Cette vidéo introductive explique les principes fondamentaux de l'Analyse des Correspondances Multiples (ACM). Elle décrit d'abord le type de tableau auquel l'ACM s'applique : un tableau rectangulaire d'individus (lignes) et de variables qualitatives (colonnes), en distinguant variables et leurs modalités. Un petit exemple de 8 individus et 4 variables (lunettes, cheveux, barbe, moustache) est utilisé pour illustrer la construction du tableau disjonctif complet, où chaque modalité devient une colonne binaire. La vidéo expose les objectifs de l'ACM : étudier la variabilité des individus et les associations entre modalités, extraire les dimensions principales de variabilité et les interpréter via des axes. Elle montre comment les proximités sur les axes reflètent des similarités de profils ou des associations fortes entre modalités, et comment un graphique des variables permet de relier chaque dimension aux variables concernées. Enfin, le narrateur conclut sur l'utilité de l'ACM pour résumer et visualiser des enquêtes de grande taille, en soulignant que la méthode hiérarchise l'information et rend possible l'analyse de jeux de données complexes.
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Cette vidéo introductive présente une première approche de l'analyse des correspondances multiples en décrivant les résultats de la méthode appliquée à un tout petit tableau. Décrivons d'abord à quels tableaux s'applique l'analyse des correspondances multiples. L'analyse des correspondances multiples traite des tableaux rectangulaires avec I individus en lignes et J variables qualitatives en colonnes. Attention, distinguons bien une variable qualitative, par exemple la catégorie socioprofessionnelle, des modalités qu'elle peut prendre, par exemple ouvrier. À l'intersection de la ligne i et de la colonne j, on va trouver Xij, la modalité de la variable j possédée par l'individu i. L'exemple classique en ACM est celui d'une enquête. On a interrogé I personnes et le questionnaire comprend J questions à choix multiples, comme par exemple quelle est votre situation de famille célibataire, marié, etc. La situation de famille, c'est la variable. Célibataire, marié, ce sont les modalités que peut prendre cette variable. Nous allons illustrer l'analyse des correspondances multiples en l'appliquant à un tout petit tableau. Nous avons 8 portraits-robots qui se différencient selon 4 variables: la variable lunettes avec les modalités absence ou présence, la variable cheveux longs ou courts, la variable barbe avec 3 modalités absence, de type d'Artagnan ou longue, Et enfin la variable moustache avec 4 modalités: absence, petite, moyenne, grosse. À côté de ce tableau de codage condensé, on construit un tableau dit tableau disjonctif complet. Dans le tableau disjonctif complet, les lignes sont les individus mais les colonnes sont cette fois les modalités des variables qualitatives. Ainsi la colonne j du tableau de codage condensé correspond à Kj colonnes si si l'on suppose que la variable j a Kj modalités. Kj colonnes correspondant donc chacune à une modalité de la variable j. À l'intersection de la ligne i et de la colonne k, on va trouver 1 si l'individu i possède la modalité k de la variable j et 0 sinon. Alors quels sont les objectifs de l'analyse des correspondances multiples sur un tel tableau? Le tableau a la même structure ici que les tableaux vus en ACP si ce n'est que les variables sont ici qualitatives plutôt que quantitatif pour l'ACP. Et donc comme pour l'ACP, on va étudier les individus et les variables. Un individu, c'est-à-dire une ligne du tableau, est considéré du point de vue de l'ensemble de ses réponses. 2 individus se ressemblent s'ils ont le même profil, c'est-à-dire si dans l'ensemble ils prennent les mêmes modalités. Et 2 individus sont différents s'ils ont peu de modalités en commun. L'ACM va étudier la variabilité des individus c'est-à-dire les ressemblances et différences entre individus. Pour ce faire, l'ACM va extraire les principales dimensions de variabilité avant de les décrire par les variables ou plus précisément par les modalités. On va dire qu'on a une dimension qui sépare par exemple ceux qui portent des lunettes de ceux qui n'en portent pas, ceux qui n'ont pas de moustache de ceux qui ont de grosses moustaches, etc. Du point de vue des variables, l'ACM va s'intéresser aux liaisons entre variables et Et comme ici les variables sont qualitatives, l'ACM va s'intéresser aux associations entre modalités et fournira une visualisation d'ensemble de ces associations entre modalités. L'ACM construira alors des variables synthétiques qui résument le mieux possible les variables. Examinons maintenant ce que nous dit l'analyse des correspondances multiples sur notre tableau. Le résultat essentiel de l'analyse des correspondances multiples est une représentation simultanée des individus et des modalités. Ici on retrouve tous les individus et toutes les modalités de toutes les variables. Ne rentrons pas dans le détail des règles d'interprétation mais indiquons simplement que les proximités entre individus sur le plan traduisent une proximité des profils de réponse. De même, les proximités entre modalités sur le plan traduisent une association forte entre ces modalités. Et enfin, les individus sont du côté des modalités qu'ils prennent et les modalités sont du côté des individus qui les prennent. Si on regarde les individus uniquement, c'est-à-dire les portraits, on voit que le premier axe met en évidence une opposition entre les cheveux courts et les cheveux longs, les personnes rasées à gauche et les autres à droite tandis que le deuxième axe oppose en haut ceux qui ne portent pas de lunettes et en bas ceux qui en portent et oppose également en haut ceux qui ont une grosse barbe et une grosse moustache et en bas ceux qui ont une barbichette. Si on regarde les modalités uniquement, On retrouve bien entendu ces mêmes oppositions sur les axes 1 et 2. On peut noter également que l'individu en haut à droite est éloigné des autres car il est très particulier. C'est le seul à avoir une grosse moustache et le seul à avoir une grosse barbe. L'association de ces 2 modalités rares, présentes pour un seul individu, a conduit à éloigner cet individu des autres. Si on veut décrire chaque dimension de l'ACM, on peut se focaliser sur les modalités. Cependant, si le nombre de modalités est important, on peut voir les liens entre chaque dimension et chaque variable globalement en construisant un graphique des variables. Ce graphique montre immédiatement que la 1ère dimension est liée aux variables cheveux, barbe et moustache mais pas du tout à la variable lunettes tandis que la 2ème dimension est liée aux variables barbe, moustache, lunettes mais pas du tout à la variable cheveux. Pour conclure, faisons un bilan de ce que nous avons appris avec cette petite application. L'ACM est une méthode qui travaille sur des tableaux individus× variables, les variables étant qualitative. Le premier résultat que nous avons vu est qu'à partir d'un petit tableau, l'analyse des correspondances multiples a mis en évidence les éléments de cette structure et ce de façon hiérarchisée. Bien sûr, nous avons analysé un petit tableau et l'analyse des correspondances multiples sera d'autant plus précieuse que le tableau que nous étudions est grand. Avec 8 individus et 4 variables, il n'était pas facile de voir sur le tableau brut quelles étaient les ressemblances et différences entre individus et comment hiérarchiser les facteurs qui différencient les individus. Et donc avec une enquête portant sur 20 questions et à laquelle 1000 enquêtés ont répondu, il n'est pas envisageable de faire ce travail sans un outil pour hiérarchiser l'information. L'ACM est parfaitement adapté au traitement d'enquêtes. Il reste à voir dans les prochaines vidéos comment l'analyse des correspondances multiples procède pour obtenir ces graphiques et comment interpréter les résultats d'une analyse des correspondances multiples.
