Exprimer une fonction logique à partir d'une table de vérité

Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon qui s'inscrit dans la série consacrée à la logique booléenne. Lors de la dernière vidéo, nous avons vu comment analyser un circuit logique afin d'élaborer la table de vérité qui lui correspond. Aujourd'hui, nous allons faire l'inverse, c'est-à-dire qu'à partir d'une table de vérité, nous allons essayer de proposer le circuit logique le plus simple possible. Je sous-entends par le plus simple, le circuit qui embarque le moins de portes logiques possible. Il existe 2 méthodes qui permettent d'arriver à cette fin. La première s'appuie sur le raisonnement algébrique qui consiste à exprimer la fonction logique correspondante à la table de vérité en se basant sur les lois et théorèmes de l'algèbre de Boole que nous avons déjà vus avant. La deuxième est une méthode graphique qui consiste à passer directement de la table de vérité au tableau de Karnaugh. Ce dernier permet le plus souvent de proposer une fonction logique assez abrégée. Mais cette méthode est surtout adaptée aux grandes tables de vérité. Aujourd'hui, nous allons explorer la première méthode qui s'appuie sur le raisonnement algébrique. Commençons par cette table de vérité. Cette table correspond à un circuit logique qui contient 2 entrées et une sortie. Les lignes contiennent toutes les combinaisons possibles pour les entrées, ainsi que les sorties correspondantes. L'objectif c'est d'exprimer la sortie S en fonction des entrées A et B. On aura donc quelque chose qui ressemble à ça. Notez que la fonction logique de base résultante est une somme de produits, et elle sera générée de cette façon. La première chose à faire, c'est éliminer toutes les lignes où la sortie vaut 0. Dans ce cas, on va éliminer cette ligne, et cette ligne aussi. Alors on conserve que 2 lignes, c'est-à-dire qu'on aura une somme de 2 produits. Bien sûr, chaque produit correspond à une ligne. La méthode est simple: là où S vaut 1, il suffit d'exprimer A et B de manière générique. C'est-à-dire, si l'entrée vaut 1, alors elle sera conservée telle qu'elle est, et si l'entrée vaut 0, donc il sera barré. Et n'oubliez pas que l'objectif c'est d'exprimer une somme de produits. Le produit dans ce cas c'est A barre B, parce que A vaut 0 et B vaut 1. Si l'entrée vaut 0, donc elle sera barrée, sinon elle sera conservée telle qu'elle est. Donc on aura quelque chose qui ressemble à ça pour le premier produit. Maintenant on va mettre+, on va passer à la deuxième ligne où S vaut 1. Il s'agit de cette ligne. Dans ce cas, le deuxième produit sera 1 b barre. Parce que a vaut 1, donc il est conservé tel qu'il est, alors que b vaut 0, donc il est inversé. Maintenant, on a fini avec l'expression de base qui est une somme de produits. Il est temps de simplifier cette formule. Quand je dis simplifier, c'est-à-dire qu'on peut appliquer des principes de l'algèbre classique comme la factorisation ou l'application des théorèmes que nous avons vus, principalement les théorèmes de Bode et les formules de Morgan. Mais si vous faites bien attention, vous allez voir que cette forme nous est familière. En effet, c'est l'expression développée de la porte XOR. Alors ça donne tout simplement A XOR B. Donc là, c'est la formule finale. D'ailleurs, la table de vérité correspond bien à la porte XOR que nous avons déjà vue avant. Une fois que nous avons élaboré la fonction la plus simple, il est temps de dessiner le circuit logique. C'est pas trop compliqué. On a 2 entrées, on va les représenter comme ça: A et B. Il suffit de les réunir à travers une porte XOR ou bien OU exclusif. Qui a cette forme, et ça nous délivre la sortie S. Et voilà, c'est fini pour la première table de vérité. Maintenant, passons à la deuxième table de vérité. Dans ce cas, c'est une table qui est censée représenter un circuit logique qui contient 3 entrées A, B et C et une sortie S. Le nombre de lignes y vaut 8, c'est-à-dire 2 à la puissance 3 parce qu'on a 3 entrées. De la même manière, on va représenter que des sorties qui valent 1. Dans ce cas, on mettra S égal. Alors la première combinaison, c'est-à-dire le premier produit, correspond à cette ligne. Alors ça vaut A barre B barre C. Comme d'habitude, si l'entrée vaut 1, alors elle est conservée, comme c'est le cas pour le C. Et si l'entrée vaut 0, dans ce cas on inverse, comme c'est le cas pour A barre et B barre. Plus on passe à la ligne suivante où s est égal à 1, c'est celle-ci. Le produit correspondant c'est a barre bc plus la prochaine ligne ab barre c et la dernière ligne c'est celle-ci abc barre. Maintenant, on va essayer d'abréger cette expression. Par exemple, ici on peut identifier un facteur commun qui est a barre c. Même chose ici. Alors on va factoriser avec cette expression a barre c. On aura ici b barre plus b. Voilà, c'est ça. Plus, et là le facteur commun c'est 1. Donc on va factoriser avec, on aura B barre C plus B C barre. Donc c'est égal à A barre C et là c'est 1 selon les théorèmes de Boole, A barre plus A est égal à 1 ou bien B barre plus B c'est la même chose, alors ça c'est égal à 1 plus, là c'est 1 et cette expression ça nous rappelle le XOR ou bien le OU exclusif, donc Donc c'est B XOR C. Alors là, ça correspond à la fonction la plus simple possible, je vais la souligner. Maintenant, on va la représenter sous forme de circuit logique. Ici, nous avons 3 entrées A, B et C. On va représenter la première combinaison A barre C, donc on a besoin de A barre, c'est-à-dire on va inverser le A comme ça, puis on va prendre le C et on va passer les 2 à travers une porte ET comme ça. Donc là on a A barre C, bon je peux noter comme ça, voilà. La deuxième combinaison maintenant c'est A B XOR C. On représente d'abord B XOR C, c'est ça, et ensuite on va prendre A Par exemple comme ça. On passe le tout à travers une porte ET. Donc l'expression là c'est A, B XOR C. Et ensuite on va tout passer à travers une porte OU comme ça, et ça nous donne la fonction S. Bien sûr, ici il y a une dérivation. Vaut mieux mettre un point pour dire que c'est bien une dérivation, c'est-à-dire qu'on va partir dans ce sens et aussi dans ce sens du même point qui est le C. Maintenant, c'est au tour de la troisième table de vérité. Là encore, nous avons un circuit qui contient deux entrées A et B et une sortie S. Alors mettre à S égal. On va toujours prendre là où c'est égal à un, donc c'est A barre B barre. Plus a barre b plus la troisième ligne ab barre égal. On va factoriser par a barre, on aura b barre plus b plus ab barre. Donc là c'est égal à A barre. Cette expression B barre plus B est égale à 1 selon les théorèmes de Boole. À première vue, il s'agit de l'expression la plus simple de la fonction S. Mais si on regarde la table de vérité de plus près, on va s'apercevoir qu'elle nous est familière. En fait, il s'agit tout simplement de la table de vérité de la porte NAND ou bien la porte non ET. Qui a les entrées A et B et la sortie S. C'est-à-dire que l'expression qu'on devrait trouver c'est AB barre. Et pourtant c'est pas ce que nous avons trouvé. En fait l'expression que nous avons trouvée ici est équivalente à l'expression AB tout barre. D'ailleurs il faut se mettre en tête qu'on n'est pas toujours censé trouver le même résultat. Des fois on peut trouver chacun un résultat différent selon la manière avec laquelle vous avez factorisé ou bien vous avez mené vos traitements, mais finalement tous ces résultats seront identiques, c'est-à-dire que si vous les passez à travers une table de vérité, vous trouverez le même résultat. Maintenant, essayons de développer davantage cette expression pour arriver à ça. Donc égal à A barre plus, donc là AB, on va appliquer la complémentarité par 2 barres comme ça, c'est comme si on n'a rien fait, égal A barre. Et là, on va appliquer Morgan, donc on va conserver la grande barre et celles qui sont en bas, on va l'éclater. Et là, ça deviendra un plus selon Morgan. Là c'est B barre, voilà, comme ça, égal A barre plus la grande barre. Et là c'est A barre, et là c'est la complémentarité, donc ça donne B. Donc on va appliquer Morgan, on va réunir ces deux barres, mettra une seule grande barre, mais là le plus deviendra un ET logique. Alors ça donne A barre plus B. Maintenant on va distribuer la grande barre, c'est AA barre plus AB. Et là c'est égal à 0, toujours selon les théorèmes de Boole. Ce qui nous reste c'est AB tout barre. Et c'est exactement ce qui est attendu. On n'aurait pas pensé à ce traitement si on savait pas à l'avance qu'il s'agit d'une table de vérité qui correspond à une porte qui nous est familière. Maintenant il faut trouver une solution qui permet de trouver la fonction la plus simple possible même si la table de vérité correspondante n'est pas une table qui est déjà connues. Si on regarde les valeurs de la sortie S, on va s'apercevoir qu'il y a plus de 1 que de 0, alors que l'idéal c'est d'avoir moins de 1 que de 0, parce qu'on aura moins de produits et à la fin l'expression, qui est toujours une somme de produits, sera la plus abrégée possible. Maintenant on va essayer de changer la situation. La solution est simple, il suffit d'ajouter une autre colonne à notre table de vérité. Et ici on va mettre S-barre, c'est-à-dire on va inverser la sortie. Alors là on aura l'inverse, donc c'est 0, 0, 0 et là c'est 1. Maintenant vous avez constaté que S-barre contient moins de 1 que de 0, c'est-à-dire que l'expression finale sera beaucoup plus abrégée. Maintenant essayons d'exprimer S-barre et non pas S. De la même manière, là où c'est égal à 1, on va l'exprimer en fonction des entrées, alors ça donne A B puisque toutes les 2 valent 1. Il suffit d'appliquer la complémentarité, une barre ici, une barre ici, et là ça donne S= AB barre. Alors vous avez vu que le traitement est devenu beaucoup plus simple. Donc ce qu'il faut retenir c'est que la règle générale stipule qu'il faut traiter uniquement là où C= 1, mais si par hasard vous avez plus de 1 que de 0, surtout pour les grandes tables de vérité, alors il serait préférable d'inverser la sortie et exprimer S barre. Ensuite, vous inversez le tout pour avoir le résultat final, c'est-à-dire celui qui représente la sortie S. Voilà, j'espère maintenant que vous avez compris comment procéder à ce genre de traitement. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.