Dans cette leçon vidéo en français, le conférencier présente les théorèmes et principes fondamentaux de l'algèbre de Boole nécessaires à la conception de circuits logiques. Après un rappel des fonctions logiques de base (AND, OR, NOT, XOR) et de leur expression booléenne, il décrit les propriétés essentielles – associativité, commutativité et distributivité – et montre comment elles permettent de réarranger et factoriser les expressions. Il résume ensuite les principaux théorèmes (identité, complémentarité, absorption, etc.) sous neuf formules, en insistant sur la vérification à l’aide de tables de vérité. Les lois de De Morgan sont introduites et illustrées, puis il démontre la dérivation de la fonction XNOR (NON‑OU‑exclusif) à partir de XOR en appliquant successivement les lois de De Morgan, la double négation et la distributivité. Le cours se conclut en rappelant l’utilité de ces identités pour simplifier et implémenter des circuits logiques.
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Bonjour à tous et bienvenue dans cette nouvelle leçon qui fait partie de la série consacrée à la logique booléenne. Dans la dernière vidéo, nous avons vu les portes logiques qui constituent les éléments de base de tout circuit logique. J'ai mentionné qu'à partir de ces portes-là, on peut établir des circuits logiques plus complexes qui permettront à un ordinateur de fonctionner et faire les traitements requis. Mais pour y arriver, il faut être conscient de certaines lois applicables en algèbre de Boole. Et c'est justement ce que nous allons voir dans cette leçon. Il existe un certain nombre de théorèmes et de principes qu'il faut connaître afin de pouvoir donner vie à des circuits logiques fonctionnels. Il faut noter qu'un grand nombre de principes applicables en logique sont aussi applicables à l'arithmétique conventionnelle. D'autres par contre sont restreints au domaine de la logique qui tourne autour des variables binaires qui ne peuvent avoir que 2 valeurs: 0 et 1. Rappelons les fonctions logiques de base que nous avons déjà vues à travers la leçon dédiée aux portes logiques. Ces fonctions sont ET, OU et NON, également connues respectivement sous les noms AND, OR et NOT. Quant à la fonction OU exclusif ou XOR, elle peut être représentée à l'aide des fonctions logiques ET, OU et NON, comme ceci: A XOR B égal à AB barre plus A barre B. Comme pour l'arithmétique conventionnelle, les propriétés d'associativité, commutativité et distributivité sont applicables en algèbre de Boole. Donc les 3 écritures suivantes sont équivalentes. C'est-à-dire que l'on peut regrouper les variables comme on veut sans que cela n'ait un impact sur le résultat. Et c'est aussi applicable vis-à-vis du ET logique. Bien entendu, je me suis contenté dans cet exemple de 3 variables A, B et C, mais le principe peut se généraliser à un plus grand nombre de variables. On peut également changer l'ordre des variables que ce soit pour le OU ou le ET comme ceci. Là encore, on peut mettre autant de variables qu'on en veut. Quant à la distributivité, il s'applique de cette manière: On dit que le ET logique est distributif par rapport au OU logique. On peut aussi dire que la fonction ET est distributive par rapport à la fonction OU. Cette propriété nous permettra de mener parfois l'opération inverse qui est la factorisation et qui pourrait simplifier l'écriture des expressions logiques. D'autres théorèmes comme l'absorption, la complémentarité ou l'élément neutre sont également applicables, mais je vais les résumer toutes dans les 9 formules qui suivent. Chacun de ces théorèmes est facilement vérifiable et la meilleure méthode consiste à passer par la table de vérité pour vérifier tous les cas possibles. À titre d'exemple, on peut vérifier le premier théorème qui stipule que A+ 1= 1 comme ceci. On dessine la table de vérité qui contient 3 colonnes: A, 1 et A+ 1, et 2 lignes qui représentent tous les états possibles de la variable A qui sont 0 et 1. Je vous rappelle que le nombre de lignes d'une table de vérité est égal à 2 à la puissance du nombre de variables d'entrée. On aura donc 0+ 1= 1 et 1+ 1= 1. Souvenez-vous que le+ est un opérateur logique qui désigne OU et non pas un opérateur d'addition. Vous constatez que A+ 1 est toujours égal à 1 quelle que soit la valeur de A. Prenons maintenant A+ A barre= 1. De la même manière, on dessine la table de vérité de 3 colonnes: A, A barre et A+ A barre. On aura toujours 2 lignes car nous n'avons qu'une seule variable qui est A et qui ne peut avoir que 2 valeurs possibles. A barre n'est rien d'autre que A inversé. On constate que 0+ 1= 1 et 1+ 0= 1. Il reste maintenant 2 lois qui sont très populaires. Il s'agit des lois de Morgan que l'on va représenter de cette manière: A+ B tout barre est égal à A barre ET B barre. Vous avez constaté que pour éclater la grande barre, on change l'opérateur logique OU en ET. De la même manière, AB tout barre est égal à A barre+ B barre. Là encore, on divise la grande barre et on change l'opérateur ET en OU. Comme je l'ai mentionné, ces deux concepts sont très utilisés en logique booléenne, mais aussi en programmation informatique. Avant de finir, essayons de représenter la fonction NON OU exclusif ou XNOR à l'aide des fonctions OU, ET et NON. Nous savons que A XOR B est égal à AB barre plus A barre B. Si on barre l'expression de gauche, alors on barre aussi l'expression de droite. On applique la loi de Morgan à l'expression de droite, ce qui donne: AB barre tout barre et A barre B tout barre. On applique encore la loi de Morgan aux deux extrémités ce qui donne A barre plus B double barre et A double barre plus B barre. On applique la complémentarité des doubles barres, on obtient A barre plus B et A plus B barre. Il suffit d'appliquer la distributivité et on obtient A barre A plus A barre B barre plus B A plus B B barre.
On sait que A barre A est égal à 0 Et BB barre est égal à 0 aussi selon le théorème de Boole vu précédemment.
Donc l'expression devient A barre B barre plus B1, que l'on peut également écrire en appliquant la commutativité et on obtient A XOR B tout barre est égal à AB plus A barre B barre. Désormais, on peut réutiliser cette représentation de la fonction NON OU exclusif sans prendre la peine de la démontrer. Ça sera tout pour cette séance consacrée aux théorèmes et principes applicables en algèbre de Boole. Merci pour votre attention et à la vidéo prochaine.
