L'inconvénient, c'est un peu l'inconvénient de ses qualités, c'est qu'il fournit toujours un plan. Donc après, il n'y a pas de garantie sur sa qualité. Si je veux étudier 7 facteurs avec 3 modalités par facteur et que je lui demande juste 6 essais, il va trouver quelque chose. Donc évidemment, ça n'a pas de sens. Donc c'est à nous d'être vigilants sur la qualité du plan, donc de bien vérifier la qualité du plan qu'on a trouvé, donc en calculant x'. Et puis la convergence de l'algorithme vers l'optimum global n'est pas assurée. Donc en fait, l'algorithme va converger mais pas nécessairement vers l'optimum global. Donc dans ces cas-là, ce qu'on fait, c'est qu'on relance plusieurs fois l'algorithme en changeant d'initialisation. Et donc en relançant plusieurs fois l'algorithme, on a plus de chances d'atteindre l'optimum global. Optimum global. Donc on peut construire des plans optimaux avec R, c'est le package ALGdesign avec un A et un D majuscule et c'est la fonction optFedorov. Donc la première étape c'est de lui définir les essais potentiels possibles. Donc là c'est un nombre d'essais qui est relativement grand et c'est tous les essais possibles. Donc ça peut être le plan complet par exemple. Donc ici, gen factorial, je construis le plan complet avec 3 facteurs à 3 niveaux. Et puis ensuite, je construis le plan optimal grâce à la fonction optfeatheroff. Je lui précise le modèle. Donc le modèle, j'écris quadABC, ça veut dire que c'est un modèle quadratique qui contient les effets de A, B, C et donc AB, AC et BC. Je lui précise les essais potentiels, donc que j'ai définis juste la ligne du dessus, donc que j'avais mis dans l'objet dat. Donc là je mets data= dat. Et puis ensuite je lui précise le nombre d'essais nTrials= 14. Donc ça veut dire que je veux qu'il me trouve 14 essais, le meilleur plan possible en 14 essais. Dans l'exemple suivant, eh bien je prends des facteurs entre -1 et 1 avec un pas de 0,1. C'est des valeurs -1,1, -0,9, -0,8, etc., jusqu'à 0,9 et 1. Et donc expand.grid, c'est la fonction qui va permettre de construire une grille. Et donc là, je construis une grille avec 3 facteurs a, b, c, et donc à chaque fois pour a, b et c, je vais avoir toutes les valeurs possibles entre -1 et 1 avec un pas de 0,1. Donc ça, ça me fait une grille avec plus de 9000 essais. Et avec la fonction de Fedorov, eh bien je lui dis que je veux un modèle quadratique avec point, ça signifie que je prends tous les facteurs, donc c'est comme si j'avais mis quad de A, B, C. Je lui donne les essais, dates, et je lui dis que je veux 14 essais dans mon plan. Voilà, et donc l'algorithme va se débrouiller pour trouver 14 essais qui minimisent le déterminant de X prime X moins 1. On peut aussi retrouver des plans qui existent, donc par exemple retrouver le plan fractionnaire. Pour ça, je vais construire avec genfactorial tous les essais possibles d'un plan avec 4 facteurs à 2 niveaux. Donc je prends 4 facteurs à 2 niveaux et je lui dis d'utiliser la fonction de Fedorov avec ~.le modèle, ça veut dire que je prends un modèle avec tous les facteurs, donc A, B, C, D. dat, c'est les essais potentiels que je viens de définir. Et je lui dis que je veux 8 essais. Et donc dans ce cas-là, il va retomber sur le plan fractionnaire puisque c'est le plan qui minimise le déterminant de X'X- 1. Donc l'algorithme va bien aller chercher ce plan fractionnaire. Par contre, il faut que je lui aie donné le bon nombre d'essais. Si je lui avais donné 7 essais, il aurait trouvé un plan mais qui ne serait pas de très très bonne qualité. Alors d'autres exemples avec un plan qui est le plan de plaquettes Burnham. Donc où je lui donne là encore tous les essais possibles avec 11 facteurs ici à 2 niveaux. Donc c'est un plan complet qui a 2048 essais et je lui dis de trouver le plan tel que je veux étudier tous les facteurs. Je lui précise les essais potentiels et je veux 12 expériences. Donc vous voyez que je veux étudier 11 facteurs, je lui demande 12 expériences et il va se débrouiller avec 12 essais seulement comment estimer 11 facteurs. Et donc évidemment ensuite je vais vérifier l'orthogonalité en calculant la matrice X et en calculant X'X notamment et X'X-1. Donc ici je peux construire aussi des carrés latins. Je vais m'intéresser aux carrés latins avec 5 modalités par facteur. Donc j'ai 3 facteurs. Expand_grid, je répète toutes les combinaisons de 3 facteurs à 5 modalités. J'ai 5× 5= 25× 5= 125 essais et je lui demande de trouver les 15 essais. Là encore, il va se débrouiller et converger vers le carré latin. Pour converger vers le carré latin, il faut un nombre de répétitions suffisamment grand, nreps, nrepeats ici, c'est le nombre d'initialisations de l'algorithme. Donc on lui donne plusieurs initialisations possibles pour qu'il aille converger vers la bonne solution. Et donc il conserve la meilleure solution, donc la solution qui minimise le déterminant de X'X-1, il garde cette solution-là et qui est donc le plan en carré latin. Et puis pour terminer, quelques autres exemples. Donc un exemple où on peut imposer des essais, donc dans premier temps, je construis le plan factoriel avec 3 facteurs à 3 niveaux. Donc c'est un plan avec 27 essais. Avec l'algorithme de Fedorov, je vais lui demander de chercher le plan optimal en 14 essais. Si je considère que le modèle ne s'ajuste pas bien aux données, qu'il me faut d'autres essais, eh bien je vais relancer l'algorithme de Fedorov toujours avec le même modèle. Je lui précise les essais potentiels, je lui dis si Cette fois, je veux 25 essais et je lui dis augment true pour lui dire que je veux rajouter des essais à un plan qui existe déjà. Et les essais qui existent déjà sont donnés avec rose juste derrière, donc les lignes, c'est les lignes du plan que j'ai construit précédemment. Donc desd$rose signifie que je récupère les essais du plan précédent et là, j'augmente ce plan pour aller jusqu'à 25 essais. Et donc je vais chercher, j'avais 14 essais tout à l'heure, je vais chercher les 11 essais complémentaires qui permettent d'améliorer au mieux le plan. Et puis ce qu'il est aussi possible de faire, c'est de construire un modèle. Par exemple, j'ai construit un modèle avec des effets qualitatifs, avec 5 facteurs à 2 modalités. Je construis mon plan d'expériences avec l'algorithme de Fedorov pour récupérer un plan en 8 essais. Et puis après coup, je me rends compte qu'il serait plus intéressant de construire un modèle avec pas seulement les effets principaux mais rajouter quelques interactions et notamment l'interaction AB. Eh bien dans ce cas-là, je vais lui préciser que je veux un autre modèle, le modèle A+ B+ C+ D+ E+ l'interaction AB, donc I , ça veut dire que je prends le produit de A× B et que je considère ça comme une variable. J'ai ensuite mes essais potentiels, j'ai mon nombre d'essais qui passe à 10. Augmente égale true, ça veut dire que j'ajoute des expériences et je les ajoute aux expériences qui sont données ensuite, donc rose égale DESH$rose. Donc ça, ça veut dire que je récupère les expériences du plan précédent et j'ai rajouté 2 essais ici pour pouvoir étudier l'interaction entre A et B.