Dans cette leçon de la série sur la logique booléenne, le narrateur explique la méthode graphique du tableau de Karnaugh pour simplifier les fonctions logiques, en la comparant à la méthode algébrique de somme de produits. Il décrit d’abord le principe du tableau de Karnaugh comme une représentation bidimensionnelle d’une table de vérité, en illustrant avec un exemple à deux variables (porte NON‑OU). Il montre ensuite comment étendre la méthode à quatre variables, en insistant sur le choix équilibré des variables à placer horizontalement et verticalement et sur le respect de l’ordre des variables de la table de vérité. Le cœur de la leçon porte sur le code de Gray (code binaire réfléchi) : il détaille la construction itérative du code pour 1, 2 puis 3 bits, en expliquant la règle de symétrie qui garantit qu’un seul bit change entre deux combinaisons consécutives. Le code de Gray est ensuite utilisé pour ordonner les lignes et colonnes du tableau de Karnaugh. Enfin, le narrateur montre comment reporter les valeurs de sortie de la table de vérité dans les cases du tableau selon cet ordre, préparant ainsi le terrain pour la prochaine leçon qui traitera de la simplification directe à partir du tableau. Le ton est pédagogique, avec un enthousiasme modéré, et la vidéo se conclut par une recommandation d’utiliser les cartes de Karnaugh pour les grandes tables de vérité.
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Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon qui fait partie de la série consacrée à la logique booléenne. Aujourd'hui, nous allons voir le tableau de Karnaugh. Dans la vidéo précédente, nous avons vu comment exprimer une fonction logique à partir d'une table de vérité. Pour ce faire, on commence par établir l'expression de la fonction sous forme d'une somme de produits. Chaque produit est représenté par la valeur générique des entrées. Et le nombre de produits à établir équivaut au nombre de sorties qui valent 1. Ensuite, on essaie de simplifier la fonction trouvée autant que possible en utilisant les théorèmes et lois applicables en algèbre de Boole. Bien que cette méthode soit efficace, elle présente quand même des limites vis-à-vis de grandes tables de vérité, c'est-à-dire quand on cherche à exprimer la fonction logique d'un circuit qui englobe beaucoup d'entrées. En effet, on pourrait avoir une expression qui renferme la somme de beaucoup de produits ce qui rendra la simplification de la fonction un peu plus compliquée. Heureusement, il existe une méthode graphique qui permet d'exprimer directement la fonction logique simplifiée. Il s'agit du tableau de Karnaugh. Le tableau de Karnaugh est en réalité une sorte de table de vérité à 2 dimensions, c'est-à-dire qu'au lieu de représenter les entrées sur la même ligne, on va plutôt les diviser en 2 groupes. Un groupe sera représenté horizontalement et l'autre verticalement. Ainsi, les valeurs de sortie correspondantes sont placées dans l'intersection de la ligne et de la colonne adéquate. Pour mieux comprendre le principe, prenons cette petite table de vérité à 2 entrées. Il s'agit bien entendu de la table de vérité de la porte NON OU. Pour créer le tableau de Karnaugh correspondant, nous allons par exemple représenter l'entrée A horizontalement et l'entrée B verticalement, ce qui donne la représentation suivante. On obtient une sorte de grille qui renferme 4 cases utiles et qui correspondent aux 4 lignes de la table de vérité d'origine. On aura aussi d'autres cases qui renferment les différentes combinaisons possibles des variables d'entrée. Dans ce cas, pour chaque variable on aura 2 valeurs possibles qui sont 0 ou 1. On place donc 0 et 1 comme étant les combinaisons possibles de la variable A qu'on va représenter horizontalement, et 0 et 1 encore comme étant les combinaisons possibles de la variable B qu'on va représenter cette fois-ci verticalement. Maintenant, on va tout simplement rapporter les valeurs de la sortie qui figurent dans la table de vérité comme ceci: Si A vaut 0 et B vaut 0, alors la sortie vaut 1. Si A vaut 0 et B vaut 1, alors la sortie vaut 0. Si A vaut 1 et B vaut 0, alors la sortie vaut 0 encore. Et si A et B valent 1, alors la sortie vaut 0 encore une fois. Vous constatez que le tableau de Karnaugh renferme les mêmes données que la table de vérité, mais représentées différemment. Maintenant, supposons que la table de vérité contient 16 lignes qui représentent toutes les combinaisons possibles des 4 entrées A, B, C et D. Comme on l'a fait pour l'exemple précédent, nous allons répartir les variables d'entrée sur 2 dimensions. Disons par exemple qu'on représentera A et B horizontalement et C et D verticalement. Notez que vous pouvez répartir ces variables-là différemment, c'est-à-dire représenter A et D horizontalement et B et C verticalement par exemple, ou même représenter A, B et C toutes les 3 horizontalement et seulement D verticalement, etc. Mais il serait judicieux de respecter l'ordre des variables établi dans la table de vérité afin de ne pas semer de confusion lors du remplissage du tableau de Karnaugh. En plus, il est toujours utile d'équilibrer le nombre de variables représentées horizontalement et verticalement. Dans ce cas, on en prendra 2 dans chaque sens. Concernant la représentation des combinaisons possibles des entrées, cette fois-ci nous n'allons pas les placer dans n'importe quel ordre, mais il faut respecter un ordre bien particulier que l'on appelle code de Gray ou code binaire réfléchi. Voyons comment représenter le code de Gray. Imaginons que nous voulons représenter un code constitué d'un seul bit que l'on notera A. Dans ce cas, la première valeur possible est 0 et la deuxième valeur vaut 1. Jusqu'ici rien de bien particulier. Maintenant, imaginons que nous voulons représenter un code constitué de 2 bits. On ajoutera donc le bit noté B comme ceci. Mais avant de mettre les valeurs possibles, nous allons ajouter dans la colonne dédiée au bit représenté par A, 2 autres valeurs qui sont symétriques aux valeurs déjà saisies, c'est-à-dire 1 puis 0. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle le code de Gray est aussi appelé code binaire réfléchi. Car c'est comme s'il y a une sorte de miroir qui réfléchit le code de manière symétrique. En tout cas, on aura 4 combinaisons possibles vu qu'on a un code constitué de 2 bits. Concernant le bit représenté par B, on va y mettre 2 0 puis 2 1. On obtient donc le code de Gray sur 2 bits représenté dans l'ordre comme ceci: 00, 01, 11 et 10. L'idée du code de Gray consiste à ne modifier qu'un seul bit à la fois quand on passe d'un nombre au nombre suivant. Ajoutons maintenant un autre bit connu notre AC. Donc le code de Grey que l'on veut représenter est constitué de trois bits. On procède de la même manière qu'avant, c'est-à-dire on va ajouter quatre autres lignes symétriques aux deux premiers bits A et B comme ceci. Notez encore que c'est comme si le code est réfléchi par un miroir. Pour la colonne C, on va poser quatre zéros puis quatre un. Donc à chaque fois qu'on ajoute un bit, on double le nombre de valeurs possibles conformément à la relation. N= 2^n où N est le nombre de combinaisons et n est le nombre de bits ou le nombre d'entrées du circuit logique que l'on cherche à représenter. Revenons maintenant au tableau de Karnaugh. Nous allons poser les différentes combinaisons du couple et conformément à l'ordre établi par le code de Gray comme ceci. Maintenant, il ne reste plus qu'à remplir les différentes cases en y plaçant les valeurs de sortie correspondantes dans la table de vérité comme ceci. Désormais, vous avez compris comment tracer et remplir un tableau de Karnaugh à partir d'une table de vérité. Dans la prochaine leçon, nous allons voir comment exprimer directement une fonction logique simplifiée à partir du tableau de Karnaugh. Et n'oubliez pas que cette méthode est recommandée si vous avez affaire à une grande table de vérité. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.
