Dans cette leçon vidéo, le présentateur explique comment dériver et simplifier une fonction logique à partir d'un tableau de Karnaugh (K‑map). Après un rappel que le K‑map est une représentation 2‑D d’une table de vérité ordonnée selon le code de Gray, il décrit la méthode graphique : regrouper les cases contenant la valeur 1 en blocs de taille puissance de 2 (1, 2, 4, 8, …), en tenant compte de l’adjacence même à travers les bords (effet «cylindre»). Chaque groupe donne un produit (terme de la somme de produits) où les variables qui varient au sein du groupe sont éliminées. Le cours illustre la procédure avec plusieurs exemples : un seul 1 → fonction AND (AB) ou NOT (A B̅); deux cases adjacentes → élimination d’une variable (B̅ ou A̅); deux groupes de deux cases → somme de deux produits (A̅ + B̅) puis application de la loi de Morgan (NAND); groupes de quatre cases dans un K‑map à quatre variables → simplifications BD + CD et factorisation via D. Il montre aussi comment le regroupement «wrap‑around» réduit le nombre de groupes. Enfin, il conseille de choisir les plus grands groupes possibles et précise que les K‑maps sont surtout utiles pour des tables de vérité de grande taille, alors que pour de petites tables l’algèbre de Boole peut être plus rapide.
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Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon qui s'intègre à la série consacrée à la logique booléenne. Aujourd'hui, nous allons voir comment exprimer une fonction logique à partir du tableau de Karnaugh. Dans la leçon précédente, nous avons vu comment tracer le tableau de Karnaugh à partir d'une table de vérité. J'ai mentionné que le tableau de Karnaugh est en quelque sorte une représentation à 2 dimensions d'une table de vérité et il englobe les valeurs de la sortie exprimées dans cette dernière. Quant aux différentes combinaisons possibles aux entrées, elles sont représentées en respectant l'ordre établi par le code de Gray au code binaire réfléchi. Maintenant que le tableau de Karnaugh a été tracé, il est temps d'en extraire la fonction logique de manière graphique. Cette méthode produit souvent une fonction logique assez abrégée et ne nécessite généralement pas l'utilisation des théorèmes et lois de l'algèbre de Boole pour la simplifier davantage. Voyons comment procéder. L'idée consiste à grouper les cases voisines qui renferment la valeur 1 à condition que le nombre de ces cases-là soit une puissance de 2. Autrement dit, nous allons grouper soit 1 case, 2 cases, 4 cases, 8 cases, etc. N'oubliez pas que ces cases doivent être voisines et elles peuvent être regroupées dans n'importe quel sens. Ensuite, nous exprimons une somme de produits exactement comme on l'a fait pour produire une fonction logique à partir d'une table de vérité, mais cette fois, pour chaque produit généré, nous allons exclure automatiquement les variables d'entrée qui changent de valeur s'il y en a. À titre d'exemple, supposons qu'on a tracé le tableau de Karnaugh suivant. Encore une fois, je vous renvoie vers la vidéo précédente pour apprendre à générer le tableau de Karnaugh à partir de la table de vérité. Dans ce cas, nous disposons d'une seule case qui renferme la valeur 1, donc la fonction logique qui en résultera sera constituée d'un seul produit. La case en question se trouve à l'intersection où A vaut 1 et B vaut 1. Comme on l'a fait pour la méthode de la table de vérité, le produit en question sera AB, donc la fonction de la sortie sera S= AB. D'ailleurs, ce tableau de Karnaugh correspond à la porte logique ET. Maintenant supposons qu'on ait ce tableau de Karnaugh. La seule case qui renferme la valeur 1 se trouve à l'intersection où A vaut 1 et B vaut 0. Donc la fonction S vaut AB barre. Si le tableau de Karnaugh généré correspond à cela, alors on constate qu'on a 2 cases voisines qui renferment la valeur 1. Si on parcourt ces 2 cases horizontalement, on s'aperçoit que l'entrée A change de valeur, c'est-à-dire qu'elle passe de 0 à 1. Alors cette variable sera éliminée du produit courant. Par contre, on constate que B reste toujours égal à 0 par rapport aux 2 cases en question. Donc la fonction logique résultante sera égale à B barre. En effet, la variable A a été éliminée puisqu'elle change de valeur par rapport au groupe de cases qui renferme la valeur 1. En réalité, il ne s'agit pas d'une élimination proprement dite, mais c'est comme si on mettait la variable A à 1, qui est un élément neutre de ET logique, au du produit résultant. Supposons maintenant que notre tableau de Karnaugh a cette forme. Dans ce cas, on peut identifier 2 groupes qui contiennent 2 cases voisines qui sont mises à 1. Bien entendu, on peut réutiliser une case autant de fois que l'on souhaite pour constituer un nouveau groupe. Cela signifie que l'expression de la fonction S sera une somme de 2 produits, car on a 2 groupes. Dans le premier groupe, on constate que l'entrée A change de valeur, donc elle sera éliminée de l'expression. Par contre, B ne change pas et reste égale à 0. Alors le premier produit n'est rien d'autre que B barre. Dans le deuxième groupe, c'est l'entrée B qui change de valeur, donc elle sera éliminée, alors que A reste égal à 0, donc le deuxième produit vaut A barre. Par conséquent, la fonction logique S vaut A barre+ B barre. C'est déjà assez simple comme expression, mais on peut lui appliquer la loi de Morgan et il devient égal à AB tout barre. D'ailleurs, ce tableau de Karnaugh correspond à la porte logique NAND ET. Supposons maintenant qu'on a un tableau de Karnaugh plus grand comme celui illustré. Là encore, on peut identifier 2 groupes constitués chacun de 4 cases mises à 1. Bien entendu, on peut toujours identifier les groupes différemment comme ceci par exemple, mais la fonction logique qui en résultera sera une somme de 3 produits, ce qui nécessitera plus de simplifications en recourant au raisonnement algébrique, alors que l'idée même du tableau de Karnaugh consiste à utiliser la méthode graphique pour simplifier la tâche. Par conséquent, il est toujours recommandé de sélectionner les groupes les plus grands possibles à condition que le nombre de cases mises à 1 qui les constituent soit une puissance de 2. Dans le premier groupe, on constate qu'horizontalement A change de valeur et B vaut 1, et verticalement C change de valeur et D vaut 1 aussi. Donc A et C seront éliminés du premier produit, ce qui donnera BD, puisque ces 2 entrées maintiennent la valeur 1. Dans le deuxième groupe, on constate que les entrées A et B toutes les 2 changent de valeur, alors que C et D restent inchangées et maintiennent la valeur 1. Donc le deuxième produit vaut CD, ce qui donne lieu à la fonction logique S= BD+ CD. Vous pouvez conserver la fonction sous cette forme si vous voulez puisqu'elle est déjà assez simplifiée. Sinon, vous pouvez factoriser à l'aide de l'entrée D, ce qui donnera cette expression. Supposons maintenant qu'on dispose de ce tableau de Karnaugh. À première vue, on dirait qu'il y a 4 groupes, mais notez que les cases sont aussi considérées comme voisines si elles se retrouvent aux extrémités symétriques horizontales ou verticales. En effet, c'est comme si le tableau pourrait être plié pour constituer un cylindre, soit horizontalement ou verticalement. En pratiquant cette particularité, on se retrouve avec 2 groupes seulement, et en appliquant la méthode expliquée précédemment, on trouve la fonction logique qui sera une somme de 2 produits comme ceci. À la fin, je rappelle que le tableau de Karnaugh est surtout utile quand on a affaire à de grandes tables de vérité qui représentent des circuits logiques avec un nombre important d'entrées. C'est-à-dire que pour les petites tables de vérité, on pourrait toujours utiliser le raisonnement algébrique qui pourrait générer une fonction logique simplifiée plus rapidement que si on y procède par tableau de Karnaugh. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.
